高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义教学设计，共6页。

问题1：在高台跳水运动中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
答案：我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度近似地描述他的运动状态．
追问1：如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？
答案：两段时间即0≤t≤0.5和1≤t≤2. 平均速度分别是：
，.
追问2：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？
答案：.
追问3：计算运动员在0≤t≤这段时间的平均速度，你发现了什么？
答案：运动员在0≤t≤这段时间的平均速度为：
.
追问4：你认为用0≤t≤这段时间的平均速度近似描述运动员这段时间的运动状态有什么问题吗？
答案：在这段时间，运动员的平均速度为0，但显然，除了在最高点的一瞬间外，运动员一直处于运动状态，每个时刻的瞬时速度都不为0. 运动员的平均速度，只关注了这个时间段的整体情况，忽略了中间运动过程，因此并不能准确刻画运动员的运动状态.
如果需要研究清楚运动员在某时间段的运动状态，我们还需要了解运动员在每一个时刻的速度，也就是瞬时速度.
问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在t＝1s时的瞬时速度吗？
答案：如果不断缩短时间段的长度，那么平均速度将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度v(t0).
为了求运动员在t＝1时的瞬时速度，我们在t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋Δt，其中Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当Δt＞0时，1＋Δt在1之后；当Δt＜0时，1＋Δt在1之前．当Δt＞0时，把运动员在时间段［1，1＋Δt］近似看做匀速直线运动，计算时间段［1，1＋Δt］的平均速度，用平均速度近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度．当Δt＜0时，在时间段［1＋Δt，1］可作类似处理．于是，
得到如下表格：
为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔Δt，当Δt无限趋近于0时，无论t从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，平均速度都无限趋近于－5. 这是一个巧合还是必然结果呢？
追问1：给出更多Δt的值，利用信息技术工具计算更多的平均速度的值. 当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
答案：无论Δt的正负，只要时间间隔不断变小，无限趋近于0，平均速度都无限趋近于－5. 那是不是就能说明t＝1时，运动员的瞬时速度就是－5m/s呢?
追问2：你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？
答案：通过前面计算平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断缩小，平均速度越来越接近于常数－5”，但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征. 所以需要从更加理性的角度加以说明. 我们可以把刚才的过程进一步梳理：
因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在［1，1＋Δt］（或［1＋Δt ，1］）这段时间的平均速度为：
可以发现，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5．这与前面得到的结论一致．
数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，的极限”，记为
这样，我们就从更理性的角度，解释了刚才通过计算得到的结论.
追问3：你能用上述方法，计算当t＝2s时的瞬时速度吗？
答案：因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在［2，2＋Δt］（或［2＋Δt ，2］）这段时间的平均速度为：
问题3：你能推导出任意时刻t0对应的瞬时速度的表达式吗？
答案：我们类比刚才的过程，得到如下的一般结果：
因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在［t0，t0＋Δt］（或［t0＋Δt ，t0］）这段时间的平均速度为：
当时，
所以
这样我们就把求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到了一般情形.
总结：我们通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近瞬时速度，也就是说，瞬时速度是平均速度的极限. 无限逼近的极限思想，正是微积分学的基础.
情境二：抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．
问题4：对于一般的曲线C，如抛物线f (x)＝x2，如何定义它在某一点，如P0 (1，1)处的切线呢？
追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？
答案：不一定. 例如，二次函数f (x)＝x2的图象和直线x＝1只有一个交点，但它们显然不相切.
追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？
答案：不一定. 例如，正弦函数f (x)＝sinx的图象和直线y＝1相切，但它们显然不止一个交点.
因此不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过交点个数来定义相切.
追问3：对于抛物线f (x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线的切线呢？
答案：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线的割线P0 P的变化情况.
我们可以借助几何画板工具来观察.
通过演示可以看到，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线.
这样，我们得到抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的含义. 从几何上看，抛物线在点P0的切线，是由过这一点的割线P0P，当P无限接近P0时的极限位置确定的.
我们知道，斜率是确定直线的一个要素. 在已知切点的情况下，如果我们再能确定切线的斜率，就能确定切线的方程.
追问4：如何求抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？
答案：从上述切线的定义可见，抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．既然切线是割线的极限位置确定的，那么切线的斜率也就应该是割线斜率当P无限接近P0时的极限值.
我们记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标为(x，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率
我们可以通过割线P0P的斜率近似地表示切线的斜率，并且通过不断缩短横坐标间隔 |△x| 来提高近似表示的精确度. 我们可以借助电脑的excel计算，来观察当P无限接近P0时，割线P0P的斜率变化情况.
当Δx无限趋近于0时，无论x从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，割线斜率都无限趋近于2.
事实上，由可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2. 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限”，记做
思考：观察函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象，平均速度的几何意义是什么？瞬时速度呢？
答案：
小结反思
问题6：回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
答案：从知识角度，我们主要研究了高台跳水运动员起跳后的运动状态的问题. 我们先研究了运动员起跳后某一时间段内的平均速度，再不断的将时间间隔缩小，随着时间间隔不断趋近于0，我们分别用计算和极限的方法，求得了瞬时速度，并由此得到任意时刻t0瞬时速度的表达式. 通过这个过程，我们认识到瞬时速度是时间间隔趋近于零时，平均速度的极限.
接着，我们又以抛物线为例，研究了函数图象的切线斜率问题. 我们先探讨了一般曲线在某点处的切线的定义，我们知道了函数图象上某点P0处的切线，是由在这点的割线P0P，当P不断靠近P0时的极限位置确定的.我们再分别通过计算和求极限的方法，求得了切线斜率，并由此得到了函数图象上任一点的切线斜率表达式. 最后，我们还认识到，上节课我们研究的运动员在某时刻的瞬时速度的几何意义，就是相应的函数图象在这一点的切线斜率.
从研究方法上看，我们用无限逼近的方法，通过平均速度求得了瞬时速度，通过割线斜率求得了切线斜率，这其中蕴含着极限思想. 无限逼近的极限思想，正是导数研究中的重要思想方法和基础. 此外，我们通过一些具体时刻的瞬时速度，推广得到了任意时刻t0的瞬时速度表达式，这种从特殊到一般的研究方式，是数学研究中的常用方法.