高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行随堂练习题，共31页。

【必做题】
一．选择题
1．（2023•双滦区开学）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，则的值为
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【解析】设交于点，连结，如图所示，
因为为的中点，则，
四边形是平行四边形，，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，
所以．
故选D．
2．（2022秋•石家庄期中）在空间四边形中，，分别为，上的点，且，又，分别是，的中点，则
A．平面，且四边形是平行四边形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是平行四边形
D．平面，且四边形是梯形
【答案】B
【解析】如图，
由条件知，，，，且；
，且；
四边形为梯形；
，平面，平面；
平面；
若平面，则，显然不平行；
不平行平面；
选项正确．
故选B．
3．（2022春•安平县月考）如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为．则下列结论中不一定成立的是
A．B．C．平面D．平面
【答案】D
【解析】对于，，分别为，的中点，，
过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，，故正确；
对于，过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，故正确；
对于，，平面，平面，平面，故正确；
对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误．
故选D．
4．（2022秋•临漳县月考）下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】C
【解析】对图①，构造所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面，由线面平行的定义可得平面．
对图④，通过证明得到平面；
对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；
故选C．
5．（2022秋•石家庄期中）能保证直线与平面平行的条件是
A．，
B．，，，
C．，，，，，且
D．，，
【答案】D
【解析】在中，，，则直线与平面平行或，故错误；
在中，，，，，则直线与平面平行或，故错误；
在 中，，，，，，且，则直线与平面平行、相交或，故错误；
在中，，，，由此利用线面平行的判定定理得直线与平面平行．
故选D．
6．（2022•景县三模）若，表示直线，表示平面，且，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因为，表示直线，表示平面，且，
当时，若，则不能推出；
反之，当时，，可能平行也可能异面，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选D．
7．（2022秋•临漳县月考）过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有
A．4条B．6条C．8条D．12条
【答案】D
【解析】如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线，
其中与平面平行的直线共有12条，
故选D．
8．（2022秋•古冶区月考）如图，是正方体的棱的中点，给出下列命题
①过点有且只有一条直线与直线、都相交；
②过点有且只有一条直线与直线、都垂直；
③过点有且只有一个平面与直线、都相交；
④过点有且只有一个平面与直线、都平行．
其中真命题是
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【答案】C
【解析】直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取的中点，则，且，设 与交于，则点、、、、 共面，
直线必与直线相交于某点．
所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交；故①正确．
过点有且只有一条直线与直线、都垂直，此垂线就是棱，故②正确．
过点有无数个平面与直线、都相交，故 ③不正确．
过点有且只有一个平面与直线、都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，
故选C．
二．多选题
9．（2023•双滦区开学）如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面
【答案】ACD
【解析】因为，
，
所以，所以，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
故选项，，正确，
又与不平行，所以与不平行，
故选项错误．
故选ACD．
10．（2022春•深州市期中）如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是
A．平面B．平面C．平面D．平面
【答案】AB
【解析】矩形的对角线与交于点，
所以点为的中点，在中，因为点是的中点，
所以是的中位线，，平面，平面，
平面，故正确；
平面，平面，平面，故正确；
因为，平面，平面，所以与平面，平面相交，故错误；
故选AB．
11．（2022春•邢台月考）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是线段，的中点，则
A．平面B．平面C．平面D．平面
【答案】AB
【解析】如图，连接．
因为四边形是平行四边形，且是的中点，
所以是的中点，所以，
则平面，平面，故，正确；
因为，所以平面．假设平面，
又，则平面平面．
因为平面与平面相交，则假设不成立，
即平面不成立，故错误；
同理可得错误．
故选AB．
12．（2022春•深州市期中）如图，空间四边形中，，，分别是，，的中点，下列结论正确的是
A．B．平面
C．平面D．，是一对相交直线
【答案】BC
【解析】取的中点，连接，
可得，
而与为相交直线，
可得直线，为异面直线，故错误；
、、分别是、、的中点，
，
又面，面．
面，故正确；
连接，，
、、分别是、、的中点
，
又面，面．
面，故正确；
由是平面外的一条直线，而为平面内不经过点的一条直线，
所以，为异面直线，故错误．
故选BC．
三．填空题
13．（2022•冀州区开学）如图所示，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足 时，有平面．
【答案】在线段上
【解析】，，
面面．
点在四边形上及其内部运动
故．
故答案为：在线段上
14．（2022秋•滦县期中）如图为圆的直径，点在圆周上（异于，点）直线垂直于圆所在的平面，点为线段的中点，有以下四个命题：
（1）平面；
（2）平面；
（3）平面；
（4）平面平面，
其中正确的命题是 ．
【答案】（2）（4）
【解析】由题意可知平面，点为线段的中点，是圆的圆心，所以平面，，所以与共面，（1）不正确；
又，平面，平面，平面；（2）正确；
因为为圆的直径，点在圆周上（异于，点），当不是弧的中点时，不垂直，所以不垂直平面；不正确；
因为为圆的直径，点在圆周上（异于，点），所以，直线垂直于圆所在的平面，，可知平面，平面，所以平面平面，
（4）正确．
故答案为：（2）（4）．
15．（2022秋•临漳县月考）如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若平面，则线段的长度等于 ．
【答案】
【解析】平面，平面，平面平面，
，
又点为的中点，点在上，
点是的中点，
．
故答案为．
16．（2022秋•武安市月考）已知，为直线，，为平面，给出下列命题，其中的正确命题序号是
①②③④．
【答案】②③
【解析】由，为直线，，为平面，知：
①或，故①错误；
②，由直线与平面垂直的性质定理得②正确；
③，由平面与平面平行的判定定理得③正确；
④、与相交或与异面，故④错误．
故答案为：②③．
四．解答题
17．（2022秋•襄都区月考）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．
（1）当为的中点时，求证：平面．
（2）当平面，求出点的位置，说明理由．
【答案】证明：（1）在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，
取中点为，连接，，
在中，为的中点，为中点，
，
在平行四边形中，为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，
，面，面，
平面；
解：（2）连接，，相交于，连接，
面，面面，面，
，
即存在点，为上靠近点的三等分点．
18．（2022春•南和区月考）如图，在正三棱柱中，为与的交点，为的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若为线段上一动点，在平面上是否存在一点，使得平面恒成立？若存在，请找出点位置，并证明平面；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）由题意得，为的中点，
因为为的中点，所以为△的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）存在点．
理由如下：
如图，延长，使得．
因为，所以，所以．
又平面，平面，
所以平面；
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面．
又，平面且，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
19．（2022春•桥西区月考）如图，在直三棱柱中，，，，，点为的中点．
（Ⅰ）求证平面
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】证明：记与交于点，连
是的中位线，
面面
平面；
由知
为异面直线与所成的角，
在中，，，
在正方形中，，，
，，，，，
在中，．
20．（2022春•张北县月考）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，为的中点，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
【答案】证明：（1）连接交于，连接，
因为四边形为平行四边形，所以、互相平分，
又为的中点，所以为三角形的中位线，所以，
因为面，面，所以平面；
（2）因为四边形为平行四边形，所以，
因为面，面，所以平面．
因为面，面面．所以．
【选做题】
一．选择题
1．（2022•河北模拟）三棱柱中，点在上，且，若平面，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，连接，交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为中，为中点，
所以为中点，
因为，
所以．
故选A．
2．（2022春•元氏县期中）已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；
②中，由于，而平面，平面，故平面；
③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；
故选B．
3．（2022秋•冀州区期末）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知与平面平行；
对于选项，如图，
为底面对角线的交点，可得，
又平面，
所以直线与平面不平行．
对于选项，由题意，可得，结合线面平行判定定理可知与平面平行；
对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知与平面平行；
故选B．
4．（2022秋•永年县月考）空间四边形中，，且，、、、分别是、、、的中点，则四边形为
A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形
【答案】D
【解析】证明：因为是的中位线，所以，且．
同理，，，且，．
所以，且．
所以四边形为平行四边形．
因为，
所以．
所以四边形为菱形．
故选D．
5．（2022春•桃城区月考）“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面 “的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当直线平行平面内的无数条平行直线时，则直线不一定平行于平面，也可能，
当直线平面，则平面内存在无数条直线与直线平行，
故“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面 “的必要不充分条件，
故选B．
6．（2022秋•辛集市期中）在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，点在线段上，，平面，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连交于，交于，连接，如图
则为的中点，
又为边上中线，为正三角形的中心，
令菱形的边长为，则，．
平面，平面，平面平面
即，．
故选C．
7．（2022•桃城区模拟）如图，各棱长均为1的正三棱柱，，分别为线段，上的动点，且平面，则这样的有
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【答案】D
【解析】如图，任取线段上一点，过作，交于，过作交于，
过作的平行线，与一定有交点，且平面，则这样的有无数个．
故选D．
8．（2022春•定兴县期中）在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连结，、，设，连结，
在正方体中，为的中点，
是中点，，
平面，平面，
平面．
故选B．
二．多选题
9．（2022秋•保定月考）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，则圆上存在点使
A．B．平面C．D．平面
【答案】BC
【解析】假设存在点使，所以，，，四点共面，
又因为，所以面，
易得点，，为面和面的公共点，
所以，，三点共线，与题意矛盾，
故不存在点使，即错误；
过作，交劣弧与点，连接，
由于，分别为，的中点，所以，
由于面，面，所以面，面，
又因为，所以面面，
由于面，所以面，即正确；
点的位置同选项，
由于为直径，所以，即，
由圆锥易得，，
所以面，所以，即正确；
假设在点使面，所以，
又因为，，所以面，
故面应与面平行，与题意显然不符，即错误；
故选BC．
10．（2022春•润州区期末）在正方体中，下列直线或平面与平面平行的有
A．直线B．直线C．平面D．平面
【答案】AD
【解析】对于，由于，且平面，可得直线平面；
对于，由于，且平面，可得直线不平行平面；
对于，由于，平面，可得平面不与平面平行；
对于，由于，，，平面，可得平面平面．
故选AD．
11．（2022春•滦南县期中）下列命题中错误的是
A．若，是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面
B．，是两条异面直线，过空间一点且与和都平行的平面有且仅有一个
C．平行于同一个平面的两条直线平行
D．若直线，和平面满足，，不在平面内，则
【答案】ABC
【解析】若，是两条直线，且，那么平行于经过的平面或，在一个平面内，故错误；
设，，且，若或，则不存在平面使得该平面与，都平行；
若且，则过只有1个平面使得该平面与，都平行．故错误；
平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故错误；
因为平面外的2条直线中，如果有一个和这个平面平行，那么另一个也和这个平面平行．故正确．
故选ABC．
12．（2022春•六合区期中）正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】取中点，则为在平面上的射影，
与不垂直，与不垂直，故错；
取中点，连接，，可得平面平面，故正确；
把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，
连接交于，而不是中点，则假设不成立，故错．
故选BC．
三．填空题
13．（2022秋•博野县期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
取的中点，连接，，，
在正方体中，易得，
又因为平面，平面，所以平面，
同理证得平面，又因为，
所以平面平面，
因为是侧面内一点（含边界），且平面，
所以点在线段上运动，
如图所示：
在等腰中，作，且，
所以，
设点到线段的距离为，
由等面积法，得，解得，
所以线段长度的取值范围是，
故答案为：．
14．（2022秋•邢台月考）一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，若木块的棱长为，则截面面积为 ．
【答案】
【解析】在平面内作直线，交于，
在平面内作直线，交于，
过点作直线，交于，
，
，，，四点共面，且面与和平行，
则四边形为边长为的正方形，
故其面积为．
故答案为：
15．（2022秋•桥西区月考）在空间四边形中，、、、分别是边、、、的中点，对角线，且，则四边形的面积为 ．
【答案】1
【解析】点、分别为四边形的边、的中点，
，且．
同理求得，且，
，
又，
．
四边形是正方形．
四边形的面积．
故答案为：1
16．（2022秋•古冶区月考）如图：点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：
①三棱锥的体积不变；
②面；
③；
④面面．
其中正确的命题的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】对于①，容易证明，从而平面，故上任意一点到平面的距离
均相等，所以以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变；正确；
对于②，连接，容易证明且相等，由于①知：，
所以面，从而由线面平行的定义可得面；②正确；
对于③由于平面，所以，若，则平面，
，则为中点，与为动点矛盾；错误；
对于④，连接，由且，可得面，从而由面面垂直的判定知：④正确．
故答案为：①②④
四．解答题
17．（2022春•邢台月考）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）正四棱锥中，
，，
侧面的高
正四棱锥的表面积
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，由，
平面，平面，
平面，
由于，，又由于，平面，平面，
平面，
，
平面平面，
平面，
平面．
此时．
18．（2022春•元氏县期中）如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：．
【答案】证明：（1）因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为，所以，
又因为，所以，
因为，为的中点，
所以，
又，
所以：平面，
因为平面，
所以：．
19．（2022春•邯郸期中）如图，矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】证明：（1）取的中点，连结，，
因为，均为中点，
故且，
又因为，且，
则且，
因此四边形为平行四边形，
故，
故平面，即得证．
（2）取的中点，连结，，
因为，
所以且，
在中，，
因为，
故，故平面，
因此为直线与平面所成角，，
在中，，，
故．
20．（2022春•肃宁县月考）如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：．
【答案】证明：（1）取的中点，连接、，如图所示：
由，且，
，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，
所以．