高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时同步练习题，共22页。
一、单选题
1．（2022春·广西贵港·高一校考期中）记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理可求出结果.
【详解】由正弦定理，得.
故选：B
2．（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）在中，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理可直接求得结果.
【详解】由正弦定理得：.
故选：C.
3．（2022春·浙江杭州·高一学军中学校考期中）在△ABC中，D是边BC上的一点，，，，则（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【分析】设，分别在和使用正弦定理，通过等量代换可得等式 ，从而求出的大小.
【详解】
如图所示,在中，，，
所以，由正弦定理知
，
设，，
所以
设，
在中，由正弦定理得：
，即，解得.
故选：B.
4．（2022春·安徽合肥·高一校考阶段练习）在中，分别是角所对的边，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理求得，再利用面积公式进行求解即可.
【详解】由正弦定理得：，
由面积公式得：.
故选：.
5．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解B．，，，有一解
C．，，，有一解D．，，，无解
【答案】D
【分析】已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的个数解.
【详解】因为，，如图于，
由直角可得.
当或时，有一解；
当时，无解；
当时，有两解.
结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.
故选：D
6．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】方法1：A、B、C项通过解三角形来判断其解的个数，D项通过大边对大角与三角形的内角和为可判断其解的个数.
方法2：画图看三角形解的个数.
【详解】对于A项，方法1：∵，，
∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一确定，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项A错误；
对于B项，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项B错误；
对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵ ∴角B有两个解.
方法2：如图所示，
∵，
∴，
∴角B有两个解. 故选项C正确；
对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在这样的三角形.
方法2：如图所示，
∵，
∴
∴此时A、B、C三点不能构成三角形. 故选项D错误；
故选：C.
二、多选题
7．（2022春·安徽淮南·高一淮南市第五中学校考阶段练习）在中，下列关系中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用正弦定理分析判断即可.
【详解】在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以AC错误，BD正确，
故选：BD
三、填空题
8．（2023·高一课时练习）在中，，，，则的面积等于______．
【答案】
【分析】先由余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】在中，由余弦定理得：
，
解得：，
所以的面积为：
.
故答案为：.
9．（2023·高一课时练习）在中，，且最大边长为14，则该三角形的面积为______．
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，进而求得，再用面积公式求解即可.
【详解】因为，且最大边长为14，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
故答案为: .
10．（2022春·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考阶段练习）在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有△ABC满足条件：边，角，我想让它有两解，那么边b的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可）
【答案】18或19
【分析】在三角形中，已知其中一边和其中一角，根据几何关系得出另一边和已知边和角的关系，求出b的取值范围，即可求出b的整数值
【详解】解：由题意，
在△ABC中，，，b为整数，
∵三角形有两解，
∴即，
解得：，
∴b的整数值为18或19.
故答案为：18或19.
11．（2022春·河南·高一校联考期中）在中，，则的外接圆半径为__________.
【答案】
【分析】利用余弦定理求出边BC长，再利用正弦定理计算作答.
【详解】在中，由余弦定理得：，
所以的外接圆半径.
故答案为：
12．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若的内角，，满足，则的最大值为______.
【答案】
【分析】先由正弦定理得到三边的关系，然后由余弦定理求角的余弦的最小值，再求得结果.
【详解】已知，由正弦定理可知，
则，因为，即，
所以，则，且当时，角最大，而在上单调递增，
此时，所以.
故答案为：.
13．（2023·高一课时练习）在锐角中，若a＝3，b＝4，三角形的面积为，则c＝______．
【答案】
【分析】根据面积公式，求出角，再根据余弦定理得：求解.
【详解】
又锐角，所以，
根据余弦定理得：
故答案为：
四、解答题
14．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：
(1)角B；
(2)的面积S.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)正弦定理求解；
(2)根据面积公式求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
因为在中，且，所以.
（2）因为，
所以.
所以.
15．（2023·高一课时练习）在中，a，b，c分别是角A、B，C的对边，，．若，求．
【答案】
【分析】直接由正弦定理可得答案.
【详解】由正弦定理得
.
16．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理即可求解；
（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，即，
因为，所以.
（2），所以，
由余弦定理得，
所以的周长为．
17．（2022春·吉林长春·高一校考期中）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求该三角形的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可求出结果；
（2）根据三角形的面积公式和余弦定理可求出结果.
【详解】（1）由以及正弦定理得，
得，
得，
因为为三角形的内角，所以，
所以，因为为三角形的内角，所以.
（2）依题意可得，所以，所以，
又由，得，
所以，所以，
所以该三角形的周长为.
【选做题】
一、单选题
1．（2022春·福建·高一福建师大附中校考期末）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．14B．16C．24D．25
【答案】B
【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值.
【详解】解：因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．
设内角，，所对的边分别为，，．
因为，所以，所以．
因为，
所以．
设内切圆与边切于点，与边切于点，与边切于点，
由可求得，（舍）
所以，，则．
由三角形内切圆的性质可知
所以，，所以．
所以．
又因为，
所以，即，
整理得．
因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：B．
2．（2022春·浙江·高一期中）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理和三角变换及三角函数的性质可求的取值范围.
【详解】因为，，故三角形外接圆直径为，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
故，
故选：D
3．（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求．
【详解】解：向量，共线，
．
由正弦定理得：．
．
，
所以
则．
，即．
同理由，共线，可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
4．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小内角是最大内角的一半
C．是钝角三角形
D．若，则的外接圆直径为
【答案】B
【分析】利用已知条件求出三边的比例，结合正余弦定理验证各选项的结论是否正确.
【详解】由，
不妨设，，，，解得，，.
由正弦定理知，即A选项错误；
∵，∴最大的内角为，最小的内角为，
由余弦定理知，，，
，角A和角C都为锐角，故，即B选项正确；
最大的内角为，∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C选项错误；
∵，∴，由正弦定理，
∴的外接圆直径，即D选项错误.
故选：B
5．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）锐角的外接圆半径为1，边，，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得，由利用两角和与差的正弦、余弦展开式、二倍角公式可得，最后由可得答案.
【详解】由正弦定理得，
因为，所以，
即，
因此或，或，
因为，所以，即.
故选：C.
二、多选题
6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．若，则P是的垂心
C．若面积为S，，则
D．
【答案】ABC
【分析】A.根据三角形的性质和正弦定理判断；
B.变形数量积公式，结合几何意义，即可判断；
C.根据三角形面积公式，和余弦定理求解；
D.利用诱导公式和三角形的性质，即可判断.
【详解】A.，再根据正弦定理，，所以是的充要条件，故A正确；
B. ，所以，同理，，所以P是的垂心，故B正确；
C.由条件可知，，即，所以，所以，，所以 ，故C正确；
D. ，故D错误.
故选：ABC
7．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若A=2C，且，为的内心，则的面积为
【答案】ACD
【分析】根据条件求出.
选项A：根据条件求角A，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b的取值范围；
选项C：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角A的范围，从而求边的范围；
选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求的内切圆半径，从而求的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得,
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，
所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,故 ,解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到.
②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中A=2C，综合三个角为锐角有,得.
三、填空题
8．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，若，，，则______．
【答案】
【分析】根据三角形内角关系得角的大小，再根据两角差的正弦公式求得的值，最后由正弦定理得边的值.
【详解】解：在，可得，
又
由正弦定理得，所以．
故答案为：.
9．（2023·全国·高一专题练习）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，，，则______．
【答案】
【分析】由得，结合三角形面积公式及正弦倍角公式可得，
由结合三角关系、正弦定理可得，即可求出，从而求得
【详解】由得①，
设，则 ②，
③，
联立①②③得，即，即.
∵，即，由正弦定理得，
∴，∵，故，故.
故答案为：
10．（2023·高一课时练习）在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为______．
【答案】1
【分析】设D为边的中点，则，平方后可求得，继而求得，利用正弦定理即可求得答案.
【详解】如图，在中，设D为边的中点，
则，,所以,
故，而,
所以 ,则，
由于，故，
所以 ，设的外接圆的半径为R,
则 ，
故答案为：1
11．（2023·高一课时练习）在锐角中，， ，外接圆直径 ．则的周长 ______．
【答案】
【分析】在锐角中,由正弦定理求得，可得，根据面积求得，再由余弦定理即可求得，即可求得的周长.
【详解】在锐角中,由正弦定理得，
即，则，
由，可得 ，
又,即，
则 ，
所以的周长，
故答案为：
12．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）是等边三角形ABC的外接圆，若的半径为2，则的面积为_________．
【答案】
【分析】利用正弦定理和三角形面积公式即可求解
【详解】因为是等边三角形ABC的外接圆，且的半径为2，
由正弦定理（其中为三角形外接圆的半径）可得，解得，
所以
故答案为：
四、解答题
13．（2023·高一课时练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足b＝2acsC＝2csinA．求证： ABC为等腰直角三角形．
【答案】证明见解析
【分析】根据正弦定理与求出的关系，再根据正弦定理与求出.
【详解】由正弦定理可得：
又
又因为，
由正弦定理得：，故
所以为等腰直角三角形
14．（2023·高一课时练习）在中，所对的边为 ，满足 ．
(1)求A的值；
(2)若，求的周长．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）化简已知等式可得 ，由余弦定理可求 , 结合范围 ，可求A的值.
（2）利用三角形的内角和定理可求C，由正弦定理可得的值，即可得解三角形的周长．
【详解】（1）∵，,
可得∶ ，可得∶ ，
,
∵，.
（2）在中,∵,,
∴,
∴由正弦定理可得：,
即，
所以的周长为.
15．（2022春·河南平顶山·高一校考阶段练习）已知在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；
（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.
【详解】（1）解：因为向量，，且
所以，由正弦定理得，
又，则，即，又，所以；
（2）解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），
所以的面积.
16．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知.
(1)求B ；
(2)若△ABC的面积,a= 10，求sin AsinC的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式变形可求得的值，即可求解；
（2）利用面积公式求出，利用余弦定理求出，再用正弦定理即可求解.
【详解】（1）由题知，
，
，,
解得：或（舍去），
，.
（2）△ABC的面积，
，即，
解得：，
由余弦定理得：，
即，
，
由正弦定理知：，
.
17．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）在中，内角所对边分别为，且
(1)求角的大小
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，将边化角即可求得角的大小；
（2）利用余弦定理可求得边，结合三角形面积公式即可求得的面积．
【详解】（1）由正弦定理以及可得，
，又因为在中，
即，整理得；
又，所以，又，可得；
即角的大小为.
（2）由余弦定理及可得，
，整理得，
解得或；
当时，的面积为；
当时，的面积为；
综上可知，的面积为或