人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积达标测试，共34页。

【必做题】
一．选择题
1．（2022秋•海伦市期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，
所以，得，
所以圆锥的侧面积为，
故选C．
2．（2022秋•江岸区期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】该几何体的对应几何体的表面是由6个边长为的正方形以及8个边长为的正三角形围成，
所以对应几何体的表面积为
故选：B．
3．（2022秋•七里河区期中）在正三棱柱中，，分别是棱，的中点，若异面直线与所成的角是，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，取的中点，连接，，
则，，
，底面，
为异面直线与所成的角，且为，
，
设，，则，即．
该三棱柱的侧面积与表面积的比值．
故选D．
4．（2022秋•黄浦区期中）一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞、、，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设到平面的距离为，
因为，所以到平面的距离为，
因为，
所以，
所以，，
所以，因此最多可盛的水的体积为，
故选D．
5．（2022秋•朝阳区期中）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，，交点为，如图，
，，则是公共边，
，，
由题意得，，，
，平面，又平面，
平面平面，
过点作平面，垂足为，连接，
，，
，平面，，，
由，是公共边，，
，，，三点在以为直径的圆周上，
，，，
，
，
．
故选C．
6．（2022秋•南京期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为，其中，别是上、下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．63车B．65车C．67车D．69车
【答案】B
【解析】两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米，
由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；
则上底面积，中截面积，下底面积，
所以该建筑材料的体积为立方米，
所以建筑材料重约（吨，
需要的卡车次为，所以至少需要运65车．
故选B．
7．（2022秋•浦东新区期中）三棱锥中，，分别为，的中点，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，，分别为，的中点，则，且，
所以，设点到平面的距离为，
则．
故选A．
8．（2022秋•朝阳区期中）已知矩形中，，，将沿折起至△，当与所成角最大时，三棱锥的体积等于
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，当时，与所成角为最大角，
如图，结合题意可得，且，
，平面，平面，
由线面垂直的判断定理可得平面，
结合线面垂直的定义，则，
在△中，，
又因为，
所以，由勾股定理有，
故．
故选C．
二．多选题
9．（2022秋•裕华区月考）有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】如图所示：
①若平面，为边长为2的正三角形，
，，都是等腰直角三角形，满足题目条件，
故其体积；
②若平面，为边长为2的正三角形，
，，都是等腰直角三角形，满足题目条件，
故其体积；
③若为边长为2的正三角形，
，都是等腰直角三角形，，，满足题目条件，取中点，
因为，而，
所以，即有平面，故其体积为；
故选BCD．
10．（2022秋•湖北月考）正方体的棱长为4，点，分别为棱，上的动点，且满足，则以下命题正确的有
A．三角形的面积始终保持不变
B．直线始终在平面内
C．三棱锥的体积始终不变
D．直线可能与平面垂直
【答案】BC
【解析】在正方体中，
对于选项，当为的中点时，点必为的中点，
又因为，而，
所以△底边上的高，，
当点与点重合时，点与点必重合，此时△必为直角三角形，，△的面积为，
显然两种情况下△的面积不同，故选项不正确；
对于选项，在棱上取点，使，连接，，如图，
因，则四边形是平行四边形，所以，，
因为四边形是平行四边形，则有，因，所以，而，
所以四边形是平行四边形，则有，因此点，，，共面，所以直线始终在平面内，故选项正确；
对于，由选项知，，，则四边形为平行四边形，，
而三棱锥与三棱锥同高，
所以是定值，故选项正确；
对于选项，显然正方体的对角面是矩形，且，因此与不垂直，
若直线与某个位置的平面垂直，由选项知，平面，则必有，矛盾，
于是得直线不可能与平面垂直，故选项不正确．
故选BC．
11．（2022秋•沧州月考）某正四棱台的上、下底面边长分别为和，若该四棱台所有的顶点均在表面积为的球面上，则该四棱台的体积可能为
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】设球的球心为，半径为，由题意可得，解得，
上底面正方形的中心为，下底面正方形的中心为，
如图，若球心在四棱台的内部，连接，，，，，，
则为四棱台的高，，可得，
同理解得，由勾股定理得：
，，
可得四棱台的高，四棱台的体积；
若球心在四棱台的外部，求得四棱台的高，
四棱台的体积．
故选BD．
12．（2022秋•日照月考）如图，已知四棱锥中，底面，，，分别是，的中点，且，记三棱锥，，的体积分别为，，，则
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为是的中点，所以，不妨设到面的距离为，
则，即，故正确，错误；
因为是的中点，所以，故，
所以，故正确；
由等底等高易得，所以，，
所以，
即，，
，故选项正确．
故选ACD．
三．填空题
13．（2022秋•辽宁月考）已知正三棱台的各个顶点都在同一个直径为10的球面上，上底面边长为，下底面边长为，则该正三棱台的体积为 ．
【答案】或
【解析】设正三棱台，外接球球心为，上底面所在小圆面的圆心为，下底面所在小圆面的圆心为，如图①，
可求得，同理，作剖面图如图②，
当球心在三棱台内部时，，，
此时三棱台的体积为；
如图③，当球心在三棱台外部时，，
此时三棱台的体积为．
故答案为：或．
14．（2022秋•浦东新区月考）正四棱柱的底面积为4，高为3，则它的侧面积为 ．
【答案】24
【解析】正四棱柱的底面积为4，正四棱柱底面边长为2，高为3，
正四棱柱侧面积．
故答案为：24．
15．（2022秋•徐汇区期中）将边长为24、20、16的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：该四面体的四个面都是一个边长分别为12，10，8的三角形，
该四面体可放置到一个长方体中，即图中的三棱锥，
不妨设，，，
则，，，
设，，，则，
解得，所以，
所以
，
故答案为：．
16．（2022秋•新华区期中）斜三棱柱中，侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为 ．
【答案】
【解析】将斜三棱柱补成平行六面体，如图所示：
侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，
，
斜三棱柱的体积为，
故答案为：．
四．解答题
17．（2022春•三水区月考）如图，已知正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的高．
（1）求正三棱锥的体积；
（2）求正三棱锥表面积．
【答案】（1）在正三棱锥中，，
；
（2）连接延长交于，连接，则为的中点，
，
在直角三角形中，，
在中，，，，
则表面积为：．
18．（2022春•龙凤区月考）如图所示，在平面四边形中，，，，，将四边形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
【答案】如图所示：
作，
因为，
所以，，，
由题意得：该几何体是一个以为底面半径的圆锥和一个以为底面半径的圆柱组成，
所以所形成的几何体的表面积为
；
所形成的几何体的体积为．
19．（2022春•田家庵区月考）长方体的体积为，是的中点，是上的动点，求四面体的体积．
【答案】设长方体中，，，，
则的体积为，
是的中点，，
是上的动点，且，
，
四面体的体积为：
．
20．（2022春•河南月考）在等腰直角三角形中，斜边，现将绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥．
（Ⅰ）求这个圆锥的表面积；
（Ⅱ）若在这个圆锥中有一个圆柱，且圆柱的一个底面在圆锥的底面上，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积．
【答案】（Ⅰ）在等腰直角三角形中，斜边，
，且．
圆锥的表面积；
（Ⅱ）设圆柱的底面半径为，高为．
根据题意，画出圆锥的轴截面：
由图可知，且．
．
显然当时，取得最大值，最大值为，此时．
故圆柱的体积．
【选做题】
一．选择题
1．（2022春•金凤区期中）已知正四棱锥的底面正方形的中心为．若高，．则该四棱锥的表面积是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，面，所以，
因为，所以为等腰直角三角形，
所以，，
所以，
所以正四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，底面是边长为2的正方形，
所以四棱锥的表面积．
故选C．
2．（2022秋•即墨区期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为
A．18B．C．D．27
【答案】B
【解析】如图，设正四棱锥的底面边长，高为，外接球的球心为，
则，
球的体积为，所以球的半径，
在中，，
所以正四棱锥的体积，
整理为，，
，
当，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
故选B．
3．（2022秋•海安市期中）已知三棱锥的外接球半径为5，，，则三棱锥的体积的最大值为
A．48B．56C．64D．72
【答案】B
【解析】如图，设外接球球心为，分别取，中点，，
连接、、、，，，
则，
，，
当、、三点共线，且面时，
三棱锥的体积最大，
，
故选B．
4．（2022秋•博望区期中）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，
即，，
则，则．
长方体的体积．
故选C．
5．（2022秋•溧水区期中）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出 个该金字塔模型（不计损耗）？
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】在正四棱锥中，令，连接，
则正四棱锥的高为，
设正四棱锥的底面边长为，则，即，
所以，正四棱锥的体积为，
则可得，则
该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型．
故选B．
6．（2022春•宽城区期中）如图，长方体的体积是36，点在棱上，且，则三棱锥的体积是
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】根据题意可得，
故选C．
7．（2022春•唐山期中）若正四面体的表面积为，则其体积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正四面体的棱长为，则该正四面体的表面积为，可得，
将正四面体补成正方体，则正方体的棱长为1，
所以，．
故选D．
8．（2022秋•安康期中）如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水（容器厚度忽略不计），将底面平放在桌面上，放水过程中当水面高度为的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，
故放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的．
故选A．
二．多选题
9．（2022秋•内江期末）如图所示，在长方体中，，点是上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题，其中真命题的是
A．四棱锥的体积恒为定值
B．对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面
C．存在点，使得平面
D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值
【答案】ACD
【解析】对于，由，且平面，
所以点，到平面的距离为定值，
则四棱锥的体积为定值，
故选项正确；
对于，可作出过的平面与平行，由面面平行的性质定理可得，存在无数个点，在棱上均有相应的点，使得平面，
同理可得，也存在无数个点，对棱上任意的点，直线与平面均相交，
故选项错误；
对于，因为，可得对角面为正方形，
所以，
若，由三垂线定理可得，，
又，，平面，
所以平面，
故选项正确；
对于，由面面平行的性质定理可得，四边形为平行四边形，
由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值，
存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值，
故选项正确．
故选ACD．
10．（2022春•高新区期中）在长方体中，，，分别为，的中点，则下列选项中不正确的是
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．直线被三棱锥外接球截得的线段长为
【答案】ABC
【解析】对选项：不妨取，中点，，连接，，，如图所示：
若，长方体，
，又平面，平面，，
平面，又平面，
，且，分别为，的中点，
，，与矛盾，故选项错误；
对选项且，分别为，的中点，
，，
，△为等腰直角三角形，又平面，
，故选项错误；
对选项：设外接球的半径为，
由选项可知△为等腰直角三角形，取中点为，
则为△外接圆圆心，，
平面，
过做的平行线，在平行线上取点为球心，过做垂线，垂足为，如图所示：
，是球面上两点，为中点，，
，，，
为矩形，，，
三棱锥外接球的表面积为，故选项错误；
对选项：由选项可知为矩形，
在可知为中点，过做垂线，垂足为，
在球面上，，被三棱锥外接球截得的线段为，
，，
，
是中点，以为底的高为，
，
，，
，故选项正确．
故选ABC．
11．（2022•武汉模拟）已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对选项，当与点重合时，
平面截正方体的截面为△，选项错误；
对选项，，又平面，平面，
平面，又点为线段（含端点）上的动点，
到平面的距离为定值，又△的面积也为定值，
三棱锥的体积为定值，选项正确；
对选项，根据运动变化思想可得：
由移动到，截面面积由小变大，
当与重合时，截面面积最大，
此时截面为矩形，其面积为，选项正确；
对选项，如图，分别取左右侧面的中心，，则垂直于左右侧面，
根据对称性易知：三棱锥的外接球的球心在线段上，
设到的距离为，则，，
设，则，又易知，外接球的半径，
则在△与中，由勾股定理可得：
，两式相减可得：，
，
令，又，，，，
，，，
设函数，，，
则的对称轴为，又一元二次函数的开口向上，
在，上单调递增，
的最小值为（1），的最大值为（2），
，
三棱锥的外接球表面积，，选项正确．
故选BCD．
12．（2022秋•章丘区期中）如图，在正三棱柱中，若，则
A．三棱锥的体积为B．三棱锥的体积为
C．点到直线的距离为D．点到直线的距离为
【答案】AC
【解析】对于选项，，在正三棱柱中，若，
则，
点到平面的距离，
三棱锥的体积为：，故正确，错误；
对于选项，，连接，
可得，，
则，
设点到直线的距离为，
则，解得，故正确，错误．
故选AC．
三．填空题
13．（2022秋•玄武区期末）在平面四边形中，，，且，，现沿着把折起，使点到达点的位置，且，则三棱锥体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】过点作于，连接，
由题意知，，，且，
所以．又，所以平面，
所以，
所以当最大时，取得最大值．
过作于．因为，所以只需最大．
在三角形中，，，所以在以、为焦点的椭圆上，
因为，由椭圆的几何性质可得，要使最大，只需为短轴顶点，即为短轴的一半，
此时，，所以，
所以，所以，
所以．
即三棱锥体积的最大值为．
故答案为：．
14．（2022秋•南岗区期中）在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，
正方体的棱长为4，，分别为，的中点，
．
故答案为：．
15．（2022秋•浦东新区期中）一个正四棱柱的底面边长为，对角线，则它的体积为 ．
【答案】144
【解析】如图，正四棱柱的底面边长为，
则，对角线，则，
故正四棱柱的体积为，
故答案为：144．
16．（2022秋•奉贤区期中）正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为 ．
【答案】
【解析】取，的中点分别为，，连接，，，取，上靠近，的三等分点分别为，，
连接，过作，垂足为，作图如下：
根据题意可得：，即为所求斜高；
易知四边形为平行四边形，故可得，
在△中，，在中，，
在中，，故．
故答案为：．
四．解答题
17．（2022秋•广东期末）已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为、的中点，与交于点，与交于点．
（1）求的长；
（2）求这两个棱锥的公共部分的体积．
【答案】（1）连接，，，如图，
平面，平面，，
又，四边形是矩形，，
，分别为，的中点，，且，
，且，四边形为平行四边形，
对角线，为的中点，
由题意可知在△中，，
．
（2）连接，交于点，过点作于，
由题知，，又，，
，平面，平面，
平面，，
，，平面，
平面，即是四棱锥的高，
由（1）同理可得点为线段的中点，，且，
在△中，，则，
，
，
这两个棱锥的公共部分的体积为：
．
18．（2015秋•沁县期中）如图，长方体，，，，点，分别在，上，，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
【答案】（Ⅰ）交线围成的正方形如下图所示：
（Ⅱ）作，垂足为，
则，，．
为正方形，，
，，．
长方体被平面分成两个高为5的直棱柱，
平面把该长方体分成的两部分体积的比值为：
．
19．（2022秋•浦东新区期中）如图1，正四棱锥，．
（1）求此四棱锥的外接球的体积；
（2）为上一点，求的最小值；
（3）将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
【答案】（1）如图，设外接球的半径为，
又，，
，
，，
外接球体积；
（2）如图，将平面，平面展开到同一个平面，
此时，
在中，，
，
的最小值为；
（3）设直角三角形的两条直角边长为，，
则，，
则构成以2为底面边长，高为的正四棱锥，
．
20．（2022春•湾里区期中）如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将核长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．求：（1）该截角四面体的表面积；
（2）该截角四面体的体积．
【答案】（1）边长为1的正三角形的面积为，
边长为1的正六边形的面积为，
该截角四面体的表面积为，
（2）易知棱长为1的正四面体的高，
棱长为3的正四面体的高为，
该截角四面体的体积为：
．