人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理学案，共10页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。

1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；
2.会应用二项式定理求解二项展开式；
3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；
4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.
重点： 应用二项式定理求解二项展开式
难点：利用计数原理分析二项式的展开式
1．二项式定理
(a＋b)n＝____________________________________________ (n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．
(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn
n＋1 ；Ceq \\al(k,n)
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.
k＋1 ；Ceq \\al(k,n)an－kbk
二项式定理形式上的特点
(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.
(2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项． ( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ( )
(3)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． ( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． ( )
问题探究
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn展开式的问题。
问题1：我们知道
a+b2=a2+2ab+b2,
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
（2）根据你发现的规律，你能写出a+b4的展开式吗？
（3）进一步地，你能写出a+bn的展开式吗？
我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，
a+b2=a+ba+b
=aa+b+ba+b=a×a+a×b+b×a+b×b
=a2+2ab+b2
问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出a+b3，a+b4的展开式吗？
二、典例解析
例1.求x+1x6的展开式.
1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
跟踪训练1 (1)求3x+1x4的展开式;
(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
例2.（1）求1+2x7的展开式的第4项的系数；
（2）求2x-1x6的展开式中x2的系数.
二项式系数与项的系数的求解策略
(1)二项式系数都是组合数Cnk(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.
(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C73=35,而第4项的系数是C7323=280.
跟踪训练2. (1)求二项式2x-1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.
1.(a+b)2n的展开式的项数是( )
A.2nB.2n+1 C.2n-1D.2(n+1)
2.(2a+b)5的展开式的第3项是( )
A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.23C53a2b3
3.二项式(x+1x)6的展开式中有理项共有 项.
4.如果(3x2+1x)n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n= .
5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式
中x7的系数.
6.已知在3x-123xn的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
参考答案：
知识梳理
1．[解析] (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．
(2)× 因为二项式的第k＋1项Ceq \\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展开式的
第k＋1项Ceq \\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
(3)× 因为Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．
(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Ceq \\al(r,n).
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
学习过程
问题探究
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn展开式的问题。
问题1：可以看到，a+b2是2个a+b相乘，只要从一个a+b中选一项（选a或b ），再从另一个a+b中选一项（选a或b ），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，a+b2的展开式共有C21×C21=22项，而且每一项都是a2-kbk（ k =0,1,2）的形式.
我们来分析一下形如a2-kbk的同类项的个数.
当k =0时，a2-kbk=a2，这是由2个a+b中都不选b得到的，因此，a2出现的次数相
当于从2个a+b中取0个b （即都取a ）的组合数C20，即a2只有1个；
当k =1时，a2-kbk= ab ，这是由1个a+b中选a，另一个a+b中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此， ab出现的次数相当于从2个a+b中取1个b 的组合数C21，即ab只有2个；
当k =2时，a2-kbk= b2，这是由2个a+b中选b 得到的，因此，b2出现的次数相当于从2个a+b中取2个b 的组合数C22，即b2只有1个；
由上述分析可以得到
a+b2=C20a2+C21ab+C22b2
问题2： 类似地，用同样的方法可知
a+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
a+b4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4
二、典例解析
例1.解：根据二项式定理
x+1x6=x+x-16
=C60x6+C61x5x-1+C62x4x-2+C63x3x-3+C64x2x-4+C65x1x-5++C66x-6
=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6
跟踪训练1 解:(1)方法一
3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C42(3x)2·1x2
+C43·3x1x3+C44·1x4=81x2+108x+54+12x+1x2.
方法二
3x+1x4=(3x+1)4x2
=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)
=81x2+108x+54+12x+1x2.
(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
例2.（1）求1+2x7的展开式的第4项的系数；
（2）求2x-1x6的展开式中x2的系数.
解：1+2x7的展开式的第4项是
T3+1=C73×17-3 ×(2x)3
=C73×23 ×x3=35×8 ×x3
=280 x3
因此,展开式第4项的系数是280.
（2）2x-1x6 的展开式的通项是
C6k(2x12)6-k(x-12)k=C6k26-kx6-k2-k2=C6k26-kx3-k
根据题意，得
3-k=2，k=1 ，因此，x2的系数是
（-1）×25×C61=-192.
二项式系数与项的系数的求解策略
(1)二项式系数都是组合数Cnk(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.
(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C73=35,而第4项的系数是C7323=280.
跟踪训练2. (1)求二项式2x-1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.
解:(1)由已知得二项展开式的通项为
Tk+1=C6k(2x)6-k·-1xk=26-kC6k·(-1)k·x3-3k2,
∴T6=-12x-92.
∴第6项的二项式系数为C65=6,
第6项的系数为C65·(-1)5·2=-12.
(2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则
Tk+1=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9kx9-2k,
令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·C93=-84.
达标检测
1.解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.
答案:B
2.解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a3b2.
答案:B
3.解析:根据二项式定理的通项
Tk+1=C6k·(x)6-k·1xk=C6k·x6-3k2.
当取有理项时,6-3k2为整数,
此时k=0,2,4,6.故共有4项.
答案:4
4.解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(1x)k=Cnkx2n-5k3,
由题意知当k=2时,2n-5k3=2,解得n=8.
答案:8
5.解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.
x2的系数为Cm2+Cn2=12(m2-m)+12(n2-n)=m2-19m+171.
∴当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,
此时x7的系数为C97+C107=156.
6.分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.
解:(1)由通项知,展开式中第k+1项为
Tk+1=Cnk·(3x)n-k·-123xk=Cnk·(x13)n-k·-12·x-13k=-12k·Cnkxn-2k3.
∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.
(2)由(1)知Tk+1=-12k·C10k·x10-2k3.
令10-2k3=2,则k=2.
∴x2的系数为-122×C102=14×45=454.
(3)当Tk+1项为有理项时,10-2k3为整数,0≤k≤10,且k∈N.
令10-2k3=z,则k=5-32z,
∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件.
∴有理项为T3=C102·-122x2=454x2,
T6=C105-125=-638,T9=C108-128x-2=45256x-2.