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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第2课时测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第2课时测试题，共14页。
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
2．（2022·高一课时练习）点在线段上，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线定理进行求解
【详解】不妨设，则，
因为点在线段上，则，
故选：D
3．（2022秋·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P的位置，再去求与的面积之比
【详解】由
可得，即点P在线段BC上，且
则与的面积之比等于
故选：B
4．（2022秋·广东东莞·高一校考期中）在中，点D是的中点，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算可求出结果.
【详解】.
故选：A
5．（2022秋·安徽淮南·高一淮南第一中学校考阶段练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】B
【分析】由已知可得，由此可得出结论.
【详解】因为，则，所以，是的外心.
故选：B.
6．（2022·全国·高一专题练习）已知点在△所在平面内，且，则点依次是△的（ ）
A．重心 外心B．重心 内心C．外心 重心D．外心 内心
【答案】C
【分析】由外心到三角形顶点距离相等、重心的性质：且，结合题设即可判断是△的哪种心.
【详解】∵，
∴到△的三个顶点的距离相等，故是△的外心，
如下图，若是△三条中线的交点，是上的中线，
∴，又，
∴，故题设中的是△的重心.
故选：C
7．（2022·高一课时练习）如图，设P，Q是线段的三等分点（点P靠近点A），则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据数乘向量的概念逐一判断即可.
【详解】根据题意，，又与方向相同，∴，故A错误；
，又与方向相反，∴，故B正确；
，又与方向相反，∴，故C错误；
，又与方向相反，∴，故D错误.
故选：B.
8．（2022·高一单元测试）在中，是边上的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为是边上的中点，
所以，
故选：C
9．（2022秋·高一课时练习）在中，，，，则直线通过的（ ）
A．垂心B．外心C．重心D．内心
【答案】D
【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定.
【详解】因为,∴，
设,则，
又，
∴在的角平分线上，
由于三角形中,
故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，
故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，
故选D.
二、多选题
10．（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，数形结合法写出关于其它线段对应向量的线性关系.
【详解】
.
故选：ABD
11．（2022·高一课时练习）在中，，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用图形关系进行平面向量的加法运算、减法运算及数乘运算即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以，.
故选：AC.
三、填空题
12．（2022秋·北京丰台·高一统考期中）如图，在中，向量，且，则______.
【答案】1
【分析】利用图形关系进行平面向量的线性运算求出，即可得出结果.
【详解】由题意知，
，
所以，
所以，
则，
故.
故答案为：1.
13．（2022·高一课时练习）如图，C，D将线段AB等分为三段，则
（1）______；
（2）______；
（3）______．
【答案】 1 3 -2
【分析】（1）根据向量方向相同和模长相等求出相应的关系；（2）根据向量方向相同和模长的倍数关系求出相应的关系；（3）根据向量方向相反及模长的倍数关系求出相应的关系.
【详解】（1）因为方向相同，且，故，
（2）由于方向相同，且，故，
（3）由于方向相反，且，故.
14．（2022秋·北京丰台·高一北京市第十二中学校考阶段练习）平行四边形中，，则__________.
【答案】1
【分析】由向量的线性运算求得，即可求解.
【详解】
由题意知：，则，即，则.
故答案为：1.
15．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________.
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算求解．
【详解】设D为AB的中点，则.
又M为△ABC的重心，则，
所以
故答案为：．
四、解答题
16．（2022·高一课时练习）已知线段AB，试根据下列描述说出M，N的位置．
(1)；
(2)，其中．
【答案】(1)M是AB的中点；
(2)N在线段AB上（不与端点重合）.
【分析】（1）根据条件可以得到M是AB的中点；（2）根据条件可以得到N在线段AB上（不与端点重合）.
(1)
因为，所以同向，且，所以M是AB的中点；
(2)
因为，其中，所以N在线段AB上（不与端点重合）.
17．（2022·高一课时练习）已知，设，．
(1)求作：，，，．
(2)向量，分别与有什么关系？
【答案】(1)答案见解析
(2)，
【分析】（1）根据数乘向量的定义即可求解；
（2）根据三角形相似的性质及数乘向量的定义即可求解.
(1)
解：在线段AB、AC上分别取点、，使得，，
在BA、CA的延长线上分别取点、，使得，，
则，，，对应的图形如下图所示：
(2)
解：∵，，
∴，
∴，=，
∴，
∴，同理可得.
18．（2022·高一课时练习）在中，已知，，求作：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析.
【分析】根据向量的加法及减法的几何意义即可求解.
(1)
解：如图，在线段AB的延长线上取，则；
(2)
解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
(3)
解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
【选做题】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
2．（2022·全国·高一假期作业）在中，，则P点（ ）
A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且
C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且
【答案】B
【分析】由已知向量间的线性关系可得，即可判断的位置及相关线段的数量关系.
【详解】由题设，，则，
所以共线且在延长线上，.
故选：B
3．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
二、多选题
4．（2022秋·山东潍坊·高一统考期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若．则存在唯一实数，使得
D．若点P为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4
【答案】BD
【分析】A、C注意零向量的情况；B由相等向量传递性判断；D由确定的位置，进而判断面积关系.
【详解】A：当为零向量时不一定成立，错误；
B：由条件知：，正确；
C：为零向量时中实数不唯一，错误；
D：由，易知：为平行于的中位线中点，
则且，故面积与面积之比为1：4，正确.
故选：BD
三、填空题
5．（2022·高一课时练习）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________．
【答案】
【分析】令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值.
【详解】若，，
∴，即为△的重心，
令，，则，，
∴，由，
故答案为：
6．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中）已知的面积为3，，为所在平面内异于点的两个不同的点，若且，其中，则的面积为______.
【答案】3
【分析】先得到和，最后表示出并转化求值即可.
【详解】解：因为，所以，即
因为，所以
所以，所以，
因为，所以，所以，
，
因为的面积为3，所以，
，
所以的面积是3
故答案为：3
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，是中档题.
四、解答题
7．（2022秋·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考开学考试）如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量的加法运算求解出的表示；
（2）根据以及已知条件可将表示为与的线性组合.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以.
8．（2022·高一课时练习）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可
（2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知：
，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解
【详解】(1)解 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明 一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得解得
∴＋＝3(定值)．
【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
2．（2022·高一课时练习）点在线段上，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线定理进行求解
【详解】不妨设，则，
因为点在线段上，则，
故选：D
3．（2022秋·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P的位置，再去求与的面积之比
【详解】由
可得，即点P在线段BC上，且
则与的面积之比等于
故选：B
4．（2022秋·广东东莞·高一校考期中）在中，点D是的中点，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算可求出结果.
【详解】.
故选：A
5．（2022秋·安徽淮南·高一淮南第一中学校考阶段练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】B
【分析】由已知可得，由此可得出结论.
【详解】因为，则，所以，是的外心.
故选：B.
6．（2022·全国·高一专题练习）已知点在△所在平面内，且，则点依次是△的（ ）
A．重心 外心B．重心 内心C．外心 重心D．外心 内心
【答案】C
【分析】由外心到三角形顶点距离相等、重心的性质：且，结合题设即可判断是△的哪种心.
【详解】∵，
∴到△的三个顶点的距离相等，故是△的外心，
如下图，若是△三条中线的交点，是上的中线，
∴，又，
∴，故题设中的是△的重心.
故选：C
7．（2022·高一课时练习）如图，设P，Q是线段的三等分点（点P靠近点A），则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据数乘向量的概念逐一判断即可.
【详解】根据题意，，又与方向相同，∴，故A错误；
，又与方向相反，∴，故B正确；
，又与方向相反，∴，故C错误；
，又与方向相反，∴，故D错误.
故选：B.
8．（2022·高一单元测试）在中，是边上的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为是边上的中点，
所以，
故选：C
9．（2022秋·高一课时练习）在中，，，，则直线通过的（ ）
A．垂心B．外心C．重心D．内心
【答案】D
【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定.
【详解】因为,∴，
设,则，
又，
∴在的角平分线上，
由于三角形中,
故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，
故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，
故选D.
二、多选题
10．（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，数形结合法写出关于其它线段对应向量的线性关系.
【详解】
.
故选：ABD
11．（2022·高一课时练习）在中，，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用图形关系进行平面向量的加法运算、减法运算及数乘运算即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以，.
故选：AC.
三、填空题
12．（2022秋·北京丰台·高一统考期中）如图，在中，向量，且，则______.
【答案】1
【分析】利用图形关系进行平面向量的线性运算求出，即可得出结果.
【详解】由题意知，
，
所以，
所以，
则，
故.
故答案为：1.
13．（2022·高一课时练习）如图，C，D将线段AB等分为三段，则
（1）______；
（2）______；
（3）______．
【答案】 1 3 -2
【分析】（1）根据向量方向相同和模长相等求出相应的关系；（2）根据向量方向相同和模长的倍数关系求出相应的关系；（3）根据向量方向相反及模长的倍数关系求出相应的关系.
【详解】（1）因为方向相同，且，故，
（2）由于方向相同，且，故，
（3）由于方向相反，且，故.
14．（2022秋·北京丰台·高一北京市第十二中学校考阶段练习）平行四边形中，，则__________.
【答案】1
【分析】由向量的线性运算求得，即可求解.
【详解】
由题意知：，则，即，则.
故答案为：1.
15．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________.
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算求解．
【详解】设D为AB的中点，则.
又M为△ABC的重心，则，
所以
故答案为：．
四、解答题
16．（2022·高一课时练习）已知线段AB，试根据下列描述说出M，N的位置．
(1)；
(2)，其中．
【答案】(1)M是AB的中点；
(2)N在线段AB上（不与端点重合）.
【分析】（1）根据条件可以得到M是AB的中点；（2）根据条件可以得到N在线段AB上（不与端点重合）.
(1)
因为，所以同向，且，所以M是AB的中点；
(2)
因为，其中，所以N在线段AB上（不与端点重合）.
17．（2022·高一课时练习）已知，设，．
(1)求作：，，，．
(2)向量，分别与有什么关系？
【答案】(1)答案见解析
(2)，
【分析】（1）根据数乘向量的定义即可求解；
（2）根据三角形相似的性质及数乘向量的定义即可求解.
(1)
解：在线段AB、AC上分别取点、，使得，，
在BA、CA的延长线上分别取点、，使得，，
则，，，对应的图形如下图所示：
(2)
解：∵，，
∴，
∴，=，
∴，
∴，同理可得.
18．（2022·高一课时练习）在中，已知，，求作：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析.
【分析】根据向量的加法及减法的几何意义即可求解.
(1)
解：如图，在线段AB的延长线上取，则；
(2)
解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
(3)
解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
【选做题】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
2．（2022·全国·高一假期作业）在中，，则P点（ ）
A．在线段BC上，且B．在线段CB的延长线上，且
C．在线段BC的延长线上，且D．在线段BC上，且
【答案】B
【分析】由已知向量间的线性关系可得，即可判断的位置及相关线段的数量关系.
【详解】由题设，，则，
所以共线且在延长线上，.
故选：B
3．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
二、多选题
4．（2022秋·山东潍坊·高一统考期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若．则存在唯一实数，使得
D．若点P为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4
【答案】BD
【分析】A、C注意零向量的情况；B由相等向量传递性判断；D由确定的位置，进而判断面积关系.
【详解】A：当为零向量时不一定成立，错误；
B：由条件知：，正确；
C：为零向量时中实数不唯一，错误；
D：由，易知：为平行于的中位线中点，
则且，故面积与面积之比为1：4，正确.
故选：BD
三、填空题
5．（2022·高一课时练习）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________．
【答案】
【分析】令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值.
【详解】若，，
∴，即为△的重心，
令，，则，，
∴，由，
故答案为：
6．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中）已知的面积为3，，为所在平面内异于点的两个不同的点，若且，其中，则的面积为______.
【答案】3
【分析】先得到和，最后表示出并转化求值即可.
【详解】解：因为，所以，即
因为，所以
所以，所以，
因为，所以，所以，
，
因为的面积为3，所以，
，
所以的面积是3
故答案为：3
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，是中档题.
四、解答题
7．（2022秋·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考开学考试）如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量的加法运算求解出的表示；
（2）根据以及已知条件可将表示为与的线性组合.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以.
8．（2022·高一课时练习）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可
（2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知：
，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解
【详解】(1)解 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明 一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得解得
∴＋＝3(定值)．
【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．
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