高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步达标检测题，共21页。

一、单选题
1．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标表示判断即可.
【详解】若，则，，,则；
若，则，解得，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案.
【详解】由题意向量，，，
则，
由于与共线，则，
故选：D
3．（2023·高一课时练习）如图，已知向量、、、，则表示成与的线性组合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先设的终点,再由三角形法则表示,用与表示即可.
【详解】如图建系设,,的终点为,的终点为,
则，又因为 ，，所以
所以
故选: .
4．（2023·高一单元测试）两个非零向量，平行的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．存在非零实数k，使
【答案】D
【分析】由向量平行的条件，结合充要条件的判定，逐个验证选项.
【详解】表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，两个非零向量，平行的充要条件是或，A选项错误；
非零向量，可能有一个为0，所以，平行不能得到，B选项错误；
两个非零向量，平行，夹角可能是也可能是，所以或，C选项错误；
若两个非零向量，平行，则存在非零实数k，使，反之，两个非零向量，，若存在非零实数k，使，则，平行，D选项正确.
故选：D
5．（2023秋·北京·高一校考期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，，，
所以，又，
所以，解得.
故选：B
6．（2023·高一课时练习）向量满足，则（ ）
A．(－3，4)B．(3，4)
C．(3，－4)D．(－3，－4)
【答案】A
【分析】根据向量加法的坐标运算直接把向量与相减即可求得是坐标.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A.
7．（2023·高一课时练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的、是否共线，即可得出结果.
【详解】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项C：因为，所以、共线，不能作为基底；
选项D：因为，所以、不共线，可以作为基底，
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，是简单题.
二、填空题
8．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，．若，则________．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得

,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
9．（2023·高一课时练习）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，若，，，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，则点A的坐标是________．
【答案】
【分析】先计算出，然后利用即可求解
【详解】因为，，，
所以，
由题意，设，所以，
，得
所以点坐标为．
故答案为：
10．（2023·高一课时练习）已知，，若一个单位向量与的方向相同，则的坐标为______．
【答案】.
【分析】解出，根据即可求出结果.
【详解】由已知可得，，则.
所以与方向相同的单位向量.
故答案为：.
11．（2023·高一课时练习）已知向量，，若与同向，则__________．
【答案】±2
【分析】由向量平行的性质列出关于的方程，检验后可得答案.
【详解】解：有题意与同向，所以．
可得，所以，解得，
经检验都满足题意，
故答案为：±2.
【点睛】本题主要考察平面向量平行的性质，考察学生的基础知识与基本计算能力，注意对结果进行验算.
三、解答题
12．（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）已知向量，，当为何值时，
(1)求和
(2)与平行？平行时它们是同向还是反向？
【答案】(1)，
(2)平行，反向.
【分析】(1)直接由向量的数乘，坐标加减法运算，以及向量模的计算公式求解；
(2)利用向量平行的条件即可求出的值，再判断结论即可.
【详解】（1）向量，，
∴，，
∴，
.
（2）若与平行，
则存在实数，使得，因此，解之得，
这时，
所以它们平行，且反向.
13．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）已知．
(1)当k为何值时，与共线；
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；
（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．
【详解】（1），，
，，
又与共线，
，即；
（2），，
、、三点共线，
，即．
14．（2023·高一课时练习）已知平面向量，.
（1）若与垂直.求；
（2）若向量，若与共线，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意求出与的坐标，由垂直得数量积为0可得结果；
（2）由题意求出与，由共线求出的值，代入模长公式求得结果.
【详解】（1）因为，.
所以，.
因为与垂直，
所以，
整理得，
解得或(舍去).
（2）因为，，，
所以，.
因为与共线，
故，
所以解得
所以，，
所以.
【点睛】方法点睛：两向量，的位置关系求参数的常见方法：
（1）由，得；
（2）由，得.
【选做题】
一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题首先可设点的坐标为，然后通过题意得出，再然后写出、，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.
【详解】设点的坐标为，
因为、、三点共线，所以，
因为，，所以，，
则，整理得，
将、、、代入中，只有满足，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求点坐标，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，考查计算能力，是中档题.
2．（2022·高一课时练习）若三点共线,则的值为
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】根据三点共线得，利用向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】由题：三点共线,
，
所以，，
，
所以.
故选：B
【点睛】此题考查根据三点共线求代数式的值，关键在于熟练掌握平面向量共线的坐标表示.
3．（2022春·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知平面向量，则向量的模是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【详解】因为向量，，，，故选C.
二、多选题
4．（2022春·广东广州·高一华南师大附中校考阶段练习）已知在等腰中，是底边的中点，则（ ）．
A．在方向上的投影向量为
B．在边上存在点使得
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，利用向量的加法运算和数量积的几何意义判断即可，对于B，如图建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解判断，对于C，分别求出和的坐标，然后判断，对于D，利用坐标求解判断即可
【详解】对于A，因为，在方向上的投影向量为，所以A错误，
对于B，如图建立坐标系，设，则
，
所以，
由，得，得，
因为，所以，所以在边上存在点使得，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以D正确，
故选：BCD
5．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．存在，使得
【答案】BCD
【分析】利用平面垂直的坐标表示可判断A选项；利用投影向量的定义求出与夹角，可判断B选项；利用与共线的单位向量为，可判断C选项；由可知、方向相反，结合共线向量的坐标表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，
因为，若，则，不合乎题意.
所以，，所以，，即，A对；
对于B选项，由已知可得，，
在上的投影向量为，
则，因为，则，B错；
对于C选项，与共线的单位向量为，
故与共线的单位向量为和，C错；
对于D选项，由B选项可知，
若存在存在，使得，则、方向相反，则，这与矛盾，D错.
故选：BCD.
6．（2022春·浙江宁波·高一校考期末）已知的顶点坐标为、、，点的横坐标为14，且、、三点共线，点是边上一点，且，为线段上的一个动点，则（ ）
A．点的纵坐标为-5
B．向量在向量上的投影向量为
C．
D．的最大值为1
【答案】BCD
【分析】对于A：设，再由、、三点共线，得存在，使得，即可记得，，即可判断A是否正确；
对于B：向量在向量上的投影向量为，计算即可判断B是否正确；
对于C：设，由，得①，由点在边上，得②，解得，，进而可得点坐标，计算，，即可判断C是否正确；
对于D：由为线段上的一个动点，设，且，利用二次函数的性质，计算最大值，即可判断D是否正确.
【详解】解：对于A：设，
则，，
由、、三点共线，得存在，使得，
得，
解得，，
所以，故A错误；
对于B：由上可知，，
向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C：设，则，
又，
则由，得①，
因为点在边上，
所以，即②，
由①②得，，，
所以，
所以，，
所以，故C正确；
对于D：因为为线段上的一个动点，
设，且，
则，，
所以，，
所以当时，的最大值为1.故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）若，，三点不能构成三角形，则t=______．
【答案】
【分析】由题设知三点共线，结合且的坐标表示列方程组求参数即可.
【详解】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，
所以且，则，可得.
故答案为：
8．（2023·高一课时练习）已知向量与向量互相平行，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据向量平行可得，可得，利用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】因为向量与向量互相平行
所以，
解得，
所以，
故填.
【点睛】本题主要考查了向量平行的充要条件，向量的坐标运算，正切的二倍角公式，属于中档题.
9．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题：
① 线段、的中点的广义坐标为；
② A、两点间的距离为；
③ 向量平行于向量的充要条件是；
④ 向量垂直于向量的充要条件是.
其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）
【答案】①③
【分析】根据点、的广义坐标分别为、，，，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.
【详解】点、的广义坐标分别为、，，，
对于①，线段、的中点设为M，根据=（）=
中点的广义坐标为,故①正确.
对于②，∵（x2﹣x1），
A、两点间的距离为，
故②不一定正确.
对于③，向量平行于向量，则，即（）=t,，故③正确.
对于④，向量垂直于向量，则=0，，故④不一定正确.
故答案为①③.
【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2022秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．
【答案】##-0.5
【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得
故答案为：
四、解答题
11．（2023·高一课时练习）若平面上三点的坐标分别为，，．
(1)证明：A、B、C三点共线；
(2)设O是坐标原点，且四边形ABOD是平行四边形，求顶点D的坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定、的坐标，根据向量共线定理即可证明结论；
（2）设D的坐标为，由平行四边形及向量相等即可求结果.
【详解】（1）由题设，，
所以，即，且有公共点A，
故A、B、C三点共线．
（2）设D的坐标为，因为四边形ABOD是平行四边形，O是坐标原点，
所以，即D的坐标为．
12．（2023·高一课时练习）已知平面上的点，，，点C满足，连接DC并延长至点E，使，求点E的坐标．
【答案】
【分析】由结合向量相等列出方程求出的坐标，由题意求出，同理可求得的坐标.
【详解】设，由，得，
即，解得，即，
设，由，得，即
即，解得，即，
故答案为：
13．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）如图所示，在的边、上分别有点、，且，，与的交点是，直线与交于点.设，.
（1）用、表示；
（2）设，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，由，，三点共线，由共线定理可知：，求得的值，；
（2）由（1）可知，，，三点共线，，即可求得求的值．
【详解】解：(1)由、、三点共线可设，
∵，，∴，
∵、、三点共线，∴，即，
∴；
(2)由(1)知，
∵、、三点共线，
∴，即.
【点睛】本题考查向量共线定理，考查向量的运算，考查数形结合思想，属于中档题．
14．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P．
(1)将向量用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解，
（2）用基地向量表示,根据数量积的运算即可求解.
（1）
由，以分别为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，
设，故，进而,
因为,所以得：，解得，故，
由,
故
（2）
由（1）知，又,
故
15．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）平面内给定三个向量，，.
(1)求满足的实数，；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）把已知向量的坐标代入，解方程组即得解；
（2）解方程即得解.
（1）
解：因为，，，且，
，，解得，
（2）
解：，.
因为，，解得.
16．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考阶段练习）已知.
(1)当为何值时，与共线？
(2)若且三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由平行的坐标运算计算；
（2）由向量共线求解．
(1)
由已知，，
与共线，则，；
(2)
由已知，
三点共线，则共线，而不共线，
所以，解得．
17．（2022春·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
【答案】（1）；；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标；
（2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得.
【详解】解：（1）设，则，
，
，
，
；
（2）证明：连接,
，，
，且，
又，，
,
四边形为等腰梯形.
18．（2022·高一课时练习）已知点及，求：
（1）若点在第二象限，求的取值范围,
（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）首先写出向量的坐标，即点的坐标，根据点在第二象限，列不等式求的取值范围；（2）若是平行四边形，只需满足，验证是否存在.
试题解析：(1) ,…3分
由题意得解得 .
(2)若四边形要是平行四边形，只要,
而，，由此需要,但此方程无实数解，
所以四边形不可能是平行四边形.
19．（2022春·湖北·高一统考期末）如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，.
(1)用，表示，；
(2)若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求.
【答案】(1)；
(2)5
【分析】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用，表示，；
（2）利用向量共线充要条件求得的坐标，进而即可求得的值.
(1)
在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，
(2)
在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，
则，，
则
设，则
由，可得，解之得
则，则