人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率教案设计，共11页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】等内容，欢迎下载使用。
在已学过的概率的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决实际问题的能力。
（1）通过具体实例，通过类比和归纳，理解样本点、有限样本空间和随机事件的含义，并且能理解三者之间的关系，提升了学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的数学素养。
（2）在随机事件的基础上，通过新旧知识的对比，让学生理解事件的并、交、互斥的含义，能利用事件的交、并运算解决常见问题；
（3）进一步认识古典概型，总结归纳古典概型中简单随机事件的求法；
（4）引入一些特殊的事件，类比推理出特殊事件的性质和概率的运算法则.
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是高中概率的起始.在学习本节之前，学生在初中已经学习了概率的概念，因此对于概率有一定的了解，对于概率的求法也有一定的掌握。这为后面学习样本点、古典概型、事件的关系和概率的运算奠定了基础.
2.认知障碍
一方面，学生对于事件和概率的认知上感觉简单，停留在表面层次上，知识量较少且单一，并没有系统的认识；另一方面，学生对有些概率的计算缺乏具体的过程，或不明白其中的原理，缺乏严谨的思维习惯.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约1课时
教学重点： 古典概型的概率判断、事件的关系和运算、概率的基本性质
教学难点： 事件的关系和运算、概率的基本性质
教学过程：
五、【教学问题诊断分析】
10.1.1 有限样本空间与随机事件
问题1：彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
【破解方法】通过生活中可见的现象，引发学生思考，引出可以用集合来表示这些结果，提出样本点和样本空间的概念.
问题2：在体育彩票摇号试验中，摇出 “球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示他们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
【破解方法】让学生列出样本空间和“球的号码为奇数”、“球的号码为3的倍数”的空间，观察集合之间的关系，明确什么情况下是事件发生，什么是必然事件，什么是随机事件，什么是不可能事件。且每个事件都是样本空间Ω的一个子集。
问题3：如图10.1-2，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否通路看成是一个随机现象，观察这个电路中的各元件是否正常。
写出试验的样本空间；
用集合表示下列事件：
M=“恰好有两个元件正常”；
N=“电路是通路”；
T=“电路是断路”。
【答案】（1）Ω=0,0,0，1,0,0，0,1,0，0,0,1，1,1,0，1,0,10,1,1，（1,1,1）
（2）M=1,1,0，1,0,10,1,1
N=1,1,0，1,0,11,1,1
T=0,0,0，1,0,0，0,1,0，0,0,1，0,1,1
【解析】（1）分别用x1，x2和x3表示元件A,B,C的可能状态，则这个电路的工作状态可用（x1，x2，x3）表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示元件的“失效”状态，则样本空间有：
Ω=0,0,0，1,0,0，0,1,0，0,0,1，1,1,0，1,0,10,1,1，（1,1,1）
还可以用树状图帮助我们列举出所有的可能结果：
（2）“恰有两个元件正常”等价于（x1，x2，x3）∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个1，所以
M=1,1,0，1,0,10,1,1
“电路是通路”等价于（x1，x2，x3）∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一个是1，所以
N=1,1,0，1,0,11,1,1
同理，“电路是断路”等价于（x1，x2，x3）∈Ω，x1=0，或x1=1，x2=x3=0，所以
T=0,0,0，1,0,0，0,1,0，0,0,1，0,1,1
10.1.2 事件的关系与运算
问题4：在用摇奖器摇奖时，可以定义许多随机事件，例如：
Ci=“点数i，i=0,1,2,3,4,5”；
D1=“点数不大于4”；D2=“点数大于4”；
E1=“点数为1或者2”；E2=“点数为2或者3”；
F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
……
你还能写出这个实验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
【破解方法】利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简单的方法。
先用集合表示上述事件，然后观察集合之间的关系，从而理解包含事件，相等事件；理解并事件和交事件。若事件A和事件B不能同事发生，称事件A与事件B互斥；若事件A和事件B中有且仅有一个发生，那么称事件A和事件B互为对立事件。
问题5：如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效。设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”。
写出表示两个元件工作状态的样本空间；
用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明他们的含义及关系。
【答案】（1）Ω=0,0，0,1，1,0，（1,1）
(2)A=1,0，（1,1）, B=0,1，（1,1）, A=0,0，0,1, B=0,0，1,0
（3）A∪B=0,1，1,0，（1,1），A∩B=0,0；A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件。
【破解方法】注意到试验有甲乙两个元件的状态组成，可以用数组（x1，x2）表示样本点。这样，确定事件A,B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态。
10.1.3古典概型
问题6：彩票摇号试验，抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀的骰子的试验，他们的共同特征有哪些？
【破解方法】考察这些试验的共同特征，就是要看他们的样本点及样本空间有哪些共性，可以发现，它们具有如下共同特征；
有限性：样本空间的样本点只有有限个；
等可能性；每个样本点发生的可能性相等。
满足以上两个特征的试验称为古典概型试验，简称古典概型。
问题7：考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
用摇奖器摇号一次，事件A=“结果为奇数”；
抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面向上”。
【破解方法】对于这两个事件，样本空间的样本点都是有限个，且每种情况的可能性是相等的，所以是古典概型.事件A的概率的大小取决于奇数点的情况和样本点总数的比值的大小。因此，可以用奇数点出现的情况数量与一共的情况数量的比值来度量。对于事件B，我们可以用1表示“正面向上”，用0表示“背面向上”，那么久可以写出样本空间，且都是等可能的，所以这也是一个古典概型。用只有一次正面向上的样本点的数量与样本空间包含的样板点数的比值来度量。这样，我们就总结出了古典概型的概率的求法。
10.1.4 概率的基本性质
问题8：设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A,B的概率之间具有怎样的关系？若事件A和事件B有相同的样本点，那么这三者之间又有怎样的关系？
【破解方法】一般地，因为事件A和事件B互斥，即A与B不包含有相同的样本点，所以n（A∪B）=n（A）+n(B),这等价于P(A∪B)=P（A）+P(B),即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和。那么如果事件A和事件B是对立的，那么P(A∪B)=P（A）+P(B)=1；若事件A和事件B有公共的样本点，那么P(A∪B)=P（A）+P(B)- P(A∩B)。
【问题9】从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示“选到的数能被2整除”，事件B表示“选到的数能被3整除”，求下列事件的概率：
①这个数既能被2整除也能被3整除；
②这个数能被2整除或能被3整除；
③这个数既不能被2整除也不能被3整除．
【答案】
显然从1～20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20.其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以P(A)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(6,20)＝eq \f(3,10).
①“这个数既能被2整除也能被3整除”即事件AB，因为1～20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以P(AB)＝eq \f(3,20).
②“这个数能被2整除或能被3整除”即事件A∪B，由分析得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,10)－eq \f(3,20)＝eq \f(13,20).
③由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”(即事件eq \(A,\s\up12(－))eq \(B,\s\up12(－)))与事件“这个数能被2整除或能被3整除”(即事件A∪B)为对立事件，所以P(eq \(A,\s\up12(－))eq \(B,\s\up12(－)))＝1－P(A∪B)＝1－eq \f(13,20)＝eq \f(7,20).
【破解方法】对概率性质的理解
(1)我们称性质3为互斥事件的概率加法公式．设样本空间Ω包含有n个样本点，当事件A与事件B互斥时，A与B不含有相同的样本点，此时n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，结合古典概型的概率公式即可得P(A∪B)＝eq \f(n（A）＋n（B）,n（Ω）)＝P(A)＋P(B)．
(2)当一个事件的概率不易求解，但其对立事件的概率易求时，我们常利用性质4(对立事件的概率公式)，使用间接法求解．
(3)我们称性质5为概率的单调性．对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
(4)当A∩B＝∅时，P(A∩B)＝0．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：初步理解教材，增强学生的自学能力，便于明确听课的重点。.
1、试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲、乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
【答案】 设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间Ω＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因为事件A表示随机事件“甲、乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}．
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}．
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个：(w1，w1)，(w2, w2)，(w3, w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
所以事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．
2. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
①恰有1名男生与恰有2名男生；
②至少有1名男生与全是男生；
③至少有1名男生与全是女生；
④至少有1名男生与至少有1名女生．
【答案】判断两个事件是否互斥，就要考查它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生．
①因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
②因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
③因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
④由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
辨析互斥事件与对立事件的思路
辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手：
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
3.在掷一次骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点)，事件D1＝{出现的点数不大于1)，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数)，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是基本事件的和事件．
【答案】(1)易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，
所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3)＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
4.下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外其他完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
【答案】A中，发芽与不发芽的概率不同；B中，摸到白球与黑球的概率都是eq \f(1,2)；C中，基本事件有无限个；D中，命中10环，9环，…，0环的概率不等．故选B.
5.某旅游爱好者计划从三个亚洲国家A1，A2，A3和三个欧洲国家B1，B2，B3中选择两个国家去旅游．
①若从这六个国家中任选两个，求这两个国家都是亚洲国家的概率；
②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，求这两个国家包括A1但不包括B1的概率．
【答案】 ①由题意知，从六个国家中任选两个国家，其所有的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个．其中所选两个国家都是亚洲国家包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个．
故所求概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
②从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其所有的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．其中所选两个国家包括A1但不包括B1包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个．
故所求概率为eq \f(2,9).
6.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
【答案】解析 (1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本习题10.1复习巩固