高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案，共4页。教案主要包含了新课引入，例题讲解等内容，欢迎下载使用。

一、新课引入
问题1：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有什么关系？
答案：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减．
追问1：一般情况下，判断函数y=f(x)的单调性的步骤是什么？
答案：我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性．
①确定函数的定义域；
②求出导数f'(x)的零点；
③用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出；
④f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域上的单调性．
追问2：一般情况下，如何利用导数求函数极值？
答案：一般地，可按如下方法求函数y=f(x)的极值．
解方程f'(x)=0，当f'(x)=0时：
（1）如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f(x0)是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，那么f(x0)是极小值．
追问3：一般情况下，求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤是什么？
答案：一般地，求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下．
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，
③其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、例题讲解
例1：给定函数f(x)=(x+1)ex．
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2)画出函数f(x)的大致图象；
(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数．
解：
(1)函数的定义域为R，导数为f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex．
令f'(x)=0，则有x=−2．
函数的单调性和极值情况如下表所示：
所以函数f(x)在区间(−∞,−2)上单调递减，在区间(−2,+∞)上单调递增．
故当x=−2时，f(x)有极小值f(−2)=−1e2．
追问1：f(x)=(x+1)ex的图象经过哪些特殊点？
答案：图象经过点A(−1,0)，点B(0,1)，点C(−2,−1e2)．
追问2：结合函数与方程、不等式知识，你还能发现f(x)=(x+1)ex图象有哪些变化趋势？
答案：令f(x)=(x+1)ex=0解得x=−1，
由此当x<−1时，f(x)<0，当x>−1时，f(x)>0．
再由f(x)在(−∞,−2)上单调递减，从而当x→−∞时f(x)→0；
又当x→+∞时，与一次函数相比，指数函数y=ex呈爆炸性增长，x+1→+∞且ex→+∞,故f(x)→+∞．
追问3：如何从图象直观看出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数？
答案：方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数．
通过观察函数图象我们发现当x=−2时，f(x)有最小值f(−2)=−1e2，所以，关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论：
当a<−1e2时，解为0个；
当a=−1e2或a≥0时，解为1个；
当−1e2小结：
通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
①求出函数f(x)的定义域；
②求导数f'(x)及函数f'(x)的零点；
③用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
④确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
⑤画出f(x)的大致图象．
例２：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0. 8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
追问1：出售一瓶瓶子的半径为r的饮料制造商获利为多少分？
答案：由一瓶瓶子的半径为r的饮料的容积为43πr3，又由已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0. 2分，所以每出售一瓶瓶子的半径为r的饮料制造商获利为0. 2×43πr3分．
追问2：出售一瓶瓶子的半径为r的饮料，制造商还要负担什么成本吗？
答案：出售一瓶瓶子的半径为r的饮料，制造商还要负担瓶子的制造成本是0. 8πr2分．
追问3：根据上述分析，每瓶饮料制造商的利润关于半径r的函数关系是什么？
答案：函数关系是f(r)=0.2×43πr3−0. 8πr2．
追问4：函数f(r)=0.2×43πr3−0.8πr2的定义域是什么？
答案：瓶子半径r的取值范围为(0,6]．
追问5：“瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大（小）？”是关注函数f(r)=0.2×43πr3−0.8πr2,r∈(0,6]的什么性质？
答案：关注函数的最大值与最小值．
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是fr=0.2×43πr3−0. 8πr2,r∈(0,6]，
故f'r=0.8πr2−0.8×2πr=0.8πr2−2r，
令f'(r)=0，解得r=2．
当r∈(0,2)时，f'(r)<0；当r∈(2,6)时，f'(r)>0．
因此，当半径r>2时，f'(r)>0，函数f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径r<2时，f'(r)<0；函数f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．
半径为6 cm时，利润最大；半径为2 cm时，利润最小．
追问6：通过此问题的解决，如何回答开始时的问题呢？
答案：
（1）市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些．
（2）由例2的结论可知，饮料瓶越大饮料公司的利润越大．x
(−∞,−2)
−2
(−2,+∞)
f'(x)
−
0
+
f(x)
单调递减
−1e2
单调递增