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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步达标检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步达标检测题，共25页。
【必做题】
一、单选题
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．，， ， 四点共面B．
C． D．四边形 为梯形
【答案】D
【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决.
【详解】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点，
所以 且，
同理在中， 且，
所以所以四边形为平行四边形，
所以，， ， 四点共面，所以A正确;
在中,由中位线定理得
同理在中，由中位线定理得,
所以由等角定理知，，所以B正确;
在中，由中位线定理得
所以,
所以由等角定理可知，
，,,
所以，所以C正确;
由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误;
故选:D.
2．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】B
【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用可得四边形是矩形.
【详解】因为分别是边的中点，所以，所以；
同理可得，所以四边形是平行四边形；
又因为，所以，即四边形是矩形.
故选：B.
3．（2023春·全国·高一专题练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据线与线的位置关系，结合充要条件的定义即可求解.
【详解】解：若，又，则，故充分性成立，
反之，若，又，则，故必要性成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（ ）
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
【答案】D
【分析】连接EH，FG，根据F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，和点E，H分别是边AB，AD的中点，得到EH//GF，且EH≠GF判断.
【详解】解：如图所示：
连接EH，FG.
因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，
所以GF//BD，且GF＝BD.
因为点E，H分别是边AB，AD的中点，
所以EH//BD，且EH＝BD，
所以EH//GF，且EH≠GF，
所以EF与GH相交，设其交点为M，
则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M在直线AC上．
故选：D.
5．（2023·全国·高一专题练习）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断.
【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；
对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．
故选：B
6．（2023·高一课前预习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交B．异面C．平行D．垂直
【答案】C
【分析】连接AD1，CD1，AC，根据E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判断.
【详解】如图，
连接AD1，CD1，AC，
因为E，F分别为AD1，CD1的中点，
由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.
故选：C
7．（2023·全国·高一专题练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（ ）
A．且方向相同B．，方向可能不同
C．OB与不平行D．OB与不一定平行
【答案】D
【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论．
【详解】解：如图，
；
当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，
OB与O1B1是不一定平行．
故选：D．
8．（2023·全国·高一专题练习）在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（ ）
A．梯形B．矩形
C．正方形D．菱形
【答案】D
【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH是平行四边形，再由AC=BD即可判断四边形EFGH的形状.
【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到四边形EFGH，
由中位线的性质及基本性质4知，EH∥FG，EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，
∴HG=AC=BD=EH，
∴四边形EFGH是菱形.
故选：D
9．（2023·全国·高一专题练习）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（ ）
A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形
C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似
【答案】C
【分析】根据等角定理，即可判断选项.
【详解】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等.
故选：C
二、多选题
10．（2023春·全国·高一专题练习）(多选题)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】AC
【分析】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：由等角定理可知B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：AC.
11．（2023春·全国·高一专题练习）(多选题)下列说法中，正确的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】BD
【分析】由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2023·全国·高一专题练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是______．
【答案】相交
【分析】根据平面的性质结合线线位置关系分析判断.
【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，是长方体的一条棱，那么长方体中与平行的棱共有________条．
【答案】3
【分析】根据正方体的结构特征，结合题意，即可求解.
【详解】根据正方体的结构特征，可得，共有条.
故答案为：.
14．（2022·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是_____.
【答案】平行
【分析】由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF与B1C1的位置关系.
【详解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，
∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.
故答案为：平行
15．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
【答案】8
【详解】∵，分别为，的中点，，分别是，上的点，且，，∴，，设，间的距离为，则，得 ()，故答案为 ().
四、解答题
16．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，分别为的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】先证明，，，再证明，由此证明四边形是平行四边形．
【详解】因为在空间四边形中，分别为的中点，
所以，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形．
17．（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明,
【详解】∵E、H分别是AB、CD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
18．（2023·全国·高一专题练习）设E，F，G，H分别是空间四边形的边的中点，P，Q分别是这个空间四边形两条对角线的中点．
(1)求证：相交于同一点；
(2)若，求异面直线与所成的角的大小．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线和平行四边形的性质可证均为平行四边形，再根据平行四边形对角线平分说明结论；（2）由∥、∥，根据异面直线夹角的定义结合余弦定理计算求解．
【详解】（1）如图，连接
∵E，F分别是的中点，则∥且
同理可得：∥且
∴∥且，即为平行四边形
则，且为的中点
连接，同理可证：为平行四边形，则
即相交于同一点
（2）由（1）可得：∥，
∵F，G分别是的中点，则∥且
在△中，
异面直线与所成的角为
19．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.
【答案】证明见解析
【分析】根据G，H分别是A1B1，A1C1的中点，得到GHB1C1，再由B1C1BC，利用平行公理结合平面基本性质证明；
【详解】证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是A1B1C1的中位线，
∴GHB1C1，
又∵B1C1BC，
∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面.
20．（2023·高一课时练习）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：(1)连接，，由三角形中位线定理可得，，根据正方体的性质可得，故而可得结论；（2）取的中点，连接，首先证明四边形是平行四边形，得到，再证四边形是平行四边形及平行的传递性，得到，同理得，结合角两边的方向相反，进而可得结论成立.
试题解析：(1)连接，，在中，因为，分别为，的中点，
所以，同理，在正方体中，因为，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.
(2)取的中点，连接，因为，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以，同理可证：，又与两边的方向均相反，所以.
21．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，分别是边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用三角形中位线的性质，根据平行四边形的判断方法，即可得到结论；
（2）利用有一组邻边相等的平行四边形，可证结论．
【详解】（1）∵分别是边的中点．
∴,
,
∴四边形是平行四边形；
（2）若，则，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形．
【选做题】
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】由分别为的中点，得到，结合题意得出，即可求解.
【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，
又因为，所以，所以.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】作出几何体的直观图观察即可.
【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，
故选：D.
3．（2021·高一课时练习）若直线a与直线b，c所成的角相等，则b，c的位置关系为（ ）
A．相交B．平行C．异面D．以上答案都有可能
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，即可得到答案.
【详解】可能相交，可能平行，可能异面，如图所示：
故选：D
4．（2022春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）一条直线与两条平行直线中的一条相交，则它和另一条的位置关系是（ ）
A．相交或异面B．平行C．异面D．相交
【答案】A
【分析】举例说明位置关系可以是相交或异面，反证法证明平行不成立即可.
【详解】
空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面，
如图：在正方体中，，，与异面，
，，与相交，
若这条直线与另一条平行，则三条直线互相平行与已知条件这条直线与两条平行直线中的一条相交矛盾，
所以它和另一条的位置关系不可能平行，
所以它和另一条的位置关系是：相交或异面，
故选：A.
5．（2023春·全国·高一专题练习）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．异面D．不确定
【答案】A
【分析】由平行直线的传递性可得答案.
【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
故选：A.
6．（2023春·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③B．②④C．③④D．②③
【答案】B
【分析】根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
7．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条B．4条
C．5条D．6条
【答案】B
【分析】由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
8．（2023·全国·高一专题练习）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．异面或平行B．异面或相交
C．异面D．相交、平行或异面
【答案】D
【分析】根据空间中直线的位置关系，结合已知条件，即可容易判断.
【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线，
根据异面直线的定义可得：
可以是异面直线，如下所示：
也可以相交
也可以平行
故选：.
9．（2021·高一课时练习）在空间中，下列说法中不正确的是( )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】在立体几何中，有空间四边形，它的两组对边可以相等，故可得正确选项．
【详解】对于B、C，因为有一组对边平行，所以四边形是平面图形，依据平面中平行四边形的判定定理可知，B、C中的四边形都是平行四边形，故B、C都正确．
对于D，因为对角线互相平分，所以四边形是平面图形，依据平面中平行四边形的判定定理可知该四边形为平行四边形，故D正确
对于A，如图，，不同在一个平面内，故四边形不是平行四边形（两个同底的等腰三角形，它们可以绕底旋转）．
综上，选A．
10．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意结合三角形中位线的性质可得：，
由平行公理可得：.
本题选择C选项.
11．（2021·高一课时练习）若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
A．全等B．相似
C．仅有一个角相等D．全等或相似
【答案】D
【详解】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等.
故选：D.
12．（2023春·全国·高一专题练习）若直线，与直线所成的角相等，则，的位置关系是（ ）
A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均有可能
【答案】D
【分析】根据题意，以正方体为例，即可找到满足条件的直线，与直线所成的角相等，则，的位置关系可以为相交、平行、异面．
【详解】解：若，显然直线，与直线所成的角相等；
若，相交，则，确定平面，若直线，
，，此时直线，与直线所成的角相等；
当直线，异面时，同样存在直线与，都垂直，此时直线，与直线所成的角相等；
故选D．
二、填空题
13．（2023·全国·高一专题练习）下列结论，其中正确的是________(填序号).
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.
②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补.
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
【答案】④
【分析】根据等角定理和平行线的传递性理解辨析．
【详解】根据等角定理可知：
对于①：这两个角相等或互补，①错误；
对于②、③：无法判定这两个角的两边分别平行，所以无法确定这两角的大小关系，②、③错误；
对于④：根据平行线的传递性，④正确；
故答案为：④．
14．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．
图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；
图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；
图④：证明GH∥EF，AC∥EF， BD∥GH，可得BD∥AC．
【详解】图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则：∥
又∵∥，则∥即ABFE为平行四边形
∴AB∥EF
同理: CD∥EF
则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；
图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC,BD,EF,
∵BE∥DF即BDFE为平行四边形
∴BD∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC,BD,EF,GH,
∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
同理：BD∥GH
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
15．（2023春·全国·高一专题练习）若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是______．
【答案】
【分析】根据平行线的传递性，排除重合情况即可得解.
【详解】因为且
根据平行线的传递性知平行或重合，
又因为，
再次利用平行线的传递性知平行或重合，
因为c，d为不重合的两条直线
所以.
故答案为：.
16．（2023·全国·高一专题练习）如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
【答案】平行
【分析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体，取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，得到EF∥PQ，根据PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
三、解答题
17．（2023春·全国·高一专题练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．
【答案】证明见解析
【分析】连接AC，利用正方体的性质，得到四边形AA′C′C为平行四边形，再结合M，N分别是CD，AD的中点，得到MN∥A′C′且MN=A′C′证明.
【详解】证明：如图所示：
连接AC，
由正方体的性质可知：
AA′=CC′，AA′CC′，
∴四边形AA′C′C为平行四边形，
∴A′C′=AC．A′C′AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四边形MNA′C′是梯形．
18．（2023·全国·高一专题练习）如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】结合线线平行以及平行四边形的知识来证得结论成立.
【详解】由于分别是长方体的中点，
设是的中点，连接，
根据长方体的性质可知且，
所以四边形是平行四边形.
19．（2021·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
【答案】平行
【分析】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答.
【详解】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，
而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，
由平行公理得：MN//EF，
所以直线MN与直线EF平行．
20．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据正方体的性质和平面几何知识可得证；
（2）根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.
【详解】解：(1)∵为正方体．∴，且，
又，分别为棱，的中点，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴且．
又且，∴且，
∴四边形为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．∵和方向相同，
∴．
法二：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴，∴．
【必做题】
一、单选题
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．，， ， 四点共面B．
C． D．四边形 为梯形
【答案】D
【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决.
【详解】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点，
所以 且，
同理在中， 且，
所以所以四边形为平行四边形，
所以，， ， 四点共面，所以A正确;
在中,由中位线定理得
同理在中，由中位线定理得,
所以由等角定理知，，所以B正确;
在中，由中位线定理得
所以,
所以由等角定理可知，
，,,
所以，所以C正确;
由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误;
故选:D.
2．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】B
【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用可得四边形是矩形.
【详解】因为分别是边的中点，所以，所以；
同理可得，所以四边形是平行四边形；
又因为，所以，即四边形是矩形.
故选：B.
3．（2023春·全国·高一专题练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据线与线的位置关系，结合充要条件的定义即可求解.
【详解】解：若，又，则，故充分性成立，
反之，若，又，则，故必要性成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（ ）
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
【答案】D
【分析】连接EH，FG，根据F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，和点E，H分别是边AB，AD的中点，得到EH//GF，且EH≠GF判断.
【详解】解：如图所示：
连接EH，FG.
因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，
所以GF//BD，且GF＝BD.
因为点E，H分别是边AB，AD的中点，
所以EH//BD，且EH＝BD，
所以EH//GF，且EH≠GF，
所以EF与GH相交，设其交点为M，
则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M在直线AC上．
故选：D.
5．（2023·全国·高一专题练习）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断.
【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；
对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．
故选：B
6．（2023·高一课前预习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交B．异面C．平行D．垂直
【答案】C
【分析】连接AD1，CD1，AC，根据E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判断.
【详解】如图，
连接AD1，CD1，AC，
因为E，F分别为AD1，CD1的中点，
由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.
故选：C
7．（2023·全国·高一专题练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（ ）
A．且方向相同B．，方向可能不同
C．OB与不平行D．OB与不一定平行
【答案】D
【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论．
【详解】解：如图，
；
当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，
OB与O1B1是不一定平行．
故选：D．
8．（2023·全国·高一专题练习）在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（ ）
A．梯形B．矩形
C．正方形D．菱形
【答案】D
【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH是平行四边形，再由AC=BD即可判断四边形EFGH的形状.
【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到四边形EFGH，
由中位线的性质及基本性质4知，EH∥FG，EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，
∴HG=AC=BD=EH，
∴四边形EFGH是菱形.
故选：D
9．（2023·全国·高一专题练习）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（ ）
A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形
C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似
【答案】C
【分析】根据等角定理，即可判断选项.
【详解】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等.
故选：C
二、多选题
10．（2023春·全国·高一专题练习）(多选题)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】AC
【分析】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：由等角定理可知B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：AC.
11．（2023春·全国·高一专题练习）(多选题)下列说法中，正确的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】BD
【分析】由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2023·全国·高一专题练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是______．
【答案】相交
【分析】根据平面的性质结合线线位置关系分析判断.
【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，是长方体的一条棱，那么长方体中与平行的棱共有________条．
【答案】3
【分析】根据正方体的结构特征，结合题意，即可求解.
【详解】根据正方体的结构特征，可得，共有条.
故答案为：.
14．（2022·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是_____.
【答案】平行
【分析】由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF与B1C1的位置关系.
【详解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，
∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.
故答案为：平行
15．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
【答案】8
【详解】∵，分别为，的中点，，分别是，上的点，且，，∴，，设，间的距离为，则，得 ()，故答案为 ().
四、解答题
16．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，分别为的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】先证明，，，再证明，由此证明四边形是平行四边形．
【详解】因为在空间四边形中，分别为的中点，
所以，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形．
17．（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明,
【详解】∵E、H分别是AB、CD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
18．（2023·全国·高一专题练习）设E，F，G，H分别是空间四边形的边的中点，P，Q分别是这个空间四边形两条对角线的中点．
(1)求证：相交于同一点；
(2)若，求异面直线与所成的角的大小．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线和平行四边形的性质可证均为平行四边形，再根据平行四边形对角线平分说明结论；（2）由∥、∥，根据异面直线夹角的定义结合余弦定理计算求解．
【详解】（1）如图，连接
∵E，F分别是的中点，则∥且
同理可得：∥且
∴∥且，即为平行四边形
则，且为的中点
连接，同理可证：为平行四边形，则
即相交于同一点
（2）由（1）可得：∥，
∵F，G分别是的中点，则∥且
在△中，
异面直线与所成的角为
19．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.
【答案】证明见解析
【分析】根据G，H分别是A1B1，A1C1的中点，得到GHB1C1，再由B1C1BC，利用平行公理结合平面基本性质证明；
【详解】证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是A1B1C1的中位线，
∴GHB1C1，
又∵B1C1BC，
∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面.
20．（2023·高一课时练习）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：(1)连接，，由三角形中位线定理可得，，根据正方体的性质可得，故而可得结论；（2）取的中点，连接，首先证明四边形是平行四边形，得到，再证四边形是平行四边形及平行的传递性，得到，同理得，结合角两边的方向相反，进而可得结论成立.
试题解析：(1)连接，，在中，因为，分别为，的中点，
所以，同理，在正方体中，因为，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.
(2)取的中点，连接，因为，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以，同理可证：，又与两边的方向均相反，所以.
21．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，分别是边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用三角形中位线的性质，根据平行四边形的判断方法，即可得到结论；
（2）利用有一组邻边相等的平行四边形，可证结论．
【详解】（1）∵分别是边的中点．
∴,
,
∴四边形是平行四边形；
（2）若，则，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形．
【选做题】
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】由分别为的中点，得到，结合题意得出，即可求解.
【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，
又因为，所以，所以.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】作出几何体的直观图观察即可.
【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，
故选：D.
3．（2021·高一课时练习）若直线a与直线b，c所成的角相等，则b，c的位置关系为（ ）
A．相交B．平行C．异面D．以上答案都有可能
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，即可得到答案.
【详解】可能相交，可能平行，可能异面，如图所示：
故选：D
4．（2022春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）一条直线与两条平行直线中的一条相交，则它和另一条的位置关系是（ ）
A．相交或异面B．平行C．异面D．相交
【答案】A
【分析】举例说明位置关系可以是相交或异面，反证法证明平行不成立即可.
【详解】
空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面，
如图：在正方体中，，，与异面，
，，与相交，
若这条直线与另一条平行，则三条直线互相平行与已知条件这条直线与两条平行直线中的一条相交矛盾，
所以它和另一条的位置关系不可能平行，
所以它和另一条的位置关系是：相交或异面，
故选：A.
5．（2023春·全国·高一专题练习）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．异面D．不确定
【答案】A
【分析】由平行直线的传递性可得答案.
【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
故选：A.
6．（2023春·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③B．②④C．③④D．②③
【答案】B
【分析】根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
7．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条B．4条
C．5条D．6条
【答案】B
【分析】由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
8．（2023·全国·高一专题练习）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．异面或平行B．异面或相交
C．异面D．相交、平行或异面
【答案】D
【分析】根据空间中直线的位置关系，结合已知条件，即可容易判断.
【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线，
根据异面直线的定义可得：
可以是异面直线，如下所示：
也可以相交
也可以平行
故选：.
9．（2021·高一课时练习）在空间中，下列说法中不正确的是( )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】在立体几何中，有空间四边形，它的两组对边可以相等，故可得正确选项．
【详解】对于B、C，因为有一组对边平行，所以四边形是平面图形，依据平面中平行四边形的判定定理可知，B、C中的四边形都是平行四边形，故B、C都正确．
对于D，因为对角线互相平分，所以四边形是平面图形，依据平面中平行四边形的判定定理可知该四边形为平行四边形，故D正确
对于A，如图，，不同在一个平面内，故四边形不是平行四边形（两个同底的等腰三角形，它们可以绕底旋转）．
综上，选A．
10．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意结合三角形中位线的性质可得：，
由平行公理可得：.
本题选择C选项.
11．（2021·高一课时练习）若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
A．全等B．相似
C．仅有一个角相等D．全等或相似
【答案】D
【详解】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等.
故选：D.
12．（2023春·全国·高一专题练习）若直线，与直线所成的角相等，则，的位置关系是（ ）
A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均有可能
【答案】D
【分析】根据题意，以正方体为例，即可找到满足条件的直线，与直线所成的角相等，则，的位置关系可以为相交、平行、异面．
【详解】解：若，显然直线，与直线所成的角相等；
若，相交，则，确定平面，若直线，
，，此时直线，与直线所成的角相等；
当直线，异面时，同样存在直线与，都垂直，此时直线，与直线所成的角相等；
故选D．
二、填空题
13．（2023·全国·高一专题练习）下列结论，其中正确的是________(填序号).
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.
②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补.
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
【答案】④
【分析】根据等角定理和平行线的传递性理解辨析．
【详解】根据等角定理可知：
对于①：这两个角相等或互补，①错误；
对于②、③：无法判定这两个角的两边分别平行，所以无法确定这两角的大小关系，②、③错误；
对于④：根据平行线的传递性，④正确；
故答案为：④．
14．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．
图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；
图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；
图④：证明GH∥EF，AC∥EF， BD∥GH，可得BD∥AC．
【详解】图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则：∥
又∵∥，则∥即ABFE为平行四边形
∴AB∥EF
同理: CD∥EF
则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；
图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC,BD,EF,
∵BE∥DF即BDFE为平行四边形
∴BD∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC,BD,EF,GH,
∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
同理：BD∥GH
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
15．（2023春·全国·高一专题练习）若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是______．
【答案】
【分析】根据平行线的传递性，排除重合情况即可得解.
【详解】因为且
根据平行线的传递性知平行或重合，
又因为，
再次利用平行线的传递性知平行或重合，
因为c，d为不重合的两条直线
所以.
故答案为：.
16．（2023·全国·高一专题练习）如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
【答案】平行
【分析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体，取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，得到EF∥PQ，根据PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
三、解答题
17．（2023春·全国·高一专题练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．
【答案】证明见解析
【分析】连接AC，利用正方体的性质，得到四边形AA′C′C为平行四边形，再结合M，N分别是CD，AD的中点，得到MN∥A′C′且MN=A′C′证明.
【详解】证明：如图所示：
连接AC，
由正方体的性质可知：
AA′=CC′，AA′CC′，
∴四边形AA′C′C为平行四边形，
∴A′C′=AC．A′C′AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四边形MNA′C′是梯形．
18．（2023·全国·高一专题练习）如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】结合线线平行以及平行四边形的知识来证得结论成立.
【详解】由于分别是长方体的中点，
设是的中点，连接，
根据长方体的性质可知且，
所以四边形是平行四边形.
19．（2021·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
【答案】平行
【分析】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答.
【详解】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，
而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，
由平行公理得：MN//EF，
所以直线MN与直线EF平行．
20．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据正方体的性质和平面几何知识可得证；
（2）根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.
【详解】解：(1)∵为正方体．∴，且，
又，分别为棱，的中点，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴且．
又且，∴且，
∴四边形为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．∵和方向相同，
∴．
法二：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴，∴．
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