高中数学6.3 二项式定理学案

这是一份高中数学6.3 二项式定理学案，共10页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。

1. 能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.
2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.
重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；
难点：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；
利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.
1．二项式定理
(a＋b)n＝____________________________________________ (n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．
(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn
n＋1 ；Ceq \\al(k,n)
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.
k＋1 ；Ceq \\al(k,n)an－kbk
3. 二项式系数的性质
（1）.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
Cnm=Cnn-m.
（2）.增减性与最大值
当kn+12时,Cnk随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值;当n是奇数时,中间的两项Cnn-12与Cnn+12相等,且同时取得最大值.
（3）.各二项式系数的和
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
1. 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为 ,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为 .
2. A=Cn0+Cn2+Cn4+…与B=Cn1+Cn3+Cn5+…的大小关系是( )
A.A>B B.A=B C.A问题探究
探究1：计算a+bn 展开式的二项式系数并填入下表
二项式系数:Cn0,Cn1, Cn2,…,Cnk, …,Cn0.
通过计算、填表、你发现了什么规律？
将上表写成如下形式：
a+b2
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
a+b1
a+b3
a+b4
a+b5
a+b6
思考：通过上表和上图，能发现什么规律？
对于a+bn展开式的二项式系数
Cn0,Cn1, Cn2,…,Cnk, …,Cn0.
我们还可以从函数的角度分析它们。Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r) ，
其定义域是0,1,2,…,n
我们还可以画出它的图像。
例如，当n=6时，
函数fr=Cnr(r ϵ0,1,2,…,n )的图像是7个离散的点，如图所示。
探究2.已知1+xn =Cn0+Cn1x+...+Cnkxk+...+Cnnxn ，求
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn
二、典例解析
例3.求证:在a+bn 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2.
跟踪训练1. 在(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
例4.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和
系数最大的项.
求二项展开式中系数的最值的方法
(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.
(2)若二项展开式的系数为f(k)=Cnk·mg(k)的形式.
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数
最大,应用Ak+1≥Ak+2,Ak+1≥Ak解出k,即得系数最大的项.
跟踪训练2.已知x+2x2n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.
(1)求该展开式中所有有理项的个数;
(2)求该展开式中系数最大的项.
1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为( )
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
2.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=729,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于( )
A.64 B.32 C.63 D.31
3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.212 B.211 C.210 D.29
4.已知14+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
5.已知12+2xn,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数.
参考答案：
知识梳理
1.解析:因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为C84a4b4=70a4b4.
因为(a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为C94a5b4=126a5b4,C95a4b5=126a4b5.
答案:1.70a4b4 126a5b4与126a4b5
2. 解析:∵(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,
(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-…+(-1)nCnn=0,
∴Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1,即A=B.
答案:B
学习过程
问题探究
探究2. 令x=1 得1+1n=Cn0+Cn1 +...+Cnn=2n
所以，a+bn 的展开式的各二项式系数之和为2n
二、典例解析
例3.证明:在展开式
a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+...+Cnkan-kbk+...+Cnnbn中，
令a=1,b=-1，得1-1n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+...+(-1)nCnn
即0=(Cn0+Cn2+...)-(Cn1+Cn3+...)
因此Cn0+Cn2++Cn3+...
即在a+bn 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
跟踪训练1. 解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为C90+C91+C92+…+C99=29=512.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,
所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令x=1,y=-1,可得
a0-a1+a2-…-a9=59,
又a0+a1+a2+…+a9=-1,
将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=59-12=976 562,
即所有奇数项系数之和为976 562.
例4.解:T6=Cn5·(2x)5,T7=Cn6·(2x)6,依题意有
Cn5·25=Cn6·26,解得n=8.
∴在(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为
T5=C84·(2x)4=1 120x4.
设第k+1项的系数最大,则有
C8k·2k≥C8k-1·2k-1,C8k·2k≥C8k+1·2k+1,
解得5≤k≤6.
∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
跟踪训练2.解:(1)由题意可知n2+1=6,
∴n=10.
∴Tk+1=C10kx10-k22kx-2k=C10k2kx10-5k2(0≤k≤10,且k∈N),要求该展开式中的有理项,只需令10-5k2∈Z.
∴k=0,2,4,6,8,10.∴有理项的个数为6.
(2)设第Tk+1项的系数最大,
则C10k2k≥C10k-12k-1,C10k2k≥C10k+12k+1,即2k≥111-k,110-k≥2k+1,解不等式组得193≤k≤223.
∵k∈N,∴k=7.
∴展开式中系数最大的项为T8=C10727x-252=15 360x-252.
达标检测
1. 解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.
答案:C
2 解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.
则Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.
答案:B
3.解析:因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,
所以Cn3=Cn7,解得n=10,
所以二项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为12×210=29.
答案:D
4.解析:由Cn0+Cn1+Cn2=37,得1+n+12n(n-1)=37,
解得n=8(负值舍去),
则第5项的二项式系数最大,
T5=C84×144×(2x)4=358x4,该项的系数为358.
答案:358
5.解:∵Cn4+Cn6=2Cn5,
∴n=7或n=14,
当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,
T4的系数为C73×124×23=352,T5的系数为C74×123×24=70;
当n=14时,展开式中二项式系数最大项是T8,T8的系数为
C147×127×27=3 432.
n
a+bn 的展开式的二项式系数
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1