高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后测评，共14页。

一、单选题
1．（2022·高一课前预习）在△ABC中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用向量的减法的三角形法则求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
2．（2022秋·福建福州·高一校联考期末）已知为线段上一点，且，若为直线外一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量加法减法的三角形法则计算即可.
【详解】如图，
故选：B.
3．（2022秋·湖北黄冈·高一湖北省罗田县第一中学校考阶段练习）化简等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量三角形法则进行加法和减法运算即可．
【详解】解：根据题意可知，.
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量的运算律，属于基础题.
4．（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的加法和减法的运算法则即可得解.
【详解】解：.
故选：D.
5．（2022·高一课时练习）在四边形中，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量加法、减法的运算求得.
【详解】.
故选：D
6．（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，，则必有（ ）
A．四边形ABCD是矩形B．＝或＝
C．＝D．四边形ABCD是正方形
【答案】A
【分析】在平行四边形中，根据向量加法、减法的运算法则可判断其对角线的关系，然后可知.或者两边平方，根据数量积为0可判断四边形形状.
【详解】由ABCD构成四边形可知，BC错误；在平行四边形ABCD中，，，由题知，即平行四边形的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，A正确；易知四边形ABCD不一定是正方形，故D错误.
故选：A.
7．（2022·全国·高一假期作业）在平行四边形中，为上任一点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据相反向量的意义及向量加法的三角形法则，化简可得答案．
【详解】
故选：．
8．（2022·高一课时练习）已知点G为的重心，若，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据平面向量基本定理和向量加法、减法的平行四边法则即可表示出向量.
【详解】设是中点，则，又为的重心，∴.
故选:B.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量加法、减法的平行四边形法则，属于简单题,解题时三角形法则的应用需要注意首尾相接,由起点指向终点.
二、多选题
9．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列能化简为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，，D选项错误.
故选：ABC
三、填空题
10．（2022秋·河南南阳·高一唐河县第一高级中学校联考阶段练习）计算：_________．
【答案】
【分析】由平面向量的加减法及其运算律求解即可.
【详解】.
故答案为：.
11．（2022秋·陕西汉中·高一统考期末）如图所示，已知到平行四边形的三个顶点的向量分别为，则________(用表示)．
【答案】
【分析】利用向量线性运算直接推导即可.
【详解】.
故答案为：.
12．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知非零向量，满足：，作，，则___________.
【答案】
【分析】构造平行四边形，可得为正三角形，根据图形可得答案.
【详解】构造如图所示的平行四边形，，,
则，，
则为正三角形，
故，
则平行四边形为菱形，
故OB平分，
则.
故答案为：
13．（2022秋·浙江丽水·高一校考阶段练习）已知非零向量，满足，则_________.
【答案】
【分析】由已知，结合向量的减法法则，可以得出一个特殊的等边三角形，再根据向量加法的平行四边形法得出，从而求得结果.
【详解】如图，设，，则，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则.
因为，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，，所以，
所以.
故答案为：．
14．（2022·高一课时练习）已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）
①；②；③；④.
【答案】①②③
【分析】设分别为的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一判断即可得出答案.
【详解】对于①，，故①成立；
对于②，设分别为的中点，
则，
，
，
所以，故②成立；
对于③，，
所以，故③正确；
对于④，，故④不成立.
故答案为：①②③.
四、解答题
15．（2022秋·江西上饶·高一校联考阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.
【详解】（1）四边形是边长为的正方形，
（2）
16．（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.
【答案】，，
【分析】根据向量加法和减法的运算法则即可求解.
【详解】解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，.
17．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，是平行四边形的对角线的交点，设，，，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：根据图形关系，利用向量线性运算表示出和即可得到结论；
方法二：根据图形关系，利用向量线性运算表示出和即可得到结论.
【详解】方法一：，，
，.
方法二：，
，
，.
18．（2022·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（1）
；
（2）
19．（2022·高一课前预习）如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与.
【答案】，
【分析】利用平面向量的线性运算可得出向量与关于向量、、的表达式.
【详解】解：由平面向量的减法可得，.
20．（2022·高一单元测试）如图，O为内一点，，，.求作：
(1)+-；
(2)--.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.
（2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象.
(1)
设是的中点，连接并延长，使.
+-.
(2)
--=-（+）.
【选做题】
一、多选题
1．（2022秋·江苏淮安·高一统考期中）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B结论正确，A结论错误；
因为，，且，
所以，即C结论正确；
因为，
，所以D结论正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
2．（2021秋·山西晋中·高一校考阶段练习）在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据向量加法与减法依次讨论各选项即可求解.
【详解】解：对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，根据平行四边形法则，，故B选项正确；
对于C选项，，故C选项错误；
对于D选项，，故D选项错误.
故选：CD
二、填空题
3．（2022秋·高一课时练习）已知向量、满足，在上的投影（正射影的数量）为，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】设向量、的夹角为，可得出，由可得出，计算出，由此可得出的最小值.
【详解】设向量、的夹角为，在上的投影为，可得出，
即，而，所以，
因为
所以，即，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解，求解的关键就是根据投影的定义求出的取值范围，再结合平面向量数量积的运算性质求得的最值.
4．（2022·高一课时练习）已知非零向量满足，则_____________.
【答案】
【解析】设,则,由可得为等边三角形,设其边长为1,进而求解即可
【详解】如图,设,则,
∵,
∴,∴为等边三角形,
设其边长为1,则,
∴
故答案为:
【点睛】本题考查向量的加法,向量的减法在集合中的应用,考查向量的模的应用
5．（2022·高一课时练习）若，且，则与所在直线的夹角是_______________.
【答案】
【解析】设,则,,由可得,则是等边三角形,进而求解即可
【详解】设,以为邻边作平行四边形,如图所示,则,,
∵,∴,∴是等边三角形,∴,
在菱形中,对角线平分,∴与所在直线的夹角为
故答案为:
【点睛】本题考查向量的加法,向量的减法在几何中的应用
6．（2021·高一课时练习）在三角形ABC中，若，且，则_______
【答案】1
【分析】根据，即可得出，从而可求出x，y，进而得出
【详解】
，
又，，
故答案为：1．
三、双空题
7．（2022·江苏·高一专题练习）若非零向量和满足,则的取值范围是________,的取值范围是________.
【答案】
【分析】(1)根据平面向量的三角不等式求解的取值范围即可.
(2)根据结合平面向量的三角不等式可得与,再根据求解的取值范围即可.
【详解】(1)因为,又是非零向量,所以的取值范围是.
(2)因为,所以,,
又,，所以的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】本题考查平面向量加减法的几何意义､向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题.
四、解答题
8．（2021·高一课时练习）证明：当向量，不共线时，
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设，，以为邻边作一个平行四边形，则在中利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案；
（2）在中，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案
(1)
如图所示，设，，且向量，不共线，
以为邻边作一个平行四边形，则，
在中，因为，所以，
因为，所以，
所以.
(2)
由（1）向量，不共线，在中，因为，
所以，
因为，所以，
所以．