人教A版 (2019)第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步测试题

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1．如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有( )个.
A．40B．30C．20D．10
【答案】A
【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）；
第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）．由分类加法计数原理知，共有32+8＝40（个）．
2．（2021·山东菏泽高二期末）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）
A．16种B．18种C．37种D．48种
【答案】C
【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，
其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种．
3．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日，共天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】日至日，分别为，有天奇数日， 天偶数日，
第一步安排奇数日出行，每天都有种选择，共有种，
第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选天安排甲的车，另外一天安排其它车，有种，
第二类，不安排甲的车，每天都有种选择，共有种，共计，
根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有.故选D.
4．（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，所以所求概率为．
5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有( )
A．种B．种
C．种D．种
【答案】A
【详解】①若甲同学选择牛，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，
②若甲同学选择马，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，
综上，共有选法为种．
6.（2021·山东菏泽高二期末）已知三边，，的长都是整数，，如果，则符合条件的三角形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，可取的值为1、2、3、…25，
根据三角形的三边关系，有，
当时，有25≤＜26，则＝25，有1种情况，
当时，有25≤＜27，则＝25、26，有2种情况，
当时，有25≤＜28，则＝25、26、27，有3种情况，
当时，有25≤＜29，则＝25、26、27、28，有4种情况，
…
当时，有有25≤＜50，则＝25、26、27、28…49，有25种情况，
则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝．
二、填空题
7．（2021·三亚华侨学校高二开学考试）某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法．
【答案】
【详解】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，
2个班为高一和高二各一个班有，
2个班为高二和高三各一个班有，
2个班为高三和高一各一个班有，
所以不同的选法共有.
8．现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是_______种.
【答案】1535
【详解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去这些人民币全不取的1种情况，所以共有种．
9．（2021·浙江温州市浙鳌高级中学高二期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
【答案】1560
【详解】解：分4步进行分析：
①，对于区域，有6种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
10．（2021·山东菏泽高二期末）从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有____________个
【答案】98
【详解】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，所以这样的等差数列共有个.
三、解答题
11．（2021·全国高三专题练）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？
（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率.
【详解】
（1）小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有种；
（2）小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元，付费4元的乘坐站数也有7，8，9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有种；其中小华比小李先下地铁的方案共有种；因此小华比小李先下地铁的概率为
12．用这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；
（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
【详解】（1）当末位数字是时，百位数字不是， 第一步，放百位有4种方法，
第二步，放剩余的三个位置有种，则共有个；
当末位数字是，首位数字是时，共有个；
当末位数字是时，首位数字是或或时，共有个；
故共有个．
（2）中有一个取时，有条；都不取时，有条；
与重复；，与重复．
故共有条．
乘坐站数
0＜x≤3
3＜x≤6
6＜x≤9
票价（元）
2
3
4