高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题，共23页。

一、单选题
1．（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量的加法法则求解
【详解】
故选：A
2．（2022·高一课时练习）若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．正三角形B．锐角三角形
C．斜三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】直接求出，即可判断.
【详解】由于，|，，所以△ABC为等腰直角三角形．
故选：D.
3．（2022·高一课时练习）在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形B．四边形是菱形
C．四边形是正方形D．四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；
【详解】解：，，
，且，四边形是平行四边形．
故选：D．
4．（2022·全国·高一假期作业）向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.
【详解】
故选：D
5．（2022·全国·高一专题练习）在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．矩形
C．正方形D．平行四边形
【答案】D
【分析】利用向量的加法平行四边形法则求解出答案.
【详解】由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.
故选：D.
6．（2022秋·广东清远·高一校考阶段练习）向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．
【答案】D
【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
7．（2022·高一课时练习）在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】A
【分析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长.
【详解】在矩形中，由可得,又因为,故，故，
故选:A
8．（2022·高一课前预习）正方形的边长为1，则为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.
【详解】在正方形中，如图所示,
根据向量加法的平行四边形法则，,
又因为正方形的边长为1，
所以，
故选：B.
9．（2022秋·重庆江北·高一字水中学校考阶段练习）点P在内部，满足，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别取、的中点、，连接，根据平面向量的线性运算确定点的位置，由此可求得的值.
【详解】分别取、的中点、，连接，
因为，，所以，，
同理可得，
因为，
所以，，所以，，
所以，点为线段上靠近点的三等分点，
故，，，
因此，.
故选：C.
二、多选题
10．（2022·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（ ）
A．10B．C．2D．22
【答案】BC
【分析】设，过点作于点，得到，过点作于点，得到，进而求得的长.
【详解】设．则,
过点作于点，则，所以，可得，
过点作于点，则,
又由，所以，即.
故选：BC.
11．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与可能平行B．点P在线段EF上
C．D．
【答案】BC
【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；
根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.
【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；
设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.
故选：BC.
三、填空题
12．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）化简：________．
【答案】
【分析】依据向量加法法则去求解即可.
【详解】
故答案为：.
13．（2022秋·上海长宁·高一校考期中）在边长为2的正方形ABCD中，______.
【答案】2
【分析】由向量运算可求解.
【详解】.
故答案为：2.
14．（2022秋·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）在平行四边形ABCD中，______．
【答案】
【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得；
【详解】解：
故答案为：
15．（2022秋·浙江嘉兴·高一校考期中）的化简结果是 ______ ．
【答案】
【分析】根据向量加法法则计算即可
【详解】=.
故答案为：
16．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，则＋＋＝________.
【答案】
【分析】利用向量的加法运算即得.
【详解】＋＋.
故答案为：.
17．（2022·高一课时练习）如图，在平行四边形中，O是和的交点.
（1）____________；
（2）________；
（3）_______；
（4）_________.
【答案】
【分析】根据向量加法法则计算．
【详解】（1）由平行四边形法则，；
（2）由向量加法的三角形法则，；
（3）由向量加法法则得，；
（4）由向量加法法则得，．
故答案为：；；；．
18．（2022·全国·高一专题练习）若C是线段AB的中点，则＋＝________.
【答案】
【分析】根据相反向量的加法可求解.
【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB.
∴与方向相反，模相等．∴.
故答案为：
四、解答题
19．（2022·高一课时练习）化简
(1)；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可.
【详解】（1）=
（2）==.
20．（2022·高一课时练习）如图，请在图中直接标出：
(1)＋．
(2)＋＋＋．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据向量加法法则进行计算.
【详解】（1），如图所示：
（2）＋＋＋，如图所示：
21．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
【答案】
【分析】根据向量加法法则的几何意义，即可得到答案；
【详解】如图所示，
以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知
由，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，，
又∠COB＝120°，且，
，.
22．（2022·高一课时练习）如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝，＝，＝．证明：＝．
【答案】证明见解析
【分析】由题图，根据向量的加减法则有，，，再将进行化简，即可证结论.
【详解】由题图有：，，，
所以，得证.
23．（2022·高一课时练习）在中，求．
【答案】
【分析】由平面向量的相等向量与相反向量的定义化简可得.
【详解】记，则
所以
24．（2022·高一课时练习）如图，已知，求作.
(1)；
(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解.
【详解】（1）在平面内任取一点，如图所示
作则.
（2）在平面内任取一点，如图所示
作则.
【选做题】
一、单选题
1．（2022秋·新疆伊犁·高一统考期末）在正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量加法的三角形法则可得答案.
【详解】作出图形如下所示，
由已知得，，
所以
.
故选：D.
2．（2022·全国·高一专题练习） 为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同B．是共线向量且方向相反
C．D．无论什么关系均可
【答案】A
【分析】根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.
【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且；
当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且；
当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且，
所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同.
故选：A.
3．（2022秋·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．；
B．若、非零向量且，则；
C．若且，则；
D．若，则有且只有一个实数，使得.
【答案】B
【分析】注意到零向量的符号应当是，可知A错误；对于B：利用向量的模的性质和数量积运算可以证明，可得B正确；考虑到的情况，得到C错误；考虑到，，可知D错误.
【详解】左边是向量的加法，结果是零向量，用表示，故A错误；
由、非零向量且，
两边平方可得，
即，所以，故B正确；
当时也有且，故C错误；
若，，不存在实数，使得，故D错误．
故选：B．
4．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】在在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数.
【详解】连接，，且，
在上取一点，使得，
则四边形为平行四边形，.
设，则，
由图可知，
故.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量的和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值.
5．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若是垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．
二、多选题
6．（2022·高一单元测试）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
7．（2022·高一单元测试）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.
【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立；
对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立；
对于C：因为，
如下图所示，可知在内部，故成立；
对于D：因为，
如下图所示，可知在外部，故不成立；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD选项中的向量关系式要根据进行化简.
三、填空题
8．（2022·全国·高一专题练习）已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数______.
【答案】4
【分析】先由G为正方形的中心，可知G为、的中点，再利用向量的加法，进而可求出结果.
【详解】因为G为正方形的中心，所以G为正方形、的中点，
又点为正方形所在平面外一点，
利用向量的加法法则知，，
因此，即.
故答案为：4
9．（2022·全国·高一专题练习）是正三角形，给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号)
【答案】①③④
【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误.
【详解】对于①，，，，①正确；
对于②，，如下图所示，以、为邻边作平行四边形，
由平面向量加法的平行四边形法则可得，显然，②错误；
对于③，以、为邻边作平行四边形，则，
以、为邻边作平行四边形，则.
由图可知，，即，③正确；
对于④，，，因为，④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合图形的几何特征进行判断.
10．（2022·高一课时练习）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______．
【答案】
【分析】本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果.
【详解】如图，结合题意绘出图像：
因为，，
所以，，
则，，
故
，
因为，
所以，解得，，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
11．（2022·高一课时练习）如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
【答案】4
【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题
【详解】设，以，为一组基底，则.
∵点与点分别共线，
∴存在实数和，使.
又∵，
∴解得
∴，
∴.
【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解
12．（2022·高一课时练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______
【答案】
【分析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解.
【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：
则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）
当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题.
13．（2021秋·江西宜春·高一江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______.
【答案】
【分析】设，，则，根据考查向量加法的平行四边法则，可知，再利用等面积法分别确定，，求解即可.
【详解】如图，
设，，则，连接，，
过点，点作的垂线，垂足分别为点，点，
由向量加法的平行四边形法则可知
又
同理可得
∴.
故答案为：
【点睛】本题考查向量加法的平行四边法则，等面积转化法，是解决本题的关键，属于较难的题.
四、解答题
14．（2022·高一课时练习）（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求；
（2）设O是正n边形的中心，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】根据正多边形的性质，将正边形绕中心顺时针旋转，易知中心与各顶点的连线必重合，即它们所代表的向量之和不变，即可确定结果.
【详解】（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图：
向量在旋转后对应位置为，
所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.
（2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，
同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.
15．（2021秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知内一点满足，若的面积与的面积之比为，的面积与的面积之比为，求实数的值.
【答案】,
【分析】因为，又由平行四边形法则有向量，所以，，只需求出，即可。根据平面几何知识，将三角形面积之比转化为边之比，可求出，，从而求出。
【详解】如图，过点作，则，所以.
作于点，于点.
因为，所以.
又因为，所以，
即，所以，同理.
【点睛】本题主要考查向量共线定理、平面向量基本定理以及平行四边形法则的应用，涉及到平面几何知识的运用，意在考查学生的转化与化归能力以及数学建模能力。