高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算教案设计，共26页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】等内容，欢迎下载使用。

本节内容讨论复数集中的四则运算问题,即研究复数的加、减、乘、除运算,其中加法、乘法运算是核心,减法、除法运算分别是它们的逆运算.除此之外,还讨论了复数加法、减法运算的几何意义.本节侧重提升学生的数学运算、直观想象素养,以及概括理解能力、分析计算能力.
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是本章的核心，也是学好复数的重中之重.在学习本节之前，学生已经学习了物理中矢量的加减运算，力的合成与分解等知识，为本节内容有一定的正向的推进作用。
2.认知障碍
一方面，学生对于知识的把握是零碎、分散的.对复数概念是不了解的，需要在老师的启发引导下探究体会复数运算的的要素；另一方面，学生相等的问题常常会默认为是数量上的相等，缺乏严谨的思维习惯.复数相等和复数的运算是本节解决问题的关键所在。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约2课时
教学重点： 1.复数的加、减运算及其几何意义
2.复数的乘、除运算
教学难点： 复数的四则运算综合应用
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
7.2.1 复数的加减运算及其几何意义
问题1：如何定义复数的加、减运算？
【破解方法】从课本定义出发，让学生理解复数加法和减法运算的定义。
问题2：如何理解复数加减运算的运算律问题以及与向量加法与减法运算相统一？
【破解方法】在学习过程中，利用例题理解复数运算的基本方法，以及比较与向量加减的区别与联系。
【教学过程】
复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意,,∈C，有
①交换律：+=+；
②结合律：(+)+=+(+).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

例1计算.
解：
.
问题3：如何解决复平面内两点之间的距离问题？
【破解方法】利用学习过程的探究，完善数学认知结构。
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.
分析：由于复平面内的点，对应的复数分别为，，由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为，从而点，之间的距离为.
解：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为
.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
一、单选题
1．已知、，且，若，则的最大值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【详解】设，，故，，则，
，
，当时，有最大值为4.
故选：C
2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】z在复平面内对应的点为，则复数，
则，由复数的模长公式可得，
故选：D．
3．若，则（ ）
A．B．5C．3D．1
【答案】B
【详解】因为，所以，
.
故选：B.
二、填空题
4．______．（其中i是虚数单位）
【答案】
【详解】
故答案为：
5．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______．
【答案】5
【详解】依题意得对应的复数为，
所以A，C两点间的距离为．
故答案为：5．
三、解答题
6．已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）∵，则，
由复数相等，消去t得，
故为定值.
（2）∵，且
∴，
又∵，即，则，整理得，
∴原不等式组即为，解得，
故a的取值范围为.
课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题
1．在复平面上，一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为，，0，则第四个顶点对应的复数不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设第四个点对应复数为，
则或或，
所以或或．
故选：A．
2．复数满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则，
由题意可得：，解得，
则.
故选：D.
3．如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（ ）
A．1B．C．3D．5
【答案】B
【详解】由题意可得：，则，
故.
故选：B.
4．已知，，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【详解】设，则，
所以，即，
因为，所以，
所以或，
故选：D
5．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
故选：B．
6．若复数满足，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，则，
所以，
，
所以，
所以.
故选：A
二、多选题
7．已知，复数，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（ ）
A．B．
C．D．复数的虚部为
【答案】AC
【详解】由题可知，
对于A：因为为纯虚数，所以，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：复数的虚部为，故D错误.
故选：.
8．对任意复数（x，yR），i为虚数单位，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】对于A，（x，yR），故不正确：
对于B， ，故不正确：
对于C，不一定成立，故不正确：
对于D，，故正确.
故选：ABC.
三、填空题
9．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______．
【答案】5
【详解】依题意得对应的复数为，
所以A，C两点间的距离为．
故答案为：5．
10．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为______．
【答案】
【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又，
所以对应的复数为，又，
所以点对应的复数为，
所以点的坐标为．
故答案为：．
四、解答题
11．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：
(1)点D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)5(2)7
【详解】（1）向量对应的复数为,所以向量，
对应的复数为,所以向量，
，
，
，
点对应的复数为5 .
（2），
，
，，
.
故平行四边形面积为7.
12．已知复数.
(1)若，求和的值；
(2) 求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为复数，
故由可得；
（2）由于，故.
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本77页练习
2.课本习题7.2复习巩固1,2.
7.2.2复数的乘、除运算
问题4：如何定义复数的乘、除运算？
复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意,,∈C，有
①交换律：=；
②结合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，
=，=.
例3.计算.
解：
.
复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
例4.计算.
解：
.
问题5 符合理解复平面内的距离？
|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则|​​​​​​​|=，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.
故|​​​​​​​|=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.
例6.设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，则|z1﹣z2|等于（ ）
A．23B．22C．2D．3
【解题思路】设z1＝a+bi，z2＝c+di，利用已知条件得到a2+b2＝4，c2+d2＝4，ac+bd＝﹣2，然后由模的计算公式表示出|z1﹣z2|，即可得到答案．
【解答过程】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，
因为|z1|＝|z2|＝2，
所以a2+b2＝4，c2+d2＝4，
又z1+z2=3+i，
所以a+c=3，b+d＝1，
则ac+bd＝﹣2，
所以|z1﹣z2|＝|（a﹣c）+（b﹣d）i|
=(a−c)2+(b−d)2
=a2+c2+b2+d2−2(ac+bd)
=23．
故选：A．
问题6 如何理解复数范围内实数系一元二次方程的根？
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根
，=；
当=0时，方程有两个相等的实根==-；
当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复
数.
例7.在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2），其中a，b，，且，.
分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根.对于（2），当时，一元二次方程无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根.
解：（1）因为，所以方程的根为.
（2）将方程的二次项系数化为1，得
.
配方，得
，
即.
由，知.类似（1），可得
.
所以原方程的根为.
在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
（1）当时，；
（2）当时，.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
一、单选题
1．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】设复数的平方根为，则，
化简，所以，，解得
，或，，即复数的平方根为或，
故选：C
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z的实部是B．的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限D．
【答案】A
【详解】
z的实部是故A正确；，故D错误
，的虚部是故B错误，在复平面上对应的点为所以为第一象限点，故C错误.
故选：A
二、填空题
3．设复数，，则在复平面内对应的点位于第______象限．
【答案】一
【详解】，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故答案为：一
4．已知i为虚数单位，则复数对应的点的坐标为______．
【答案】
【详解】，所以复数在复平面内对应的点的坐标为.
故答案为：.
5．为______．
【答案】
【详解】
故答案为：
三、解答题
6．已知复数，其中.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若z为实数，则，解得．
（2）若为纯虚数，则，解得，∴，
故，
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题
1．已知复数（a、，i是虚数单位），，，定义：，．给出下列命题：
①对任意，都有；
②若是复数z的共轭复数，则恒成立；
③若（、），则；
④对任意、、，结论恒成立．
则其中真命题是（ ）．
A．①②③④；B．②③④；C．②④；D．②③．
【答案】C
【详解】对于①：由定义知，当时，，故①错误
对于②：由题意得，所以，故②正确；
对于③：设，
若，则，不能推出，无法得到，故③错误；
对于④：设，
则，
同理，，
又，，
所以恒成立，故④正确.
故选：C
2．已知复数（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【详解】，则
故选：D
二、多选题
3．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．若，则
【答案】ACD
【详解】，∴，不妨设，，
，A正确；
，C正确；
，∴，时，，B错；
时，，，计算得，
，，同理，D正确．
故选：ACD．
4．设，为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．是纯虚数或零
C．恒成立D．存在复数，，使得
【答案】BC
【分析】对于A由右向左化简即可判断，对于B设，求出共轭复数，代入化简分情况即可判断正误，对于C设两个复数计算出求和模长，在计算出模长求和即可比较大小，对于D设两个复数，计算出乘积模长，在计算出模长乘积即可比较大小.
【详解】对于A：，令，
则，
，与不一定相等，故A错误；
对于B：，则，，当时为零，当时为纯虚数，故B正确；
对于C：，
则
，
,则，
，
，
故C正确；
对于D：设，
则，
=，故D错误.
故选：BD.
三、填空题
5．以下4个式子：①；②；③；④，正确的是______（写出正确编号）．
【答案】①③④
【分析】根据复数的乘法和除法运算，分别证明等式.
【详解】设，，，
所以，
，所以，故①正确；
因为，当时，所以，
当时，不成立，故②错误；
设，，，不同时为0，
，所以，
，所以，故③正确；
，
所以，
，
所以，故④正确.
故答案为：①③④
6．的二次方根为______．
【答案】或
【分析】设的二次方根为，然后利用复数相等可得，进而即得.
【详解】设的二次方根为，
则，
所以，可得，
解得或(舍去)
所以或，
所以的二次方根为或.
故答案为：或.
7．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充为复数域，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，的共轭复数在复平面内所对应的点位于第______象限．
【答案】二
【分析】代入得，则其共轭复数的实部与虚部分别为，，根据三角函数判断其正负，则得到其在复平面所在的象限.
【详解】依题意得,，
其共轭复数的实部,虚部分别为，，
因为,所以,
因此的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限,
故答案为：二.
8．若（，为虚数单位），则______．
【答案】73
【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出得解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
则.
故答案为：73
9．设，为虚数单位.若，则___________.
【答案】##-0.5
【详解】，
因为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
10．若为纯虚数，则复数的虚部为__________.
【答案】1
【详解】，
因为纯虚数，所以，且，解得，
得，所以虚部为1.
故答案为：1.
四、解答题
11．已知 ，且（i是虚数单位），求a，b的值．
【答案】或.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
解得：或.
12．已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，
解得，所以
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，
所以，
所以，所以.
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本80页练习
2.课本习题7.1其余复习巩固及综合运用与拓广探索