2024春九年级数学下册极速提分法第10招根与系数的关系的十一种应用作业课件新版北师大版

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第10招 根与系数的关系的十一种应用北师版 九年级下已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0.(1)若方程有实数根，求a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1＋x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解题秘方】1. 对于二次项系数含有字母的方程，当方程未指明是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为0和不为0两种情况进行分类讨论；2. 解答与一元二次方程有关的存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于零，最后确定字母值的存在性．解：当a＝5时，方程为－4x－1＝0，方程有实数根；当a≠5时，方程为一元二次方程，Δ＝16＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1.∴a的取值范围为a≥1.(1)若方程有实数根，求a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1＋ x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．1 已知关于x的方程x2＋kx－6＝0的一根为2，求方程的另一根及k的值．2 若x1，x2是方程x2－4x－2 023＝0的两个实数根，求代数 式x12－2x1＋2x2的值．【解】∵x1，x2是方程x2－4x－2 023＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x12－4x1－2 023＝0，即x12－4x1＝2 023.则原式＝x12－4x1＋2x1＋2x2＝x12－4x1＋2(x1＋x2)＝ 2 023＋2×4＝2 023＋8＝2 031.4 已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的两根的平方和小于5，求k的取值范围．【点易错】本题容易忽略Δ≥0这个条件，做题时要注意一元二次方程有根的条件．5 [2023·天津一中月考]关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根．(1)求实数m的取值范围；【解】∵关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2－m)＝4m≥0，∴m≥0.6 不解方程，判断方程2x2＋3x－7＝0两个根的符号．【点思路】7 已知－1和3是某个关于x的一元二次方程的两个根，且方程中二次项系数为1，请写出这个方程．【解】设这个方程为x2＋ax＋b＝0.由已知得－1＋3＝－a，－1×3＝b，∴a＝－2，b＝－3.∴这个方程为x2－2x－3＝0.8 已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9.求证：x＝y.【证明】由题意知x＋y＝6，xy＝z2＋9，∴x，y是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0①的两个实根，∴Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，∴z＝0，∴Δ＝0.故方程①有两个相等的实数根，∴x＝y.【点方法】本题关键是构造以x，y为两个实根的一元二次方程，利用判别式即可证得x＝y.【证明】由题知bc＝a2－a＋1，b＋c＝2a2－2bc＋2＝2a.∴b，c是关于t的一元二次方程t2－2at＋a2－a＋1＝0的两个实根．∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0，解得a≥1.10 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；【解】∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，解得m≤4.(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴的两个交点间的距离．【解】∵方程的两实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝4.又∵5x1＋2x2＝2，∴x1＝－2，x2＝6.∴二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1－x2|＝|－2－6|＝8.11 已知关于x的二次函数y＝x2－(2k－1)x＋k2＋1的图象与x轴有两个交点．(1)求k的取值范围；【点方法】本题利用数形结合思想将抛物线与一元二次方程结合，利用根的判别式和根与系数的关系求解．