北京市平谷区2023-2024学年高三下学期3月质量监控（零模）数学试卷（Word版附答案）

这是一份北京市平谷区2023-2024学年高三下学期3月质量监控（零模）数学试卷（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了已知集合，，则=，已知复数，则=，在的展开式中，的系数为，在中，“”是“”的，已知抛物线C，设点，动直线l等内容，欢迎下载使用。
2024．3
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）
1．已知集合，，则=
A．B．
C．D．
2．已知复数，则=
A．B．5C．3D．
3．在的展开式中，的系数为
A．-10B．10C．-80D．80
4．下列函数中，在区间上单调递减的是
A．B．
C．D．
5．在中，“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=
A．B．C．D．4
7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m
A、有且仅有1个值B．有且仅有2个值C．有且仅有3个值D．有无数多个值
8．一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为
A．B．C．D．
9．已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是
A．2B．C．D．
10．设点，动直线l：，作AM⊥l于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为
A．1B．C．D．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．
11．函数的定义域是______
12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则=______；双曲线C的渐近线方程为______
13．设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的φ所有可能的取值为______．
14．若的面积为，且∠C为钝角，则∠A=______；的取值范围是______．
15．已知函数，设．
给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当时，在为增函数；
③当时，存在实数b，使得有三个零点；
④当时，存在实数b，使得有三个零点．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（本小题13分）
已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若，函数在区间上最小值为，求实数m的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点；
（Ⅰ）若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18．（本小题13分）
某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
（Ⅰ）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
（Ⅱ）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知椭圆E：过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．
20．（本小题15分）
设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数，求的单调区间；
（Ⅲ）求证：．
21．（本小题15分）
已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（n=1，2，…）；
②（n=1，2，…）；
③（n=1，2，…）
（Ⅰ）当时，若（n=1，2，…），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出k的值；
（Ⅱ）若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
（Ⅲ）当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．注意事项
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．共150分，考试时间为120分钟．
2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好．
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
×
×
√
217
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
×
√
×
平谷区2023—2024学年度第二学期质量监控试卷
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）D （3）A （4）C （5）B
（6）A （7）A （8）B （9）D （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）（12）-2，
（13），（14），
（15）②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：因为，所以．
（Ⅰ）选择条件①：对任意的，都有成立，
所以为函数最大值，
得，．解得，
又因为，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当时，．
因为在上单调递增，在单调递减，且，所以，解得，实数m的取值范围是．
（Ⅰ）选择条件③：
因为，，所以为函数最大值，为函数最小值，以下解法同选择条件①．
（17）（本小题14分）
解：（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM．
因为，所以，
所以，N，Q，M四点共面．
因为直线平面BCM，平面，平面BCM平面，所以．所以四边形是平行四边形．
所以．所以F为PD的中点．
（Ⅱ）因为侧面为正方形，所以，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，，又因为正方形，，以B为原点，BA，，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
设，
所以，，，，，，则
所以，．
设平面的一个法向量为，
由得即．
取，得．
设，则．
设，则，
因为，所以．
所以，，，所以N点坐标为．
因为，所以
设直线与平面CDE所成角为θ，
则，解得 ，所以，即线段的长为．
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有417位顾客同时购买了甲、乙两种商品，所以顾客只购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．
（Ⅱ）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客个购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，可估计为，可估计为，可估计为．
依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为．
因此所求的概率可估计为0.1176．
（Ⅲ）该顾客购买丙的可能性最大．
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得
解得，．
所以椭圆E的方程是．
（Ⅱ）椭圆E的右焦点F的坐标为，
由题意，设直线l的方程为．
，整理得．
设直线l交椭圆W于点，，则
，．
由直线l的方程，令，解得，
所以，．
所以直线AQ的方程为，．
令，解得，所以．
直线BQ的方程为，．
令，解得，所以．
．
由于，．
则
所以线段CD的中点为F．
（20）（本小题15分）
解：（1）．因为．
所以，解得．
（Ⅱ）因为，的定义域为
令，得．
与在区间上的情况如下：
所以在的单调递减区间为，单调递增区间为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以．
所以．
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）若时，数列满足条件②，得，数列满足条件③，得，得两式相加
若时，数列满足条件②，得，数列满足条件③，得，得两式相加
由知，，，
代入得得，其中，
所以，，，…是等差数列，设其公差为．
在中，取，则，所以，
在中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
（Ⅲ）①当时，，即，n=3，4，…．
所以．
若，则，n=1，2，…．
经检验，数列具有性质①③．
若，当时，，与矛盾．
②当时，令，则
，n=3，4，…．
所以．
所以．
所以，n=2，3，…．
所以，，…，．
所以．
当时，，与矛盾．
综上所述，数列的通项公式为（c为常数，且）．
x
0
-
0
+
↘
极小
↗