数学选择性必修 第二册4.3 等比数列教学设计及反思

这是一份数学选择性必修 第二册4.3 等比数列教学设计及反思，共7页。

引入新课
研究数列问题的思路：
探究新知
为了研究这个问题，我们需要弄清楚：
问题1：在前面的学习中，我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
请观察下面几个问题中的数列．
1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92，93，⋯，910 = 1 \* GB3 ①
100，1002，1003，⋯，10010 = 2 \* GB3 ②
5，52，53，⋯，510 = 3 \* GB3 ③
2．《庄子•天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完．形象地说明了事物具有无限可分性．用数学眼光来看，就是如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
，，，，，⋯． = 4 \* GB3 ④
3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2，4，8，16，32，64，⋯． = 5 \* GB3 ⑤
4．某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别多少？
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．
存入a元，则
第一年末a1+r，
第二年末a1+r+a1+rr＝a1+r2，（以a1+r为本金）
第三年末a1+r2+a1+r2r＝a1+r3，（以a1+r2为本金，下面以此类推）
第四年末a1+r3+a1+r3r＝a1+r4，
第五年末a1+r4+a1+r4r＝a1+r5．
即5年内每年末得到的本利和为
a1+r，a1+r2，a1+r3，a1+r4，a1+r5． = 6 \* GB3 ⑥
追问1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
答案：我们知道，加法、乘法运算是数学中两类基本的运算，很多变化符合加法、乘法的运算规律，我们常常称为线性变化、指数变化．
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．
如果用an表示数列 = 1 \* GB3 ①，那么有
，，⋯，．
这表明，数列 = 1 \* GB3 ①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．
其余几个数列也有这样的取值规律，请你说出相应的规律．
追问2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
答案：
用代数法怎么表述以上定义？公比 q 的取值范围是什么？
我们通过练习探究一下．
追问3：由等比数列的定义，判断下列数列是不是等比数列．如果是，写出它的公比．
（1）1，1．1，1．21，1．331，1．4641；
（2）0，2，0，2；
（3）4，−8，16，−32，64，−128；
（4）5，5，5，5，5．
答案：
（1）设数列为an，因为，
所以an是等比数列，公比q＝1.1．
（2）设数列为bn，因为无意义，所以不是等比数列 ．
由此发现，等比数列首项a1不能为 0．
公比 q可以是 0 吗？
如果我们去掉数列的第1项，剩下的三项是否组成等比数列？
此时，，但是无意义．所以公比q不可以是 0．
（3）设数列为cn，因为，所以是等比数列．q＝－2．
公比可以是负数．
（4）设数列为dn，因为，所以是等比数列．q＝1．
非零常数列既是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列．
通过上面的练习可以总结，等比数列的公比q可正、可负，但不可为零．
追问4：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？
答案：
问题2：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问1：回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？
答案：
上述推理过程属于归纳推理，由归纳推理所获得的结论仅仅是一种猜想，用第四单元数学归纳法可以给出严格的证明，上述通项公式是正确的．
追问2：除了归纳法以外，我们还用什么方法同样推导出等差数列的通项公式？（累加法）类比等比数列，从运算角度出发，可以用什么方法推导等比数列的通项公式？（累乘法）
答案：
问题3：在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？
答案：类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当q>0且q≠1时，等比数列an的第n项an是指数型函数当x＝n时的函数值，即an＝fn，如图所示．
反之，任给指数型函数fx＝kax（k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1），则f1＝ka，f2＝ka2，⋯，fn＝kan，⋯，构成一个等比数列kan，其首项为ka，公比为a．
追问1：类比指数函数的性质，你能说说公比q>0的等比数列的单调性吗？
答案：因为的单调性不仅与q的取值范围有关，也与a1的正负有关，所以我们可以总结如下：
知识应用
例1 若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，求an的第5项．
追问1：等比数列通项公式由哪些量的值确定？
分析：等比数列an由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于a1，q的方程（组），进行求解．
解法1：由a4＝48，a6＝12，得 a1q3＝48， = 1 \∗ GB3 ① a1q5＝12． = 2 \∗ GB3 ②
= 2 \∗ GB3 ②的两边分别除以 = 1 \* GB3 ①的两边，得
解得或．
把代入 = 1 \* GB3 ①，得a1＝384．
此时a5＝a1q4＝384×124＝24．
把代入 = 1 \* GB3 ①，得a1＝−384．
此时a5＝a1q4＝−384×−124＝−24．
因此an的第5项是24或－24．
小结：只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项．
追问2：观察所求的a5与a4、 a6有什么联系？
解法2：因为a5是a4与a6的等比中项，所以
a52＝a4a6＝48×12＝576．
所以a5＝±576＝±24．
因此an的第5项是24或－24．
例2 已知等比数列an的公比为q，试用an的第m项am表示an．
解：由题意，得
am＝a1qm−1， = 1 \* GB3 ①
an＝a1qn−1． = 2 \∗ GB3 ②
= 2 \* GB3 ②的两边分别除以 = 1 \* GB3 ①的两边，得
，
所以an＝amqn−m．
小结：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．
追问：类比等比数列的这个结论，等差数列也有类似的结论吗？
am＝a1+m−1d， = 1 \∗ GB3 ①
an＝a1+n−1d， = 2 \∗ GB3 ②
= 2 \* GB3 ②的两边分别减 = 1 \* GB3 ①的两边，得
an−am＝n−md，
所以 an＝am+n−md．
所以等差和等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公差或公比表示．等差数列
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常会用字母d表示．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常会用字母q表示．
等差数列
等比数列
由三个数a，A，b组成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列定义可知，2A＝a+b．
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab．
等差数列
等比数列
a2＝a1+d，
a3＝a2+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝a1+3d，
⋯⋯
由此可得 an＝a1+n−1dn≥2
又a1＝a1+0d＝a1+1−1d
当n＝1时，上式也成立．
因此，首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为an＝a1+n−1d．
a2＝a1q，
a3＝a2q＝a1qq＝a1q2，
a4＝a3q＝a1q2q＝a1q3，
⋯⋯
由此可得 an＝a1qn−1n≥2．
又a1＝a1q0＝a1q1−1
当n＝1时上式也成立．
因此，首项为a1，公比为q的等比数列an的通项公式为an＝a1qn−1．
等差数列
等比数列
a2−a1＝d，
a3−a2＝d，
a4−a3＝d，
⋯⋯，
an−an−1＝d，
左右两边分别依次相加，得到
an−a1＝n−1d，
所以an＝a1+n−1d．
，
，
，
⋯⋯，
，
左右两边分别依次相乘，得到
，
所以an＝a1qn−1．
0q>1
q＝1
指数函数y＝qx的单调性
单调递减
单调递增
不变
等比数列an＝qn的单调性
单调递减
单调递增
不变
等比数列an＝a1qn−1的单调性
a1>0
单调递减
单调递增
不变
a1<0
单调递增
单调递减
不变