2024春九年级数学下册极速提分法第9招根的判别式的八种应用作业课件新版北师大版

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第9招 根的判别式的八种应用北师版 九年级下已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋ (3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．【解题秘方】一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：1．不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判断根的情况；2．根据方程根的情况，结合根的判别式来确定方程中待定字母的值或取值范围，若二次项系数中含有字母，则应注意检验二次项系数是否为零；3．应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两个不等的实根、有两个相等的实根)．证明：∵关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0是一元二次方程，∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1>0.∴方程总有两个不等的实数根．(1)求证：方程总有两个不等的实数根；解：∵x＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程得到m(m＋1)＝0.∴m＝0或m＝－1.　(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5.(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．把m＝0代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝5；把m＝－1代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5.综上，原代数式的值为5.1 判断下列方程的根的情况：【解】Δ＝0，方程有两个相等的实数根； (2)x2＋4x－1＝0；(3)x2＋x＋2＝0.【解】Δ＝20＞0，方程有两个不相等的实数根；Δ＝－7＜0，方程无实数根．2 已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【解】∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m38 在直角坐标系中，设函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a≠0)．(1)若该函数的图象经过(1，0)和(2，1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)写出一组a，b的值，使函数y＝ax2＋bx＋1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；【解】(答案不唯一)例如a＝1，b＝3，此时y＝x2＋3x＋1.理由：∵对于一元二次方程x2＋3x＋1＝0，Δ＝32－4＝5＞0，∴函数y＝x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．(3)已知a＝b＝1，当x＝p，q(p，q是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为P，Q，若p＋q＝2，求证：P＋Q＞6.【证明】由题意得P＝p2＋p＋1，Q＝q2＋q＋1，又∵p＋q＝2，∴P＋Q＝p2＋p＋1＋q2＋q＋1＝p2＋q2＋4＝(2－q)2＋q2＋4＝2(q－1)2＋6. 由条件p＋q＝2，p≠q知q≠1，∴P＋Q＞6.(1)求m的值；【解】由(1)可知y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.如图所示．变化后图象的表达式为y＝－(x＋2)2＋2＝－x2－4x－2.(3)在(2)的条件下，当直线y＝2x＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2－4n的最大值和最小值．令y′＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴当n＝2时，y′的值最小，最小值为－4；当n＝7时，y′的值最大，最大值为21.∴n2－4n的最大值为21，最小值为－4.【点方法】(1)由题意知Δ≥0，列出不等式求解即可；(2)画出关于x轴对称、平移后的图象，根据顶点坐标即可写出表达式；(3)首先确定n的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题．