高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案设计，共3页。

问题1：如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
答案：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得. 我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．方程解得或. 因为n是正整数，所以-12要舍掉. 因此，120是这个数列的项，并且是第10项．通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号.
问题2：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式．
答案：先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27. 求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系. 第1项是，第2项是，第3项，第4项是. 这些数都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式就是.
追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？
答案：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用. 按照这个思路，不难发现这个数列的后一项等于前一项的3倍. 我们也可以通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形．于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 把发现的规律用数学语言归纳出来，就是. 这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论. 于是应写成. 由此可见，同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律. 通项公式反映的是项与序号之间的关系. 而（n≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系. 根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推.
学习新知
问题3：什么是一个数列的递推公式？
答案：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和反映相邻两项关系的递推公式，就能求出该数列的每一项了.
追问1：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？
答案：相邻多项之间的关系能用递推公式表示，如数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）. 这其实就是相邻三项之间的关系：. 因为下标最小是1，所以这里n≥3. 这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系. 这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质.
追问2：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？
答案：和上节课学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法. 只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用.
例1 已知数列的首项为，递推公式为（n≥2），写出这个数列的前5项.
解：根据递推公式，令n=2，就得到. 同理，令n分别等于3，4，5，就可依次求出，，. 这个数列的前5项是：1，2，，，．
问题4：什么是数列的前n项和公式？
答案：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作. 如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式．
追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？
答案：观察，发现其中有. 在中，如果把留出来，前面的就是数列前n-1项的和，也就是. 如果已知前n项和公式，那么把公式中的n给换成n-1，就能得到，然后用就可以得到. 注意：是前n-1项的和，这里n一定是大于或等于2的，所以当n≥2时，. 而n=1时，就是第1项，所以就等于. 于是有 .
例2：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？
解：根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解. 注意：要关注n=1的情况是否满足n≥2时求出的通项公式，如果不满足，要分开写. 数列的通项公式是：.
课堂小结
问题5：这节课学习了哪些新知识？
答案：这节课学习了递推公式和前n项和公式. 递推公式是数列的重要表示方式，反映的是相邻两项或多项之间的关系，知道了一个数列的首项和反映相邻两项关系的递推公式，就能求出该数列的每一项. 关于前n项和公式，我们可以通过一个数列的前n项和公式求出该数列的通项公式.