高中数学5.3 导数在研究函数中的应用教案及反思

这是一份高中数学5.3 导数在研究函数中的应用教案及反思，共3页。教案主要包含了新课引入，探究新知，知识应用等内容，欢迎下载使用。
一、新课引入
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．
问题1：函数的最大值与最小值的定义是什么？
答案：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足．
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)=M．
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值．
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值．
如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值．
二、探究新知
问题2：下图是函数y=f(x)，x∈[a,b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？
答案：观察图象，我们发现，fx1,fx3,f(x5)是函数y=f(x)的极小值，f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y=f(x)的极大值．
问题3：进一步地，你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值、最大值吗？
答案：从图可以看出，函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(a)．
追问：在下面两幅图中，观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
答案：有，y=f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)，y=g(x)的最大值为g(x3)，最小值为g(x4)．
结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它
必有最大值和最小值．
问题4：最值与极值有什么区别和联系？
答案：最值与极值的区别如下．
1．极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质；
2．函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的；
3．函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外)；
4．函数的极值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最值可以在端点取到．
最值与极值的联系是：最值有时是函数的极值．
问题5：如何求函数在区间[a,b]上的最大值与最小值呢？
答案：结合上面两幅图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．
三、知识应用
例1：求函数f(x)=13x34x+4在区间[0,3]上的最大值与最小值．
解：因为f(x)=13x34x+4，所以f'(x)=x24=(x+2)(x2)．
令f'(x)=0，解得x=2或x=2．
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以，函数f(x)=13x34x+4在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是43．
问题6：借助导数研究函数的最值的步骤是什么？
答案：一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下．
(1)求函数y=f(x)在区间[a,b]内的极值；
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
例2：当x>0时，证明：11x≤lnx．
解：将不等式11x≤lnx转化为1x1+lnx≥0．
设f(x)=1x1+lnx，那么f'(x)=1x2+1x=x−1x2．
令f'(x)=0，解得x=1．
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以，当x=1时，f(x)取得最小值．所以f(x)≥f(1)=0．即1x1+lnx≥0．
所以当x>0时，11x≤lnx．
小结：求函数最值，还可以采取下列方法．
第1步，求出导数f'(x)的零点；
第2步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性；
第3步，根据函数单调性求出函数最值．x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f'(x)

0
+
f(x)
4
单调递减
−43
单调递增
1
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)

0
+
f(x)
单调递减
0
单调递增