高中4.2 等差数列教学设计

这是一份高中4.2 等差数列教学设计，共5页。

问题1：据说在200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：…？，你能回答这个问题吗？
答案：5050.
当同学们忙于把这100个数字逐个相加时，10岁的高斯却早就有了答案.
追问1：你知道高斯使用什么方法迅速得到答案的吗？
答案：….
追问2：“…..”解决的是数列的什么问题？
答案：等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题.
追问3：高斯在求和过程中用到了等差数列的什么性质？
答案：数列是等差数列，p，q，s，t，且p+q=s+t，则.
对于数列，设，那么高斯的计算方法可以表示为.
追问4：你能用高斯的方法求…吗？
答案：
….
这时数列的项数n为奇数，与项数n为偶数的情况不同的是，项数为奇数的数列求和时需要确定配对后的余项，即中间项51.
追问5：高斯的求和方法可以给我们什么启示？
答案：
(预设答案1)所有等差数列都可以通过“首尾配对”的方法求和.
(预设答案2)通过等差数列的性质当角标和相等时，两项和相等，可以问题中n个不同数字组成的等差数列求和问题，转化为（n为偶数）或（n为奇数）个相同数字的和的问题.
(预设答案3) …=，高斯求和的方法可以看作是把同一个等差数列“倒序相加”.
(预设答案4)从图形上解释，倒序相加可以看作是将一个从1到n的三角点阵的求和问题，“拼图”解决(如图所示).

① ② = 3 \* GB3 ③
将图①旋转90度得到图②，图一中所有点数之和即为所求，将图①旋转90度得到图②拼接如图 = 3 \* GB3 ③，得到的矩形点阵所表示的点数之和为，每行点数为，共有行，因此，.
课堂探究
问题2：如何计算首项为1，公差为1的等差数列前n项和？
答案：将高斯的方法推广到一般，可以得到：
当n是偶数时，有，于是有
.
当n是奇数时，有
.
所以对任意正整数n,都有.
追问1：在求前n个正整数的和时，要对n分为奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？
答案： ①
. ②
将①②两式相加,可得
，所以.
追问2：上述方法可以推广到求等差数列的前n项和吗？
答案：设等差数列的前n项和为，则,由前面的例子，不难用倒序相加法推出
①
②
将①②两式相加,可得
, 所以.
追问3：如果已知等差数列首项，公差可以求得前n项和吗？
答案：.
将等差数列的通项公式代入公式，可得
.
结论：等差数列的前n项和公式.
知识应用
例1 已知数列是等差数列.
(1)若求;
(2) 若求;
(3) 若求n.
解：(1) 因为根据公式，可得
.
(2) 因为所以.根据公式,可得
.
(3) 把代入,可得
.
整理得.解得或(舍去).所以
例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
解：把它们代入公式,得
解方程组，得所以，由所给的条件可以确定数列的首项和公差.
例3 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排其后一排都比前以排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为，根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且由，可得.因此，第一排应安排21个座位.
例4 已知一个等差数列前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
解:(解法1)由得所以是递减数列.又由可知：当时，；当时，；当时，.所以.也就是说，当或时，最大.因为，所以的最大值为30.
(解法2) 因为，所以当取最接近的整数即5或6时，的最大值为30.
追问1： 等差数列前n项和在什么情况下有最值？
答案：对于无穷等差数列，当d＞0时，数列为递增数列， 逐项增大，Sn有最小值；当a1<0时， Sn的最小值为所有非正项的和的值；当a1≥0时， Sn的最小值为S1.
当d<0时，数列为递减数列，逐项减小，Sn有最大值.当a1>0时， Sn的最小值为所有非负项的和的值；当a1≤0时， Sn的最大值为S1.
追问2：等差数列通项公式与函数的关系是什么？
答案：等差数列通项公式，
an与n之间的函数关系可以表示为f(x)=kx+b（x∈N*， k，b为常数）
追问3：等差数列前n项和公式与函数的关系是什么？
答案：等差数列的前n项和公式
当d=0，a1=0时，Sn=0（n∈N*），
Sn与n之间的函数关系可以表示为f(x)=0（x∈N*）；
当d=0，a1≠0时，Sn=na1（n∈N*），
Sn与n之间的函数关系可以表示为f(x)=kx，（x∈N*，k为常数）；
当d≠0时，Sn与n之间的函数关系可以
表示为f(x)=ax2+bx，（x∈N*，a,b均为常数，且a≠0）.
追问4：由于等差数列(d≠0)的前n项和Sn也是关于n的二次函数，那么你能否从函数的角度来分析一下Sn的最值问题.
答案：当d≠0时，Sn=d2n2+a1−d2n.
当d>0时，Sn关于n的函数图象为开口向上的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最小；
当d<0时，Sn关于n的函数图象为开口向下的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最大.