高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教学设计

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问题1：图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间t变化的函数ℎ(t)=−4. 9t2+4. 8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=ℎ'(t)=−9. 8t+4. 8的图象，a=2449，b是函数ℎ(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学角度刻画这种区别？
a
b
t
h
O
(1)
b
t
v
O
(2)
答案：从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度ℎ随时间t的增加而增加，即t∈(0,a)，ℎ(t)单调递增. 相应地，v(t)=ℎ'(t)>0.
从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即t∈(a,b)，ℎ(t)单调递减. v(t)=ℎ'(t)0，ℎ(t)单调递增；在区间(a,b)上，ℎ'(t)0;
在(0,+∞)上， f(x)单调递增， f'x=3x2>0.
(4) 在(−∞,0)上， f(x)单调递减， f'x=−1x20，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)图象也是下降的，函数在x=x1附近单调递减.
结论：函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系：
在某区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么f(x)在此区间上单调递增；
在某区间(a,b)上，如果f'(x)0，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；
当x4时，f'(x)