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人教a版数学选择性必修第三册第6章《计数原理》章末复习小结 练习
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高中数学选择性必修三第六章 计数原理--复习与小结 A基础练一、选择题1．某中学食堂获得学生好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有（ ）种不同选择午餐的情况．A．120 B．72 C．60 D．302．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )A． B． C． D．3．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个A． B． C． D．4．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．-40 B．-20 C．20 D．405. （多选题）下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为726. （多选题）关于的说法，正确的是（ ）A．展开式中的二项式系数之和为512 B．展开式中只有第5项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小二、填空题7．4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为____________．8．展开式中的系数为_______________．9．若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．10. 2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为______.（用数字作答）三、解答题11．书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书.（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？12．设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值. B提高练一、选择题1．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）A．420种 B．1225种 C．441种 D．735种2．的展开式的常数项是（ ）A． B． C． D．3．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹!脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测和帮扶机制，继续现固脱贫成果.为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的3个脱贫村与B乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为（ ）A． B． C． D．4. 已知，则（ ）A． B． C． D．5. （多选题）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法6.（多选题）已知展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（）A．展开式中的有理项是第2项和第5项 B．展开式中没有常数项C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项 D．展开式中系数最大的项是第5项二、填空题7．某地为了庆祝建党周年，将在月日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.8．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．9．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.该校派遣甲、乙，丙、丁、戊五个小组到、、三个街道进行打扫活动，每个街道至少去个小组，则不同的派遣方案有______________种.10．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（1）4位回文数有 个；（2）位回文数有 个．三、解答题11．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？12．已知展开式的二项式系数和为512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求被6整除的余数． 同步练习答案A基础练一、选择题1．【答案】C【详解】该同学选择午餐的这件事必须分两步完成：先从6种不同的荤菜中选两种有种，再从4种不同的素菜中选一种有种，根据分步计数乘法得所求不同方法种数是.2．【答案】B【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B3．【答案】D【详解】先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有个.故选：D．4．【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=405. 【答案】ABCD【详解】对于A，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确.故选：ABCD.6. 【答案】ACD【详解】解：二项式展开式的通项为对于：二项式系数之和为，故正确；对于、：展开式共10项，中间第5、6项的二项式系数最大，故错误，正确；对于：展开式中各项的系数为，，1，，9当时，该项的系数最小．故正确．故选：ACD．二、填空题7．【答案】36【详解】根据题意，必有两人去同一个基层单位进行宣讲，故先从4位优秀党务工作者中选两人，有种，再将其看成整体，和另外两人分配到三个基层单位，有种分配方案,所以共有种不同的安排方案.8．【答案】-6【解析】：∵展开式中的系数为.9．【答案】10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即10.【答案】【详解】选出{国内，国外}媒体团的可能组合有、、，而组合国内媒体团中必会有两个团连续提问，当组合时，选取方式有种，提问方式种，当组合时，选取方式有种，提问方式：安排国内两个媒体团的提问的先后顺序种，再将2个国外媒体团插入三个空有，确定国外媒体团提问顺序；或将2个国外媒体团捆绑只能插入国内两个团中间提问，则有1种情况，确定国外媒体团提问顺序；故共有种，∴不同提问方式共有：.三、解答题11．【详解】（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有种不同的取法；（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有种不同的取法；（3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类：第一，选择哲学书和文学书，有种取法；第二，选择哲学书和数学书，有种取法；第三，选择文学书和数学书，有种取法；因此，共有30+24+20=74种不同的取法.12．【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此． B提高练一、选择题1．【答案】A【详解】根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在7项中选取2项，共有种不同的方法；第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法；第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种），故选：A．2．【答案】D【详解】的展开式通项为：，由得，所以的常数项系数为；由得，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.3．【答案】A【详解】从7个村子中选2个共有(种)方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为，∴所求概率为.故选：A4.【答案】B【详解】依题意，的展开式中各项系数就是对应项的二项式系数，即,由二项展开式中二项式系数的对称性知：，所以原等式为求导得，取x=1得，所以.故选：B5. 【答案】BC【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种选法，女生的选法有种选法，则4人中男生女生各有2人选法有种选法，A错误；对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有种选法，B正确；对于C，在10人中任选4人，有种选法，甲乙都不在其中的选法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，C正确；对于D，在10人中任选4人，有种选法，只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有种，D错误；故选：BC.6.【答案】BCD【详解】对选项,由题意可得，求得或（舍），．所以的展开式的通项公式为，，所以当或时，是整数，所以展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项错误；对选项，令，所以展开式中没有常数项，所以选项正确；对选项，因为，故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项正确；对选项，第项的系数为，，计算得展开式各项的系数依次为所以展开式第5项的系数最大．所以选项正确.故答案为：BCD.二、填空题7．【答案】【详解】若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为；若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为种.综上所述，不同安排方案的种数是种.8．【答案】【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为9．【答案】【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配时，则有种不同的方案.故共有种不同的派遣方案.10．【答案】（1）90（2）【详解】由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n＋2位回文数与2n＋1位回文数个数相等，均为9×10n个．三、解答题11．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种；（2）如果体育排在最后一节，有种，体育不排在最后一节有种，所以共有种，（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种12．【答案】(1)，（2）2，（3）5【详解】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，所以，解得，因为，所以，（2）在中，令，则，令，可得，所以（3），，因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，所以被6整除的余数为5
高中数学选择性必修三第六章 计数原理--复习与小结 A基础练一、选择题1．某中学食堂获得学生好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有（ ）种不同选择午餐的情况．A．120 B．72 C．60 D．302．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )A． B． C． D．3．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个A． B． C． D．4．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．-40 B．-20 C．20 D．405. （多选题）下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为726. （多选题）关于的说法，正确的是（ ）A．展开式中的二项式系数之和为512 B．展开式中只有第5项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小二、填空题7．4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为____________．8．展开式中的系数为_______________．9．若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．10. 2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为______.（用数字作答）三、解答题11．书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书.（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？12．设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值. B提高练一、选择题1．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）A．420种 B．1225种 C．441种 D．735种2．的展开式的常数项是（ ）A． B． C． D．3．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹!脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测和帮扶机制，继续现固脱贫成果.为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的3个脱贫村与B乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为（ ）A． B． C． D．4. 已知，则（ ）A． B． C． D．5. （多选题）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法6.（多选题）已知展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（）A．展开式中的有理项是第2项和第5项 B．展开式中没有常数项C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项 D．展开式中系数最大的项是第5项二、填空题7．某地为了庆祝建党周年，将在月日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.8．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．9．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.该校派遣甲、乙，丙、丁、戊五个小组到、、三个街道进行打扫活动，每个街道至少去个小组，则不同的派遣方案有______________种.10．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（1）4位回文数有 个；（2）位回文数有 个．三、解答题11．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？12．已知展开式的二项式系数和为512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求被6整除的余数． 同步练习答案A基础练一、选择题1．【答案】C【详解】该同学选择午餐的这件事必须分两步完成：先从6种不同的荤菜中选两种有种，再从4种不同的素菜中选一种有种，根据分步计数乘法得所求不同方法种数是.2．【答案】B【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B3．【答案】D【详解】先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有个.故选：D．4．【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=405. 【答案】ABCD【详解】对于A，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确.故选：ABCD.6. 【答案】ACD【详解】解：二项式展开式的通项为对于：二项式系数之和为，故正确；对于、：展开式共10项，中间第5、6项的二项式系数最大，故错误，正确；对于：展开式中各项的系数为，，1，，9当时，该项的系数最小．故正确．故选：ACD．二、填空题7．【答案】36【详解】根据题意，必有两人去同一个基层单位进行宣讲，故先从4位优秀党务工作者中选两人，有种，再将其看成整体，和另外两人分配到三个基层单位，有种分配方案,所以共有种不同的安排方案.8．【答案】-6【解析】：∵展开式中的系数为.9．【答案】10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即10.【答案】【详解】选出{国内，国外}媒体团的可能组合有、、，而组合国内媒体团中必会有两个团连续提问，当组合时，选取方式有种，提问方式种，当组合时，选取方式有种，提问方式：安排国内两个媒体团的提问的先后顺序种，再将2个国外媒体团插入三个空有，确定国外媒体团提问顺序；或将2个国外媒体团捆绑只能插入国内两个团中间提问，则有1种情况，确定国外媒体团提问顺序；故共有种，∴不同提问方式共有：.三、解答题11．【详解】（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有种不同的取法；（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有种不同的取法；（3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类：第一，选择哲学书和文学书，有种取法；第二，选择哲学书和数学书，有种取法；第三，选择文学书和数学书，有种取法；因此，共有30+24+20=74种不同的取法.12．【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此． B提高练一、选择题1．【答案】A【详解】根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在7项中选取2项，共有种不同的方法；第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法；第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种），故选：A．2．【答案】D【详解】的展开式通项为：，由得，所以的常数项系数为；由得，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.3．【答案】A【详解】从7个村子中选2个共有(种)方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为，∴所求概率为.故选：A4.【答案】B【详解】依题意，的展开式中各项系数就是对应项的二项式系数，即,由二项展开式中二项式系数的对称性知：，所以原等式为求导得，取x=1得，所以.故选：B5. 【答案】BC【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种选法，女生的选法有种选法，则4人中男生女生各有2人选法有种选法，A错误；对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有种选法，B正确；对于C，在10人中任选4人，有种选法，甲乙都不在其中的选法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，C正确；对于D，在10人中任选4人，有种选法，只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有种，D错误；故选：BC.6.【答案】BCD【详解】对选项,由题意可得，求得或（舍），．所以的展开式的通项公式为，，所以当或时，是整数，所以展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项错误；对选项，令，所以展开式中没有常数项，所以选项正确；对选项，因为，故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项正确；对选项，第项的系数为，，计算得展开式各项的系数依次为所以展开式第5项的系数最大．所以选项正确.故答案为：BCD.二、填空题7．【答案】【详解】若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为；若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为种.综上所述，不同安排方案的种数是种.8．【答案】【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为9．【答案】【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配时，则有种不同的方案.故共有种不同的派遣方案.10．【答案】（1）90（2）【详解】由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n＋2位回文数与2n＋1位回文数个数相等，均为9×10n个．三、解答题11．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种；（2）如果体育排在最后一节，有种，体育不排在最后一节有种，所以共有种，（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种12．【答案】(1)，（2）2，（3）5【详解】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，所以，解得，因为，所以，（2）在中，令，则，令，可得，所以（3），，因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，所以被6整除的余数为5
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