高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教案，共3页。

问题1：如何探究函数的单调性？
答案：判断函数的单调性：观察函数的图象；函数单调性的定义；利用导数的正负.
课堂探究
问题2：如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
答案：在定义域范围内，通过求导得到导函数，再通过求解不等式，得到导数值大于0或者小于0时x的取值，从而利用函数单调性与导数的关系，判断原函数的单调性.
例1：求函数f(x)=13x3−12x2−2x+1的单调区间.
解：引导学生梳理过程：函数f(x)=13x3−12x2−2x+1的定义域为R.
对f(x)求导数，得f'(x)=x2−x−2=(x+1)(x−2).
令f'(x)=0，解得x1=−1,或x2=2.
x1=−1和x2=2把函数定义域划分为三个区间，f'(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如表所示：
所以， f(x)在(−∞,−1)和(2,+∞)上单调递增，在(−1,2)上单调递减，如图所示.
小结：一般情况下，判断函数y=f(x)的单调性的步骤：
求函数的定义域；
求导数f'(x)的零点；
用f'(x)的零点将f(x)定义域划分为若干区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，得函数f(x)在定义域上的单调性.
追问：你能体会相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究函数单调性的特点与优势吗？
答案：利用函数单调性的定义：函数f(x)=13x3−12x2−2x+1的定义域为R.
∀x1,x2∈R且x1利用导数判断函数的单调性：
将原函数——三次函数转化为导函数——二次函数进行研究，只需要探讨导数值的正负；将不熟悉的，相对复杂的函数，转化为熟悉的，相对简单的函数，简化运算过程.
例2 ：利用导数判断下列函数的单调性：
（1）f(x)=x3+3x;
（2）f(x)=sinx−x,x∈(0,π);
（3）f(x)=x−1x.
解：（1）因为f(x)=x3+3x,
所以f'(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.
所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增.
（2）因为f(x)=sinx−x,x∈(0,π),
所以f'(x)=csx−1<0.
所以，函数f(x)=sinx−x在x∈(0,π)上单调递减.
（3）因为f(x)=x−1x=1−1x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞),
所以f'(x)=1x2>0.
所以，函数f(x)=1−1x在区间(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增.
问题3：如何探究函数增减的快慢与导数有什么关系？
答案：经历观察猜想→特例验证→推理证明→解释说明→得到结论.
追问1：观察对数函数y=lnx在区间(0,+∞)上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？
答案：对数函数y=lnx的导数为y'=1x>0(x∈(0,+∞))，所以y=lnx在(0,+∞)上单调递增. 当x越来越大时，y'=1x越来越小，函数y=lnx递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.
猜想：若函数在某一范围内导数的绝对值较小，则函数在此范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较 “平缓”；
反之，若函数在某一范围内导数的绝对值较大，则函数在此范围内变化得较快，这时函数的图象就比较 “陡峭”．
追问2：观察幂函数y=x3在区间(0,+∞)上的图象，能否验证这一结论？
答案：幂函数的导数为y'=3x2>0 (x∈(0,+∞))，所以y=x3在区间(0,+∞)上单调递增．当x越来越大时，y'=3x2越来越大，函数y=x3递增得越来越快，图象上升得越来越 “陡峭”.
追问3：如何说明导数与函数增减的快慢之间的关系？
答案：导数f’(x0)的几何意义为函数y=f(x)的图象在点(x0，f(x0))处切线的斜率；因此，如果导数在某一范围内的绝对值较大，意味着函数图象在这一范围内各点处切线的斜率都较大，而由于在各点附近，曲线可由该点处的切线近似代替，所以呈现的函数图象就比较“陡峭”.
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较 “陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较 “平缓”．
知识应用
例3：设x>0，f(x)=lnx, g(x)=1−1x，两个函数的图象如图所示．
判断f(x),g(x)的图象与C1,C2之间的对应关系.
解：因为f(x)=lnx， g(x)=1−1x，
所以f'(x)=1x, g'(x)=1x2. 当x=1时，f'(x)=g'(x)=1;
当0f'(x)>1;当x>1时，0所以f(x)，g(x)在(0,+∞)上都是增函数. 在区间(0,1)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”；在区间(1,+∞)上，g(x)图象比f(x)图象要“平缓”；
所以，f(x)，g(x)的图象依次是C2,C1. x
(−∞,−1)
−1
(−1,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
f(−1)=136
单调递减
f(2)=−73
单调递增