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人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式达标测试
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式达标测试，共12页。试卷主要包含了665 B．0等内容，欢迎下载使用。
A基础练
一、选择题
1．设P(A|B)＝P(B|A)＝eq \f(1,2)，P(A)＝eq \f(1,3)，则P(B)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
3．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.72B．0.96C．0.86D．0.84
4.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为110,115,120,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
B.0.1 D.0.2
5．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
6．（多选题）下列说法一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________．
8. 5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为________,第三个人摸到中奖彩票的概率为________.
9．设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，则第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率为________.
10.通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为，，.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到其他字符的概率为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为________．
三、解答题
11． 一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．
求：(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
12．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
B提高练
一、选择题
1．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产eq \f(1,2)，乙、丙两厂各生产eq \f(1,4)，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )
A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125
2．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）
A．B．
C．D．
3．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,12) D.eq \f(5,8)
4. 某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:
现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为( )
5. （2021·辽宁锦州市·高二月考）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由______车间生产的可能性最大( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
6．（多选题）在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S 在病人中占60%.则( )
A.任意一位病人有症状S 的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
二、填空题
7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
8．10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．
9．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________．
10．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(C,\s\up6(－)))＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______.(精确到0.001)
三、解答题
11．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；
(3)正品、次品各一只；
(4)第二次取出的是次品．
12．假定患有疾病{d1,d2,d3}中的某一个的人可能出现症状S=S1,S2,S3,S4中一个或多个,其中:
S1=食欲不振 S2=胸痛
S3=呼吸急促 S4=发热
现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?
同步练习答案
A基础练
一、选择题
1．【答案】B
【详解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，由P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，得P(B)＝eq \f(PAB,PA|B)＝eq \f(1,6)×2＝eq \f(1,3).
2．【答案】A
【详解】记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
3．【答案】C
【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选：C
4.【答案】A
【详解】以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,PA1=510,PA2=310,PA3=210,PB|A1=110,PB|A2=115,PB|A3=120;则由全概率公式,所求概率为PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=510×110+310×115+210×120=0.08.
5．【答案】D
【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成样本空间的一个划分．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P(B)＝eq \(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
6．【答案】AD
【详解】，而，，故A不成立；
，∴当时，B成立；当相互独立时，，故C可能成立；，故D不成立.故选：AD.
二、填空题
7．【答案】0.75
【详解】因为P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，所以P(AB)＝0.3.所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.3,0.4)＝0.75.
8. 【答案】15 15
【详解】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai ,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2∩(A1∪A1)]
=P(A2∩A1)+P(A2∩A1)=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,
P(A3)=P[A3∩(A1A2+A1A2+A1A2+A1 A2)] =P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=45×34×13=15.
9．【答案】···
【详解】设Ri(i=1，2，3，4)表示第i次取到红球的事件，(i=1，2，3，4)表示第i次取到白球的事件.则有P(R1R2 )=P(R1)P(R2)P()·P(R1R2)
=···.
10.【答案】
【详解】以表示事件“收到的字符是”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，根据题意有：
，，，，
，；
根据贝叶斯公式可得：
.
三、解答题
11． 【详解】设A表示第一次取得白球， B表示第二次取得白球，则AB表示第一、第二次都取得白球，eq \(A,\s\up6(－))B表示第一次取得黑球，第二次取得白球，且P(B|A)＝eq \f(5,9)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3). (1)P(A)＝eq \f(6,10)＝0.6.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(6,10)×eq \f(5,9)＝eq \f(1,3).
(3)P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(4,10)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,15).
12．【详解】设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
B提高练
一、选择题
1．【答案】A
【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.
2．【答案】B
【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，由全概率公式可得.
3．【答案】B
【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝eq \(∑,\s\up8(3),\s\d6(k＝1))P(Bk)P(A|Bk)＝eq \f(1,2)·eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,9))＋eq \f(1,5)·eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,9))＋eq \f(3,10)·eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,9))＝eq \f(8,36). P(B1|A)＝eq \f(PB1PA|B1,PA)＝eq \f(\f(1,2)·\f(C\\al(2,4),C\\al(2,9)),PA)＝eq \f(3,36)÷eq \f(8,36)＝eq \f(3,8).故选B.
4. 【答案】A
【详解】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得,
P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)= C9910C10010=0.9,P(A2)=0.4,
P(B|A2)= C9810C10010 ≈0.809,P(A3)=0.2,P(B|A3)= C9710C10010 ≈0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)= C9610C10010≈0.652.
由全概率公式,得P(B)=∑i=04P(Ai)P(BAi)=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
5. 【答案】A
【详解】选A.设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A1,A2,A3是样本空间Ω中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,
P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+
P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
由贝叶斯公式得P(A1|B)=0.45×≈0.514,
P(A2|B)=0.35×≈0.200,P(A3|B)=0.20×≈0.286,
所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.
6．【答案】ABC
【详解】P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,
由全概率公式得P(S)=∑i=13P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.
由贝叶斯公式得:P(D1|S)=P(D1)P(S|D1)P(S)=0.02×,
P(D2|S)=P(D2)P(S|D2)P(S)=0.05×,P(D3|S)=P(D3)P(S|D3)P(S)=0.005×
二、填空题
7．【答案】0.4
【详解】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.
8．【答案】eq \f(1,30)
【详解】设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝eq \f(4,10)×eq \f(3,9)×eq \f(2,8)＝eq \f(1,30).
9．【答案】0.4825
【详解】用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95.5%， P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%， P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5， P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1， P(B|A4)＝0.05，
所以
10．【答案】0.087
【详解】由题设，有P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝0.995，P(A|eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(C,\s\up6(－)))＝0.05，
由贝叶斯公式，得P(C|A)＝eq \f(PA|CPC,PA|CPC＋PA|\(C,\s\up6(－))P\(C,\s\up6(－)))≈0.087.
三、解答题
11．【解析】设Ai＝{第i次取正品}，i＝1,2.
(1)两只都是正品，则
P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(8,10)×eq \f(7,9)＝eq \f(28,45).
(2)两只都是次品，则
P(eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(2,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,45).
(3)一只是正品，一只是次品，则
P(A1eq \(A,\s\up6(－))2＋eq \(A,\s\up6(－))1A2)＝P(A1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(A2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(8,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(2,10)×eq \f(8,9)＝eq \f(16,45).
(4)第二次取出的是次品，则
P(eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(A1eq \(A,\s\up6(－))2＋eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(A1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(8,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(2,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,5).
12．【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,
PD1=7 75020 000=0.387 5,PD2=5 25020 000=0.262 5,
PD3=7 00020 000=0.35,PA|D1=7 5007 750≈0.967 7,
PA|D2=4 2005 250=0.8,PA|D3=3 5007 500=0.5,
所以PA=PD1PA|D1+PD2PA|D2+PD3PA|D3
=0.387 5×0.967 7+0.262 5×0.8+0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式可得,
PD1|A=PA|D1PD1PA=0.387 5×0.967 70.76≈0.493 4,
PD2|A=PA|D2PD2PA=0.262 5×≈0.276 3,
PD3|A=PA|D3PD3PA=0.35×≈0.230 3.
从而推测病人患有疾病d1较为合适.
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
一批产品中的次品数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
疾病
人数
出现S中一个或几个症状人数
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500
A基础练
一、选择题
1．设P(A|B)＝P(B|A)＝eq \f(1,2)，P(A)＝eq \f(1,3)，则P(B)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
3．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.72B．0.96C．0.86D．0.84
4.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为110,115,120,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
B.0.1 D.0.2
5．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
6．（多选题）下列说法一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________．
8. 5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为________,第三个人摸到中奖彩票的概率为________.
9．设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，则第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率为________.
10.通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为，，.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到其他字符的概率为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为________．
三、解答题
11． 一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．
求：(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
12．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
B提高练
一、选择题
1．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产eq \f(1,2)，乙、丙两厂各生产eq \f(1,4)，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )
A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125
2．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）
A．B．
C．D．
3．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,12) D.eq \f(5,8)
4. 某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:
现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为( )
5. （2021·辽宁锦州市·高二月考）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由______车间生产的可能性最大( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
6．（多选题）在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S 在病人中占60%.则( )
A.任意一位病人有症状S 的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
二、填空题
7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
8．10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．
9．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________．
10．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(C,\s\up6(－)))＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______.(精确到0.001)
三、解答题
11．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；
(3)正品、次品各一只；
(4)第二次取出的是次品．
12．假定患有疾病{d1,d2,d3}中的某一个的人可能出现症状S=S1,S2,S3,S4中一个或多个,其中:
S1=食欲不振 S2=胸痛
S3=呼吸急促 S4=发热
现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?
同步练习答案
A基础练
一、选择题
1．【答案】B
【详解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，由P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，得P(B)＝eq \f(PAB,PA|B)＝eq \f(1,6)×2＝eq \f(1,3).
2．【答案】A
【详解】记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
3．【答案】C
【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选：C
4.【答案】A
【详解】以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,PA1=510,PA2=310,PA3=210,PB|A1=110,PB|A2=115,PB|A3=120;则由全概率公式,所求概率为PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=510×110+310×115+210×120=0.08.
5．【答案】D
【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成样本空间的一个划分．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P(B)＝eq \(∑,\s\up8(4),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
6．【答案】AD
【详解】，而，，故A不成立；
，∴当时，B成立；当相互独立时，，故C可能成立；，故D不成立.故选：AD.
二、填空题
7．【答案】0.75
【详解】因为P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，所以P(AB)＝0.3.所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.3,0.4)＝0.75.
8. 【答案】15 15
【详解】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai ,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2∩(A1∪A1)]
=P(A2∩A1)+P(A2∩A1)=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,
P(A3)=P[A3∩(A1A2+A1A2+A1A2+A1 A2)] =P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=45×34×13=15.
9．【答案】···
【详解】设Ri(i=1，2，3，4)表示第i次取到红球的事件，(i=1，2，3，4)表示第i次取到白球的事件.则有P(R1R2 )=P(R1)P(R2)P()·P(R1R2)
=···.
10.【答案】
【详解】以表示事件“收到的字符是”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，根据题意有：
，，，，
，；
根据贝叶斯公式可得：
.
三、解答题
11． 【详解】设A表示第一次取得白球， B表示第二次取得白球，则AB表示第一、第二次都取得白球，eq \(A,\s\up6(－))B表示第一次取得黑球，第二次取得白球，且P(B|A)＝eq \f(5,9)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3). (1)P(A)＝eq \f(6,10)＝0.6.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(6,10)×eq \f(5,9)＝eq \f(1,3).
(3)P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(4,10)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,15).
12．【详解】设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
B提高练
一、选择题
1．【答案】A
【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.
2．【答案】B
【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，由全概率公式可得.
3．【答案】B
【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝eq \(∑,\s\up8(3),\s\d6(k＝1))P(Bk)P(A|Bk)＝eq \f(1,2)·eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,9))＋eq \f(1,5)·eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,9))＋eq \f(3,10)·eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,9))＝eq \f(8,36). P(B1|A)＝eq \f(PB1PA|B1,PA)＝eq \f(\f(1,2)·\f(C\\al(2,4),C\\al(2,9)),PA)＝eq \f(3,36)÷eq \f(8,36)＝eq \f(3,8).故选B.
4. 【答案】A
【详解】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得,
P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)= C9910C10010=0.9,P(A2)=0.4,
P(B|A2)= C9810C10010 ≈0.809,P(A3)=0.2,P(B|A3)= C9710C10010 ≈0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)= C9610C10010≈0.652.
由全概率公式,得P(B)=∑i=04P(Ai)P(BAi)=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
5. 【答案】A
【详解】选A.设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A1,A2,A3是样本空间Ω中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,
P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+
P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
由贝叶斯公式得P(A1|B)=0.45×≈0.514,
P(A2|B)=0.35×≈0.200,P(A3|B)=0.20×≈0.286,
所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.
6．【答案】ABC
【详解】P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,
由全概率公式得P(S)=∑i=13P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.
由贝叶斯公式得:P(D1|S)=P(D1)P(S|D1)P(S)=0.02×,
P(D2|S)=P(D2)P(S|D2)P(S)=0.05×,P(D3|S)=P(D3)P(S|D3)P(S)=0.005×
二、填空题
7．【答案】0.4
【详解】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.
8．【答案】eq \f(1,30)
【详解】设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝eq \f(4,10)×eq \f(3,9)×eq \f(2,8)＝eq \f(1,30).
9．【答案】0.4825
【详解】用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95.5%， P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%， P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5， P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1， P(B|A4)＝0.05，
所以
10．【答案】0.087
【详解】由题设，有P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝0.995，P(A|eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))|eq \(C,\s\up6(－)))＝0.05，
由贝叶斯公式，得P(C|A)＝eq \f(PA|CPC,PA|CPC＋PA|\(C,\s\up6(－))P\(C,\s\up6(－)))≈0.087.
三、解答题
11．【解析】设Ai＝{第i次取正品}，i＝1,2.
(1)两只都是正品，则
P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(8,10)×eq \f(7,9)＝eq \f(28,45).
(2)两只都是次品，则
P(eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(2,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,45).
(3)一只是正品，一只是次品，则
P(A1eq \(A,\s\up6(－))2＋eq \(A,\s\up6(－))1A2)＝P(A1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(A2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(8,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(2,10)×eq \f(8,9)＝eq \f(16,45).
(4)第二次取出的是次品，则
P(eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(A1eq \(A,\s\up6(－))2＋eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(A1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(8,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(2,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,5).
12．【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,
PD1=7 75020 000=0.387 5,PD2=5 25020 000=0.262 5,
PD3=7 00020 000=0.35,PA|D1=7 5007 750≈0.967 7,
PA|D2=4 2005 250=0.8,PA|D3=3 5007 500=0.5,
所以PA=PD1PA|D1+PD2PA|D2+PD3PA|D3
=0.387 5×0.967 7+0.262 5×0.8+0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式可得,
PD1|A=PA|D1PD1PA=0.387 5×0.967 70.76≈0.493 4,
PD2|A=PA|D2PD2PA=0.262 5×≈0.276 3,
PD3|A=PA|D3PD3PA=0.35×≈0.230 3.
从而推测病人患有疾病d1较为合适.
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
一批产品中的次品数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
疾病
人数
出现S中一个或几个症状人数
d1
7 750
7 500
d2
5 250
4 200
d3
7 000
3 500
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