数学选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.1 成对数据的相关关系随堂练习题

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1．（2021·陕西西安市西安中学高二月考）某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数 r=0.862 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系
B. 商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系
C. 商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系
D. 商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系
【答案】B
【详解】由r=0.862>0可知利润率与人均销售额成正相关关系，且相关性较强，故选：B.
2．（2021·全国高二课时练）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故，；，；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故，，因此，．故选C．
3．（2021·全国高二课时练习）已知x，y是两个变量，下列四个关系中，x，y呈负相关的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝－x2＋1 C．y＝x－1 D．y＝－x＋1
【答案】D
【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于B，y＝－x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于C，y＝x－1，当x增大时，y的值一定增大，两个变量正相关，不符合题意；对于D，y＝－x＋1，当x增大时，y的值一定减小，两个变量负相关，符合题意；故选D.
4．（2021·全国高二课时练习）对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（ ）
A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
【答案】C
【详解】由线性相关系数知与正相关，由线性相关系数知与负相关，又，所以，变量与的线性相关性比与的线性相关性强，故选：C.
5．（多选题）（2020·福建上杭一中高二月考）在下列各图中,两个变量具有线性相关关系的图是( )
【答案】BC
【详解】A中两个变量为函数关系,不是线性相关关系,所以A错误;B中两个变量有明显的正相关,所以具有线性相关性,所以B正确;C中两个变量有明显的负相关,所以具有线性相关性,所以C正确;
D中两个变量不具有相关性,所以D错误.
6．（多选题）（2021·全国高二专题练习）对于相关系数，下列说法中错误的是（ ）
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱
【答案】ABC
【解析】对于选项A，越大，线性相关程度越强，即A错误；
对于选项B，越小，线性相关程度越弱，即B错误；
对于选项C，越大，线性相关程度越强，越小，线性相关程度越弱, 即C错误；
对于选项D，，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱，即D正确，故选：ABC.
二、填空题
7．（2021·扶风县法门高中高二月考）如图所示，有组数据的散点图，去掉________组数据后，剩下的组数据的线性相关系数最大．
【答案】D
【解析】线性相关系数越大，则说明线性相关性质越好，由散点图可知，A、B、C、E的线性相关性质最好，所以应该去掉D．
8．（2021·江西赣州市高二期末）甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表：
则 同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性．
【答案】丁
【解析】，且相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是丁.
9. （2021·全国高二专题练习）某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
①利润率与人均销售额成正相关关系； ②利润率与人均销售额成负相关关系；
③利润率与人均销售额成正比例函数关系；④利润率与人均销售额成反比例函数关系
根据表中数据，下列说法正确的是 .
【答案】①
【解析】画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系.
10．（2021·福建福州三中高二月考）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．
【答案】乙；数学
【解析】①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”，及数学的成绩更靠前．
三、解答题
11．（2021·吉林长春市高二月考）某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据（，2，…，30），其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求方案二抽取的样本（，2，…，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.
附：相关系数，；相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强.
【详解】（1）由题意可得，样区野生动物平均数为，
又地块数为300，所以该地区这种野生动物的估计值为；
（2）由题中数据可得，样本（，2，…，30）的相关系数为
.
因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为，
所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计.
12．（2021·全国高二专题练）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主
创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）：
（2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．
①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率．
②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由
附：相关系数公式
参考数据：．
【详解】（1）由题可知：
则
故与的线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合．
（2）顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A．
.设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则,所以 , 由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为,由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元，所以专营店老板希望顾客参加抽奖.
甲
乙
丙
丁
-0.78
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
1
2
3
4
5
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9