人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则的极大值为
A．0B．1C．eD．
2．函数fx=x−lnx在区间0,e上的最小值为
A．1−eB．1C．eD．−1
3．已知函数fx=ax3+bxa,b∈R的图象如图所示，则a，b的关系是
A．3a−b=0B．3a+b=0C．a−3b=0D．a+3b=0
4．若函数fx=x3−x2−x+2m在区间0,2上的最大值是4，则m的值为
A．3B．1C．2D．−1
5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是
6．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=−13x3+81x−234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件
7．已知函数fx和gx的导函数fʹx，gʹx图象分别如图所示，则关于函数y=gx−fx的判断正确的是
A．有3个极大值点B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点D．有2个极大值点和1个极小值点
8．如函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
9．若函数fx=lnx−ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是
A．0,+∞B．0,1eC．0,eD．−∞,1e
10．设，过点仅可作一条直线与的图象相切，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
11．定义在区间−12,4上的函数fx的导函数fʹx图象如图所示，则下列结论正确的是
A．函数fx在区间0,4单调递增
B．函数fx在区间−12,0单调递减
C．函数fx在x=1处取得极大值
D．函数fx在x=0处取得极小值
12．已知函数fx=x+sinx−xcsx的定义域为−2π,2π，则
A．fx为奇函数B．fx在0,π上单调递增
C．fx恰有4个极大值点D．fx有且仅有4个极值点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x=a是函数fx=x3−x2−x的极小值点，则a= ．
14．已知函数fx=x3−3x+1，则fx在区间−3,2上的最小值为 ．
15．已知函数fx=x+1ex，那么fx的单调递减区间为 ；如果方程fx=a有两个解，那么实数a的取值范围是 ．
16．如图，将一边长为6m的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为 m．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数fx=x3−3x+1．
（1）求fx的单调区间；
（2）求函数的极值．
18．已知函数fx=x3−12x2−2x+5．
（1）求函数fx的单调增区间和减区间；
（2）当x∈−1,2时，求函数y=fx的最值和最值点．
19．已知函数fx=exx2+ax−a，其中a是常数．
（1）当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）若存在实数k，使得关于x的方程fx=k在0,+∞上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
20．已知OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45∘方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y=x+42x2x>0．为方便游客观光，拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，设PM=x百米，修建两条道路PM，PN的总造价为fx万元．
（1）求fx的解析式；
（2）当x为多少时，总造价fx最低?并求出最低造价．
21．已知（为自然对数的底数）．
（1）求函数的最大值；
（2）设，若对任意，总存在使得，求实数a的取值范围．
22．己知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立．
参考答案
A
B
C
D
题号
答案
学科核心素养
水平层次
解析与说明
1
B
数学运算
水平一
【解析】因为，
当时，，，，则；
当时，，，，则；
当时，，，，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故选B．
2
B
数学运算
水平一
【解析】fʹx=1−1x，令fʹx=0，得x=1．
当x∈0,1时，fʹx0，
所以当x=1时，fx有极小值，也是最小值，最小值为f1=1．
故选B．
3
B
直观想象
水平一
【解析】因为fx=ax3+bxa,b∈R，
所以f'x=3ax2+ba,b∈R．
根据图像可知x=−1，x=1分别为函数fx的极小值点和极大值点，
所以x=−1，x=1为方程f'x=0的两根，
所以f'(−1)= f'(1)=0，
所以3a+b=0．
故选B．
4
B
数学运算
水平二
【解析】fʹx=3x2−2x−1，令fʹx=0，
解得x=−13（舍去）或x=1．
又f0=2m，f1=2m−1，f2=2m+2，
所以f2最大，
所以2m+2=4，所以m=1．
故选B．
5
C
直观想象
水平一
【解析】由题意可知：和时，，函数是增函数，时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是C．
故选C．
6
C
数学建模
水平一
【解析】因为f(x)=−13x3+81x−234，
所以f(x)'=−x2+81，
令f(x)'≥0，得−9≤x≤9，
因为要使得年产量x有意义，所以x≥0，
所以当0≤x9时，函数单调递减，
所以当x=9时，函数取得最大值．
故选C．
7
D
直观想象
水平二
【解析】因为y=gx−fx，
所以y'=g'x−f'x，
由导函数fʹx，gʹx图象可知，
当x∈(−∞,0)时，存在x1使得fʹx＝gʹx，
当x∈(0,+∞)时，存在x2使得fʹx＝gʹx，
当x=0 时，fʹx＝gʹx，
所以当x