高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念测试题，共18页。

一、单选题
1．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】A
【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.
【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A
2．（2022·高一课时练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】根据向量的定义即可判断.
【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
3．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】A
【分析】由向量模的定义结合三角形的四心定义判断．
【详解】表示到三点距离相等，为外心．
故选：A．
4．（2022·全国·高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（ ）
A． B．
C．D．与不能比大小
【答案】A
【分析】直接利用向量的摸和路程的定义的应用即可求解.
【详解】如果一架飞机向东飞行，再向南飞行，
记飞机飞行的路程为,
，所以.
故选: A.
5．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．相等向量一定是共线向量
C．若，则D．任意向量的模都是正数
【答案】B
【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.
【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；
对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；
对于D，零向量的模长是，故D错误．
故选：B.
6．（2022秋·陕西渭南·高一渭南高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
【答案】D
【分析】对A，向量模相等，则向量相等或相反；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.
【详解】若，则或，所以选项A错误；
若，此时 不存在，选项B错误；
若，由，，不一定得到，选项C不正确；
由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.
故选：D.
7．（2022秋·四川泸州·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量平行的坐标表示，代入即可求解.
【详解】因为，，
所以，解得.
故选：D.
8．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）B．（-1，1）
C．（-1，+∞）D．（-∞，1）
【答案】C
【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求.
【详解】因为与同向，所以可设
则有，又因为，，
所以
所以的取值范围是(-1，+∞)，
故选：C.
二、多选题
9．（2022·高一单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若与共线，则或
C．若，则D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】CD
【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误；
对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；
对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；
对于D中，由，可得与向量同向，
又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.
故选：CD.
10．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量
B．若向量，则
C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形
D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算
【答案】AD
【分析】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A正确；
对于B中，向量，则或与共线，所以B错误；
对于C中，在四边形中，若向量、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C错误；
对于D中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．（2022秋·甘肃庆阳·高一统考期末）在等边△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，写出一个与向量垂直的向量：______．（用字母作答）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先计算出，从而可判断与其垂直的向量.
【详解】如图，连接，
，
因为为等边三角形，D为中点，故，
所以与向量垂直的向量有（答案不唯一，，，，，，，也可以）．
故答案为：（答案不唯一）.
12．（2022秋·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知点满足，若，，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】由知为、的中点，由中点坐标公式求解.
【详解】解：由可得，所以为、的中点，
又，，
所以点的坐标为.
故答案为：.
13．（2022·全国·高一专题练习）若三点共线，则的值是___________．
【答案】
【分析】直接利用共线向量的坐标运算公式求解即可.
【详解】由题意得，
∵三点共线，∴，
即，解得，
故答案为：.
14．（2022·全国·高一专题练习）给出下列命题：
①若，则与的方向相同或相反；
②若，，则；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若＝，＝，则＝，
其中正确的是________．(填序号)
【答案】④
【分析】利用平行向量、相等向量的定义依次判断各个命题作答.
【详解】因零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量平行，则当＝，对于任意的向量，都有，①错误；
当＝时，对于任意的向量，都有，，而，不一定共线，②错误；
两个模相等的向量互相平行，其方向可能相反，③错误；
由两个向量相等的定义及性质得④正确．
故答案为：④
15．（2022秋·高一课前预习）给出下列各命题：
（1）零向量没有方向； （2）若||＝||，则＝； （3）单位向量都相等；
（4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
（6）若＝，＝，则＝；（7）若，，则；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________________.
【答案】（5），（6）
【分析】依据零向量定义判断（1）；依据向量定义判断（4）；依据向量相等的定义去判断（2）、（3）、（5）、（6）、（8）；依据向量共线定义判断（7）.
【详解】（1）零向量的方向任意.说法错误；
（2）若||＝||，则向量，长度相等，但方向不一定相同.说法错误；
（3）单位向量长度相等，但是方向不一定相同.说法错误；
（4）向量可以用有向线段表示.向量平移后与原向量相等, 有向线段则没有这一性质.说法错误；
（5）相等向量方向相同，长度相等，故相等向量若起点相同，终点必相同.说法正确；
（6）依据等量代换，若＝，＝，则＝.说法正确；
（7）当时，若，，则与不一定平行.说法错误；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则，.说法错误.
故答案为：（5），（6）
四、解答题
16．（2022·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.
【答案】答案见解析
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据题意作图即可.
【详解】如图，根据方位角及长度来确定.
17．（2022秋·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有哪些？
【答案】，
【分析】依据向量相等的定义去判断即可解决.
【详解】由方向相同且长度相等的两个向量是相等向量的定义，
可知在向量、、、、和中，相等的有，
18．（2022·高一课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】（1）与长度相同，方向相同的向量有：；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：；
（3）与方向相同或相反的向量有：.
19．（2022·全国·高一专题练习）设两个不共线的向量，若向量，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？
【答案】存在，证明见解析
【分析】根据题意可得、，
结合相等向量的概念列出方程组，解之即可.
【详解】因为，
要使与共线，则存在实数k使，
即：
得，
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使与共线.
【选做题】
一、单选题
1．（2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，都是单位向量，则
B．已知为非零实数，若，则与共线
C．与非零向量共线的单位向量是唯一的
D．若向量，，则
【答案】B
【分析】A.因为向量还与方向有关，所以该选项错误；B. 根据共线向量的性质得该选项正确； C. 与非零向量共线的单位向量有两个，所以该选项错误；D. 举反例说明该选项错误.
【详解】解：A. 若，都是单位向量，因为向量还与方向有关，则错误，所以该选项错误；
B. 已知为非零实数，若，则与共线，所以该选项正确；
C. 与非零向量共线的单位向量有两个，不是唯一的，所以该选项错误；
D. 若向量，，如是非零向量，，是非零向量，但是不一定平行，所以该选项错误.
故选：B
2．（2022秋·山西大同·高一大同市第三中学校校考期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，则与方向相同或相反
【答案】B
【分析】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解.
【详解】对于A选项： 平行于任何向量，若，满足，，但不一定满足，故A错；
对于B选项：根据向量传递性，正确；
对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；
对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一个是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D错.
故选：B.
3．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】①错误，只有速度，位移是向量．
②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．
③错误，
④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．
故选：A.
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等
B．单位向量
C．零向量与任意向量平行
D．若向量，满足，则
E．
【答案】C
【分析】利用单位向量的定义可判断AB；利用零向量的定义可判断CE；利用向量定义可判断D.
【详解】对于A，单位向量是模长为1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A错误；
对于B，单位向量，故B错误；
对于C，零向量方向任意，故零向量与任意向量平行，故C正确；
对于D，若向量满足，只说明的大小相等，方向不一定，故D错误；
对于E，，故E错误；
故选：C
5．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②若||＝||，则＝或＝－；
③若 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若，则与共线．
A．0B．1
C．2D．3
【答案】A
【分析】根据向量相等、向量的模的概念可判断①②；根据数乘向量可判断③；由特例可判断④.
【详解】①错误，如在▱ABCD中，，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；
②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；
③错误，若 (λ为实数)，则λ＝0或；
④错误，当λ＝μ＝0时，＝0，但与不一定共线．
故选：A
6．（2022·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）
A．9B．11
C．18D．24
【答案】D
【分析】由图形，根据共线和平行关系，先求所有方向上的相等向量，再改变方向，即可得到所有情形.
【详解】如图，
由已知可得，
，，，，
有12对相等的向量，
改变其方向，又有12对相等的向量，共24对，
故选：D.
7．（2022·全国·高一专题练习）下列五个命题，共中正确命题序号是（ ）
A．单位向量都相等B．对于任意向量，必有
C．若向量，共线，则D．若，则与的方向相同或相反
【答案】B
【分析】对于A：利用单位向量的定义进行否定；
对于B：对，同向、反向、不共线，分别讨论；
对于C：用共线向量的夹角为0或π，进行判断
对于D：利用零向量的方向是任意的进行判断.
【详解】对于A：单位向量的模都相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B：利用向量加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，：若，同向，必有；若，反向，必有；若，不共线，向量加法的三角形法则，必有.综上所述：对于任意向量，必有，故B正确；
对于C：若向量，共线，则，的夹角为0或π，所以，故C错误；
对于D：若，则与的方向相同或相反，这种说法是错误的，因为零向量与所有的非零向量都平行，但零向量的方向是任意的.
故选：B
二、多选题
8．（2022秋·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考阶段练习）有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若分别表示的面积，则
【答案】CD
【分析】利用向量的传递性和向量的线性运算及向量共线的充要条件可判断A、B、C项，运用三角形重心向量的表示和性质，结合三角形面积的求法可判断D项.
【详解】对于A项，若，且，则，故A项错误；
对于B项，若，且，则存在唯一实数使得，故B项错误；
对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，C项正确；
对于D项，因为，整理得
如图所示：
故,所以三点共线；故，,
所以，故，故D项正确.
故选：CD.
9．（2022·高一单元测试）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
10．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆中学统考阶段练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
【答案】ABD
【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.
【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误；
对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；
对于D，当时，无意义，故D错误.
故选：ABD
11．（2022秋·山东东营·高一广饶一中校考阶段练习）有下列说法其中正确的说法为
A．若，，则：
B．若，，分别表示，的面积，则；
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D．若，则存在唯一实数使得
【答案】BC
【解析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.
【详解】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C.
【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.
三、填空题
12．（2022·全国·高一专题练习）下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【答案】①③
【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
13．（2022·高一课时练习）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【答案】.
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
四、双空题
14．（2022·高一课时练习）已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是_____，向量的取值范围是_____.
【答案】
【解析】①由题可知的最小值为，用含t的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得t；
②表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，得答案.
【详解】①由题
因为，，所以
因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，最小
所以，解得
又因为与的夹角为锐角，所以，故；
②因为
又有
将模长代入，设
即原式
因为，所以
故答案为：①；②
【点睛】本题考查了由平面向量的模的最值求参数，还考查了以平面向量的运算法则、数量积运算为载体转化为三角函数求最值问题，属于难题.
五、解答题
15．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
【点睛】关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.