数学选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义同步练习题

这是一份数学选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义同步练习题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f (x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是( )
A． kg/mB． kg/m
C． kg/mD． kg/m
2．设曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A．B．C．D．
3．曲线在点M(1，－2)处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
4．函数y=x2在区间[x0，x0+]上的平均变化率为k1，在[x0－，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（ ）
A．k1>k2B．k10)．
(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；
(2)求函数f(x)=−x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的方程．
21.已知曲线y=f(x)=4x．
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为17，求直线l的方程;
(2)求与曲线y=f(x)相切，并过点(2,0)的直线方程．
22.过函数y=fx=x3图象上两点P1,1和Q1+Δx,1+Δy作曲线的割线．
(1)求出当Δx=0.1时割线的斜率；
(2)求y=fx=x3在x=x0处的瞬时变化率．
题号
答案
学科核心素养
水平
解析
1
B
数学运算
水平一
从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是
2
B
数学抽象
水平一
∵，∴，∴，
∵曲线在点处的切线与直线平行，
∴，解得．
3
C
数学运算
水平一
因为，所以当Δx趋于0时，f′(1)＝2，即k＝2. 所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.
4
A
数学运算
水平一
由题意结合函数的解析式有：
，
，
则，因为，所以k1>k2.
5
C
数学抽象
水平一
由题意可得在处的切线方程为：
因为切点在曲线上也在切线上， 所以
6
B
数学抽象
水平一
根据导数的概念，，
可知表示在x=1处的导数，
由导数的几何意义可知，其表示曲线在点处的切线的斜率．故选B.
7
D
数学抽象
水平二
由题意，y＝f (x)＝sin x，
则.
当Δx→0时，cs Δx→1，
∴.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
8
A
数学抽象
水平一
由图可知，经过点 (2，f (2)) 和点 (4，f (4)) 的割线的斜率大于曲线 y＝f(x) 在点(2，f (2))处的切线斜率，且小于曲线y＝f (x)在点(4，f (4))处的切线斜率，即f ’(2) < < f ’(4)，所以2 f ’(2) < f (4)－f (2) < 2 f ’(4)．
9
AC
直观想象
水平一
在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A正确；
在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B错误；
在两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C正确；
在和两个时间段内，时间差不多，但甲血管中药物浓度差前者小于后者，药物浓度的平均变化率不相同，D错．
10
ABC
数学抽象
水平一
∵在a到b之间的平均变化率是，
在a到b之间的平均变化率是，
又，，
∴，
∴A、B错误；
易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，
即函数在该点处的切线的斜率，
同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，
即函数在该点处的切线的斜率，
由题中图象可知：
时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确．
11
ABC
数学抽象
水平一
对于A中，例如：直线是正弦曲线的切线，但切线与曲线有无数多个公共点，所以A不正确；
对于B中，如曲线过其上一点的切线不止一条，如可以与曲线相切于点，所以B不正确；
对于C和D中，如在处导数不存在，但在点(0,0)处的切线存在，为直线，故C不正确；D选项正确．
12
31/12
数学运算
水平一
平均加速度
13
4.1
数学运算
水平一
，
所以当时，AB的斜率为4.1.
14
2
数学运算
水平一
∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，当Δt趋于0时，趋于4a，即4a＝8，解得a＝2.
15
1;1
数学抽象
水平一
∵y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.
又(0，b)在x－y＋1＝0上，故0－b＋1＝0，得b＝1.
16
(1)24;(2)-18;(3)-12
数学抽象
水平一
(1)因为物体在[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在[3,5]内的平均速度为.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为
所以物体在t＝0处的瞬时速度为eq \(lim,\s\d8(Δt→0))＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) (3Δt－18)＝－18.
即物体的初速度为－18.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为
所以函数在t＝1时的瞬时变化率为eq \(lim,\s\d8(Δt→0))＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) (3Δt－12)＝－12.
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12.
17
数学抽象
水平一
即.
18
(1);
(2)
数学抽象
水平一
（1）由，得，
过点且以为切点的直线的斜率，
∴所求直线方程为．
(2)设切点坐标为，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3，
∴直线l的方程为y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)，
又直线l过点P(1，－2)，
∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)，
∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线斜率k＝3－3＝－，
于是，即.
19
(1)3x＋y－1＝0或9x＋3y－35＝0;(2)4/3
数学抽象
水平一
(1)
由－x2＋4x－3＝－3，解得x＝0或x＝4.
又f (0)＝1，f (4)＝－eq \f(1,3).
∴所求切线方程为y－1＝－3x或y＝－3(x－4)，
即3x＋y－1＝0或9x＋3y－35＝0.
(2)∵f ′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
∴当x＝2时，切线的斜率取得最大值1，
此时点P的坐标为.
由题意，设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则直线l的方程为(a>0，b>0)，所以.
当且仅当，即a＝6b时取“＝”．
将a＝6b代入eq \f(2,a)＋eq \f(1,3b)＝1，解得a＝4，b＝eq \f(2,3).
所以△AOB面积的最小值为eq \f(4,3).
20
（1）(0,+∞)．
（2）
3x+y−4=0．
数学抽象
水平一
(1)由题意得，割线AB的斜率为
，
由，得，
又因为，所以的取值范围是(0,+∞)．
(2)由(1)知函数f(x)=−x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为
k=lim▵x→0▵y▵x=lim▵x→0−3−▵x=−3，
又f(2)=−22+2=−2，
所以切线的方程为y−(−2)=−3(x−2)，
即3x+y−4=0．
21
（1）4x+y+9=0或4x+y−25=0．
（2）4x+y−8=0．
数学抽象
水平一
因为
所以f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=−4x2，
所以切线的斜率为f'(1)=−4，
切线方程是y−4=−4(x−1)，即4x+y−8=0．
设l:4x+y+c=0，则17=|c+8|42+12，
所以|c+8|=17，所以c=9或c=−25，
所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y−25=0．
因为点(2,0)不在曲线y=4x上，设切点为(x0,y0)，
则有y0=4x0．
又由(1)，知f'(x)=−4x2，
所以所求的直线的斜率为f'(x0)=−4x02，
所以切线方程为y=−4x02(x−2)．
又y0x0−2=−4x02，y0=4x0，所以x0=1，
故切线方程为4x+y−8=0．
22
（1）3.31；
（2）3x02
数学抽象
水平一
(1)f(1+Δx)=(1+Δx)3=Δx3+3Δx2+3Δx+1，
由斜率公式得割线的斜率为f(1+Δx)−f(1)Δx=Δx2+3Δx+3，
当Δx=0.1时，割线的斜率为3.31;
，
当Δx→0时，，
所以y=fx=x3在x=x0时变化率为3x02．