人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步达标检测题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数 fx=x−3ex 的单调递增区间是
A. −∞,2B. 0,3C. 1,4D. 2,+∞

2. y=8x2−lnx 在区间 0,14 和 12,1 内分别为 ．
A. 增函数，增函数B. 增函数，减函数C. 减函数，增函数D. 减函数，减函数

3. 函数 fx=2x2−lnx 的递增区间是
A. 0,12B. −12,0 和 12,+∞
C. 12,+∞D. −∞,−12 和 0,12

4. 已知 e 为自然对数的底数，函数 y=xex 的单调递增区间是
A. −1,+∞B. −∞,−1C. 1,+∞D. −∞,1

5. 设函数 fʹx=x2+3x−4，则 y=fx+1 的单调减区间为
A. −4,1B. −5,0C. −32,+∞D. −52,+∞

6. 已知函数 fx=13x3−12mx2+4x−3 在区间 1,2 上是增函数，则实数 m 的取值范围为
A. 4≤m≤5B. 2≤m≤4C. m≤2D. m≤4
7.若函数在区间(12,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. (−2,−18)D.
8.已知函数f(x)=xex−mx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是( )
A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 函数 fx 的定义域为 R，它的导函数 y=fʹx 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是
A. 在 1,2 上函数 fx 为增函数
B. 在 3,4 上函数 fx 为减函数
C. 在 2,3 上函数 fx 为减函数
D. 在 4,5 上函数 fx 为减函数

10. 如图是函数 y=fx 的导函数 fʹx 的图象，则下面判断正确的是
A. fx 在 −3,1 上是增函数
B. fx 在 1,3 上是减函数
C. fx 在 1,2 上是增函数
D. fx 在 3,4 上是减函数

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 函数 y=xlnx 的单调递减区间是 ．
12. 函数 fx=lnxx 的单调递减区间是 ．
13.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果函数 fx 在某个区间内恒有 fʹx=0，则 fx 在此区间内没有单调性．
（2）如果函数 fx 在某个区间内恒有 fʹx≥0，则 fx 在此区间内单调递增．
（3）在 a,b 内 fʹx≤0 且 fʹx=0 的根有有限个，则 fx 在 a,b 内是减函数．
14.已知函数f(x)=x2−8lnx，若对∀x1，x2∈(a,a+1)均满足f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则a的取值范围为______．
15.已知函数fx=x2ex，若fx在t,t+1上不 单 调，则实数t的取值范围是 ．
16.已知a>1，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为 ．

解答题（共6小题；共70分）
17.已知函数f(x)=x3−3x+1．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
18.已知函数f(x)=x2−2alnx−1，其中a∈R,a≠0．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
19.已知函数f(x)=lnxx−1．
(1)求函数在点(1,f(1))处的切线方程．
(2)试判断函数f(x)的单调性；
20.已知函数f(x)=xex(e为自然对数的底)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
21.已知函数fx=a+1lnx+ax2+1，讨论函数fx的单调性；
22.已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线．
题号
答案
学科核心素养
水平
解析
1
D
数学运算
水平一
fʹx=x−3ʹex+x−3exʹ=x−2ex，令 fʹx>0，解得 x>2．
2
C
数学抽象
水平一
求导即可
3
C
数学运算
水平一
求导即可
4
A
数学运算
水平一
求导即可
5
B
数学抽象
水平一
由 fʹx=x2+3x−4 知，fx 在 −4,1 上单调递减，故 fx+1 的单调减区间为 −5,0．
6
D
数学抽象
水平一
由已知得 fʹx=x2−mx+4，
因为 fx 在区间 1,2 上是增函数，
所以 fʹx≥0 在 1,2 上恒成立，
即 x2−mx+4≥0，
即 m≤x2+4x=x+4x 在 1,2 上恒成立，
又 x+4x≥2x⋅4x=4，
当且仅当 x=2 时，等号成立，所以 m≤4．
7
D
数学抽象
水平二
根据题意得，f'x=1x+2ax，
∵f(x)在区间(12,2)内存在单调递增区间，
∴f'x>0在(12,2)内有解，
即1x+2ax>0⇔a>−12x2在(12,2)内有解，
令g(x)=−12x2，则g(x)在(12,2)单调递增，
所以g(x)∈(−2,−18)，
故a>−2．
8
D
数学抽象
水平一
由f(x)=xex−mx+m2=0，
得xex=mx−m2=m(x−12)，
当x=12时，方程不成立，即x≠12，
则m=xexx−12，
设ℎ(x)=xexx−12，(x>0且x≠12)，
则ℎ'(x)=(xex)'(x−12)−xex(x−12)2=ex(x2−12x−12)(x−12)2=12ex(x−1)(2x+1)(x−12)2，
∵x>0且x≠12，∴由ℎ'(x)=0得x=1，
当x>1时，ℎ'(x)>0，函数为增函数，
当0则当x=1时函数取得极小值，极小值为ℎ(1)=2e，
当0要使m=xexx−12有两个不同的根，
则m>2e即可，即实数m的取值范围是(2e,+∞)．
9
ABC
直观想象
水平一
导函数的正负决定原函数的增减
10
ABC
数学抽象
水平一
导函数的正负决定原函数的增减
11
（0，1/e）
数学抽象
水平一
求导即可
12
e,+∞
数学运算
水平一
求导即可
13
√，×，√
数学运算
水平一
单调区间与导数的联系
14
[0,1]
数学运算
水平一
f(x)的定义域为(0,+∞)，
∵对∀x1，x2∈(a,a+1)均满足f(x1)−f(x2)x1−x2<0，
∴f(x)在(a,a+1)上单调递减，
∵f(x)=x2−8lnx，
∴f'(x)=2x−8x，
∵函数f(x)在(a,a+1)是单调递减函数，
∴f'(x)=2x−8x≤0在(a,a+1)上恒成立，
令f'(x)=2x−8x≤0，解得x∈(0,2],
∴a,a+1⊆(0,2],
∴0≤a≤1，
15
(−3,−2)∪(−1,0)
数学抽象
水平一
函数f(x)=x2ex的导数为
y'=2xex+x2ex =xex(x+2)，
令y'=0，则x=0或−2，
故f(x)在(−2,0)上单调递减，
在(−∞,−2)，(0,+∞)上单调递增，
∴0或−2是函数的极值点，
∵函数f(x)=x2ex在区间[t,t+1]上不单调，
∴t<−2∴−3∴实数t的取值范围是(−3,−2)∪(−1,0)．
16
3e
数学抽象
水平一
不等式
可转化为．
令fx=x−lnx，则 f'x=1−1x=x−1x，
∴fx在上单调递增，
∵a>1，x∈13,+∞,∴3x⩾1,aex>1,
又f3x⩽faex，
对于任意的x∈13,+∞恒成立，
令，
可知函数g(x)在13,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
∴当x=1时，gx取最大值，最大值为g(1)= 3e，
，∴a的最小值为3e．
17
(1）3x+y−1=0．
（2）在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减．
数学抽象
水平一
(1)f(x)=x3−3x+1，所以f(0)=1，
又f'(x)=3x2−3，
所以k=f'(0)=−3，
故切线方程为3x+y−1=0．
(2)f'(x)=3x2−3>0，则x>1或x<−1，
f'(x)=3x2−3<0，则−1故函数在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减．
18
(1) y=−2x+2．
(2)增区间为(a,+∞)，减区间为(0,a)．
数学抽象
水平一
(1)当a=2时，f(x)=x2−4lnx−1，
所以f'(x)=2x−4x，
所以f(1)=0，f'(1)=−2，
所以切线方程为：y−0=−2(x−1)，即：y=−2x+2．
(2)函数定义域为(0,+∞)，f'(x)=2x−2ax，
因为a∈R,a≠0，
当a<0时，f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
所以函数f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间．
当a>0时，由f'(x)>0x>0得x>a，
由f'(x)<0x>0得0所以函数的增区间为(a,+∞)，减区间为(0,a)．
19
(1) y=x−2．
(2)单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,+∞)．
数学抽象
水平一
(1)由题可知：f'(x)=1−lnxx2，
所以：f'(1)=1，f(1)=−1，
∴函数在点(1,f(1))处的切线方程为：y−(−1)=x−1即：y=x−2．
(2)因为函数的定义域为(0,+∞)，且f'(x)=1−lnxx2，
令f'(x)=1−lnxx2>0，得0令f'(x)=1−lnxx2<0，得x>e，
因此函数的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,+∞)．
20
(1)单调递增区间是(−1,+∞)；
(2) 即2ex−y−e=0．
数学抽象
水平一
(1)f(x)=xex⇒f'(x)=ex(x+1)
令f'(x)>0⇒x>−1，即函数f(x)的单调递增区间是(−1,+∞)；
(2)因为f(1)=e，f'(1)=2e，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y−e=2e(x−1)，
即2ex−y−e=0．
21
当a≥0时，f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a≤−1时，f(x)在(0,+∞)单调递减；
当−1数学抽象
水平一
f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x，
当a≥0时，f'(x)>0，故f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a≤−1时，f'(x)<0，故f(x)在(0,+∞)单调递减；
当−1则当x∈(0,−a+12a)时，f'(x)>0；
x∈(−a+12a,+∞)时，f'(x)<0，
故f(x)在(0,−a+12a)单调递增，
在(−a+12a,+∞)单调递减．
综上可得，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a≤−1时，f(x)在(0,+∞)单调递减；
当−122
见解析
数学抽象
水平一
(1)函数f(x)=lnx−x+1x−1，定义域为：(0,1)∪(1,+∞)，
f'(x)=1x+2(x−1)2>0，(x>0且x≠1)，
∴f(x)在(0,1)，(1,+∞)上单调递增，
①在(0,1)区间取值1e2，1e代入函数，
∵f(1e2)<0，f(1e)>0，f(1e2)⋅f(1e)<0，
∴f(x)在(0,1)有且仅有一个零点，
②在(1,+∞)区间取值e，e2代入函数，
∵f(e)<0，f(e2)>0，f(e)⋅f(e2)<0，
∴f(x)在(1,+∞)上有且仅有一个零点，
故f(x)在定义域内有且仅有两个零点；
(2)x0是f(x)的一个零点，则有lnx0=x0+1x0−1，
曲线y=lnx，则有y'=1x，
曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线方程为：y−lnx0=1x0(x−x0)，
即y=1x0x−1+lnx0，
可得y=1x0x+2x0−1，
而曲线y=ex的切线在点(ln1x0,1x0)处的切线方程为：y−1x0=1x0(x−ln1x0)，
即y=1x0x+2x0−1，
故曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线．