数学6.4 平面向量的应用教学设计

这是一份数学6.4 平面向量的应用教学设计，共18页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，课后作业等内容，欢迎下载使用。
（1）会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。
（2）借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。
（3）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生已经学习过了勾股定理、任意角的三角函数、平面向量等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。高一下学期阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强，但没有接触过数学定理的证明，没有证明定理的经验，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高。因此教师要提供针对性的研究素材，并作必要的启发和引导，证明余弦定理的过程中也会存在困难，教师可以适时的点拨。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约 5课时
教学重点：用向量方法解决简单的几何问题、实际问题的方法与步骤，用向量方法证明余弦定理和正弦定理 ，余弦定理和正弦定理的应用。
教学难点： 如何把几何问题、实际问题转化为向量问题，余弦定理和正弦定理的证明。
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
6.4.1 平面几何中的向量方法
一、复习回顾：
（1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则；
（2）向量平行、垂直的判断方法；
在之前向量的学习中，我们发现，平面几何图形的很多性质都可以用向量表示出来.因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面我们通过例题，探究向量方法在平面几何中的应用.
二、新知探究
例1 如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE//BC，DE=12BC.

证明：如图，因为DE是△ABC的中位线，
所以AD=12AB，AE=12AC.
从而DE=AE−AD=12AC−12AB=12AC−AB.
又BC=AC−AB，
所以DE=12BC.
于是DE//BC，DE=12BC.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
例2 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图，取{AB，AD}为基底，设AB=a，AD=b，则
AC=a+b， DB=a−b.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
AC2=(a+b)2=a2+2a∙b+b2，
DB2=(a−b)2=a2−2a∙b+b2.
上面两式相加，得AC2+DB2=2(a2+b2).
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
AC2+BD2=2(AB2+AD2).
三．课堂检测
设计意图：例题变式练.
已知P是内的一点，，则的面积与的面积的比值为( )
A.B.2 C.3 D.6
答案：C
解析：在中，设边的中点为D，则.
因为，所以，所以.故选C.
在中，，且，则的形状是___________.
答案：等边三角形
解析：因为，所以，
又为的内角，所以.
又，所以为等边三角形.
已知菱形的边长为，，点分别在边上，，若，则的值为__________.
答案：2
解析：
如图， ，
，
由题意知，
所以
，
解得.
四、课堂小结：
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；
用向量方法解决平面几何问题的应用.
五．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.习题6.4.1
2. 6.4.1 平面几何中的向量方法（分层作业）（必做题+选做题）
6.4.2 向量在物理中的应用举例
1、情境引入
例3：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
答：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释
不妨设|F1|=|F2|，以F1、F2为邻边的四边形是菱形
力F1与力F2的合力与重力G大小相等、方向相反
12F=|F1|csθ2 整理得 F1=|G|2csθ2
当θ在[0 , π]内逐渐增大时，csθ2的值由大变小，| F1|由小变大
即F1、F2之间的夹角越大越费力
追问：(1)为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
(2)| F1 |能等于|G|吗？为什么？
答：(1)当=00时，|F1|最小，F1min=12|G|
(2) 当=1200时， F1=F2=|G|
2、探索新知
【例4】一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m， 一艘船从A处出发到河
的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，
问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到0.1 min) ？
解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方
向行驶时，船的航程最短
如图，设 QUOTE v=v1+v2 v=v1+v2，则 QUOTE v=|v1|2−v22=96 (km/h) v=|v1|2−v22=96 (km/h)
此时，船的航行时间t=d|v|=0.596×60≈3.1min
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min
方法规律： 用向量解决物理问题的一般步骤（四步曲）
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象
四、课堂检测
1、如图,在重的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物
体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( C )
A.B.
C.D.
2、一条宽为eq \r(,3)km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝eq \r(,3)km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作平行四边形ACED
当AE与AB重合时能最快到达彼岸
根据题意知AC⊥AE
在Rt△ADE和平行四边形ACED中
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°
∴||＝eq \r(,\(|\(AD,\s\up14(→))|2－|\(DE,\s\up14(→))|2))＝2eq \r(,3)
eq \r(,3)÷2eq \r(,3)＝0.5(h)，sin ∠EAD＝eq \f(1,2)
∴∠EAD＝30°
∴船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时
五、课堂小结
用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：
①转化：把物理问题转化为数学问题
②建模：建立以向量为主体的数学模型
③求解：求出数学模型的相关解
④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象
六．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.习题6.4.2
向量在物理中的应用举例（分层作业）（必做题+选做题）
6.4.3（1）余弦定理
一、新知导入
1. 创设情境，生成问题
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝eq \r(3) km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.
【问题1】 我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？
【提示】 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcs C.这个公式是余弦定理的形式之一.当C＝90°时，则cs C＝0，将cs C＝0代入上式即是勾股定理c2＝a2＋b2.
【问题2】你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？
【提示】利用BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A可求出BC的长.
2.探索交流，解决问题
【探究1】已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？
【提示】根据三角形全等的判断方法可知，这个三角形的大小、形状是完全确定的．
【探究2】在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量eq \(AB,\s\up6(→))如何用已知边所对应的向量表示？如何求出|eq \(AB,\s\up6(→))|？
【提示】边c的长度可视为|eq \(AB,\s\up6(→))|；eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))；通过向量的数量积求|eq \(AB,\s\up6(→))|．
二、余弦定理
1.余弦定理：
文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
符号语言：a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs__B，c2＝a2＋b2－2abcs__C.
【探究3】在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？
【提示】可将余弦定理中的三个公式变形为cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)。
推论：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
2.解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【做一做】在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcs C B.c2＝a2－b2－2bccs A
C.b2＝a2－c2－2bccs A D.cs C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab)
解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题.
答案：A
三、典型例题
例5 在△ABC 中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm).

四、课堂检测
1.(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)，则b＝( )
A.2 B.3 C.4 D.2eq \r(2)
解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝2或b＝4.
答案：AC
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq \f(3,5)，则三角形的另一边长是________.
解析：设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝52，∴x＝2eq \r(13).
答案：2eq \r(13)
3.在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角的大小为________.
解析：∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
又C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,6).
答案：eq \f(π,6)
4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________.
解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a.
所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，
由余弦定理，得cs α＝eq \f(（2a）2＋（2a）2－a2,2×2a×2a)＝eq \f(7,8).
答案：eq \f(7,8)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
五、课堂小结
1、余弦定理

2. 余弦定理的推论：
3. 用余弦定理可以解决两种解三角形的题型：
(1) 已知三边解三角形．
(2) 已知两边及一角解三角形．
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
六、课后作业
1.习题6.4.3（1）
2. 6.4.3 余弦定理（第1课时）（分层作业）（必做题+选做题）
6.4.3（2）正弦定理
一、新知导入
1. 创设情境，生成问题
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？
2.探索交流，解决问题
【问题1】 如图，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)各自等于什么？
【提示】 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c.
【问题2】 在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？
【提示】 在一般的△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.
二、正弦定理
1.正弦定理的表示
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)。
拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.
2.正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C).
【思考1】正弦定理的主要功能是什么？
提示 实现三角形中边角关系的互化.
【思考2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？
提示 不对.根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
【做一做】在△ABC中，下列等式总能成立的是( )
A.acs C＝ccs A B.bsin C＝csin A
C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A
解析 由正弦定理易知，选项D正确.
答案 D
三、典型例题
解法1：由三角形内角和定理，得：
C=180°−(A+B)=180°−(15°+30°)=120°.
由正弦定理，得：a=csin Asin C=(3+3)sin 15°sin 120°=(3+3)sin (45°−30°)sin 120°
=(3+3)(sin 45°cs 30°−cs 45°sin 30°)sin 120°=(3+3)(22×32−22×12)32=2，
b=csin Bsin C=(3+3)sin 45°sin 120°=(3+3)×2232=6+2.
例8.在∆ABC中，已知B=30°，b=2，c=2，解这个三角形.
解：由正弦定理 ，得：sin C=csin Bb=2sin 30°2=22.
因为c>b，B=30°，所以30°B⇔sin_A>sin_B；
(3)在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.
(4)在△ABC中，A为锐角⇔cs A>0⇔a2