初中数学北师大版九年级下册1 二次函数课后练习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 二次函数课后练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数属于二次函数的是( )
A．y＝5x＋3 B．y＝eq \f(1,x2)
C．y＝2x2＋x＋1 D．y＝eq \r(x2＋1)
2．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，则下列正确的是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
3．一个小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1 m B．5 m C．6 m D．7 m
4．已知二次函数y＝kx2－4x＋4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k<1 B．k<1且k≠0
C．k≤1 D．k≤1且k≠0
5．小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，她作出如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，并求得一个近似根为x＝－4.3，则方程的另一个近似根为(精确到0.1)( )
A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3

(第5题) (第6题)
6．如图，坐标系的原点为O，P是第一象限内的抛物线y＝eq \f(1,4)x2－1上的任意一点，PA⊥x轴于点A.则OP－PA的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表所示．若该二次函数的图象向左平移后通过原点，则应向左平移( )
A.1个单位 B．2个单位
C．3个单位 D．4个单位
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝eq \f(a,x)与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是( )

(第8题) (第9题) (第13题)
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．2a－b＝0
B．a－b＋c＜0
C．c＝4a＋3
D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过不同的六点A(－2，m－1)，B(－1，m)，C(0，y1)，D(2，y2)，E(3，y3)，F(4，m＋1)，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1C．y2二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数y＝－(x－1)2－3的图象的顶点坐标为________．
12．写出一个满足“当x＞2时，y随x的增大而减小”的二次函数表达式：________________________．
13．如图是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝________．
14．已知函数y＝x2－2x－2，当－1≤x≤2时，y的取值范围是____________．
15．油纸伞是福州三宝之一．某商厦将进货单价为70元的一种油纸伞按零售价每个100元售出时，每天能卖出20个，若这种油纸伞每个的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则每个的零售价应降价________元．
16．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为________cm.
三、解答题(本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)．
(1)求m的值；
(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
18．(8分)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
19．(8分)如图，现打算用60 m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF)，菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39 m．(篱笆的宽度忽略不计)
(1)菜园面积可能为252 m2吗？若可能，求此时AB的长；若不可能，说明理由．
(2)因场地限制，AB的长不能超过8 m，求该菜园面积的最大值．
20．(8分)如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积．
21．(10分)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值)．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)c的值为________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－eq \f(1,50)，b＝eq \f(9,10)，求基准点K的高度h；
②若a＝－eq \f(1,50)时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为________；
(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
22．(10分)如图，抛物线C：y＝ax2－3x＋2a经过点C(0，2)，与x轴交于A，B两点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)D(x1，y1)，E(x2，y2)是抛物线C上的两点，x1＜2＜x2，y1＜0，y2＞0.
①若∠CBD＝75°，求BD所在直线的函数表达式；
②已知∠CBE＝∠CBD，求证：(x1－1)(x2－1)为定值．
答案
一、1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.C 9.C
10．B 点拨：将A(－2，m－1)，B(－1，m)，F(4，m＋1)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1＝4a－2b＋c，,m＝a－b＋c，,m＋1＝16a＋4b＋c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(2,15)，,b＝\f(3,5)，,c＝\f(11,15)＋m，))
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(\f(3,5),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,15))))＝eq \f(9,4).
∴易得y1二、11.(1，－3) 12.y＝－(x－2)2(答案不唯一)
13．1 14.－3≤y≤1 15.5
16.eq \f(5,2) 点拨：设AP＝x cm，BE＝y cm.如图，
∵在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°.
∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠1＝∠3.
∴Rt△ADP∽Rt△BPE.∴eq \f(AD,BP)＝eq \f(AP,BE)，
即eq \f(10,10－x)＝eq \f(x,y).整理得y＝－eq \f(1,10)(x－5)2＋eq \f(5,2)(0＜x＜10)，
∴当x＝5时，y有最大值，为eq \f(5,2).
∴BE的最大长度为eq \f(5,2) cm.
三、17.解：(1)∵二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)，∴9＋6＋m＝0，解得m＝－15.
(2)∵y＝x2＋2x－15＝(x＋1)2－16，
∴二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1.
易知该抛物线开口向上，
∴当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大．
18．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)2＋m，
得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1.
易知二次函数的图象的对称轴为直线x＝2.
令x＝0，则y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．
∵点C和点B关于直线x＝2对称，
∴点B的坐标为(4，3)．
将A(1，0)，B(4，3)的坐标分别代入y＝kx＋b，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝0，,4k＋b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝－1.))
∴一次函数的表达式为y＝x－1.
(2)满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围为1≤x≤4.
19．解：(1)可能．
设AB长为x m，则BC长为(60－3x)m，
令x(60－3x)＝252，解得x＝6或x＝14.
当x＝6时，BC＝60－18＝42>39，不合题意，舍去；
当x＝14时，BC＝60－42＝18<39，符合题意．
∴菜园面积可能为252 m2，此时AB的长为14 m.
(2)设菜园面积为S，由(1)可知，S＝x(60－3x)＝－3x2＋60x，
∴S是关于x的二次函数，其图象开口向下，对称轴为直线x＝10.
由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤8，,60－3x≤39，))
∴7≤x≤8.
∵当7≤x≤8时，S随x的增大而增大，
∴当x＝8时，S取最大值，为8×(60－3×8)＝8×36＝288.
∴该菜园面积的最大值为288 m2.
20．解：(1)∵抛物线与y轴交于点B(0，3)，
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋3.
又∵A(－1，0)，E(3，0)在抛物线上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋3＝0，,9a＋3b＋3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2.))
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴点D的坐标为(1，4)．
过点D作DF⊥x轴于点F，
易知F(1，0)，∴OF＝1，DF＝4.
∵E(3，0)，∴EF＝2.
∵A(－1，0)，B(0，3)，∴OA＝1，OB＝3.
∴S四边形AEDB＝S△ABO＋S梯形BOFD＋S△DEF＝eq \f(1,2)AO·BO＋eq \f(1,2)(BO＋DF)·OF＋eq \f(1,2)EF·DF＝eq \f(1,2)×1×3＋eq \f(1,2)×(3＋4)×1＋eq \f(1,2)×2×4＝9.
∴四边形AEDB的面积为9.
21．解：(1)66
(2)①∵a＝－eq \f(1,50)，b＝eq \f(9,10)，
∴y＝－eq \f(1,50)x2＋eq \f(9,10)x＋66.
∵基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m，
∴h＝－eq \f(1,50)×752＋eq \f(9,10)×75＋66＝21，
∴基准点K的高度h为21 m.
②b＞eq \f(9,10)
(3)他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，
∴抛物线的顶点坐标为(25，76)，
则抛物线的表达式可写为y＝a(x－25)2＋76，
把(0，66)代入，得66＝a(0－25)2＋76，
解得a＝－eq \f(2,125)，
∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(2,125)(x－25)2＋76，
当x＝75时，y＝－eq \f(2,125)×(75－25)2＋76＝36，
∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．
22．(1)解：∵y＝ax2－3x＋2a经过点C(0，2)，
∴将(0，2)代入y＝ax2－3x＋2a，得2a＝2，
解得a＝1.
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2.
(2)①解：如图，延长BD交y轴于点N，
令x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2.
∴A(1，0)，B(2，0)，∴OB＝2.
∵C(0，2)，∴OC＝2，∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°.
∵∠CBD＝75°，∴∠OBD＝30°，
在Rt△OBN中，tan ∠OBN＝eq \f(ON,OB)，
∴tan 30°＝eq \f(ON,2)，∴ON＝eq \f(2 \r(3),3)，∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2 \r(3),3))).
设BD所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，
把B(2，0)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2 \r(3),3)))的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝0，,b＝－\f(2 \r(3),3)，))
∴k＝eq \f(\r(3),3)，
∴BD所在直线的函数表达式为y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(2 \r(3),3).
②证明：如图，过点C作CP∥AB与BE的延长线相交于点P，
∴∠PCB＝∠OBC.
∵∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB＝∠OCB.
∵∠CBE＝∠CBD，CB＝CB，∠OCB＝∠PCB，
∴△CBN≌△CBP，
∴CN＝CP.
设直线BN的表达式为y＝mx＋t，
直线BP的表达式为y＝nx＋c，
将B(2，0)的坐标分别代入，得t＝－2m，c＝－2n，
∴直线BN的表达式为y＝mx－2m，直线BP的表达式为y＝nx－2n.
当x＝0时，y＝－2m，
∴CN＝2－(－2m)＝2＋2m，∴CP＝CN＝2＋2m，
∴P(2＋2m，2)，
将P(2＋2m，2)的坐标代入y＝nx－2n，
得2＝n(2＋2m)－2n，
∴mn＝1.
联立，得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2－3x＋2，,y＝mx－2m))与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2－3x＋2，,y＝nx－2n，))
可得x2－(m＋3)x＋2m＋2＝0，x2－(n＋3)x＋2n＋2＝0.
∵D(x1，y1)，E(x2，y2)，
∴xB＋x1＝m＋3，xB＋x2＝n＋3，
∴2＋x1＝m＋3，2＋x2＝n＋3，
∴x1＝m＋1，x2＝n＋1，
∴(x1－1)(x2－1)＝(m＋1－1)(n＋1－1)＝mn＝1，
∴(x1－1)(x2－1)为定值．
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…