高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用同步达标检测题，共18页。试卷主要包含了15，则表中的值为，4万亿吨，5吨等内容，欢迎下载使用。


A基础练
一、选择题
1．某同学为了解气温对热饮销售的影响，经过统计分析，得到了一个卖出的热饮杯数与当天气温的回归方程.下列选项正确的是（ ）
A．与线性正相关B．与线性负相关
C．随增大而增大D．随减小而减小
2．下列描述中正确命题的个数为（ ）
（1）最小二乘法的原理是使得最小
（2）样本相关系数越大，相关程度越大
（3）设有一个回归方程，变量增加一个单位时，减少个单位
A．B．C．D．
3．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．2020年春季.新冠肺炎疫情在全球范围内相维爆发.因为政治制度、文化背景等因素的不同.各个国家疫情防控的效果具有明显差异.右图是西方某国在天内感染新冠肺炎的累计病例人数（万人）与时间（天）的散点图.则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选题）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高（单位：）与父母平均身高（单位：）具有线性相关关系，通过样本数据，求得回归直线方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．回归直线方程至少过，中的一个点
B．若，，则回归直线过点
C．若父母平均身高增加，则儿子身高估计增加
D．若样本数据所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数
6．（多选题）在用最小二乘法进行线性回归分析时，下列说法中正确的是（ ）
A.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心；
B.由样本点，，…，得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；
C.利用来刻画回归的效果，比的模型回归效果好；
D.残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低；
二、填空题
7．上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为________．
8．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点 都在曲线附近波动．经计算，则实数的值为________．
9．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为________．
10．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
给出散点图如下：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为________．
三、解答题
11．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x（单位：亿元）与该地区粮食产量y（单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：
（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；
（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.
参考公式：，.
12．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，，，，.
（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求关于的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
B提高练
一、选择题
1．某种碘是一种放射性物质，该碘最初一段时间衰减的时间（单位：分钟）与剩余量（单位：克）存在着较强的线性相关关系．如表是某校化学社团师生观测该碘在5天内衰减情况得出的一组数据，则对的线性回归方程可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图象附近，设，将其变换后得到线性方程，则（ ）
A．B．C．D．
3.对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：
根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为－0.15，则表中的值为（ ）
A．3.3B．4.5C．5D．5.5
4．某网店经销某商品，为了解该商品的月销量(单位：千件)与售价(单位：元/件)之间的关系，收集组数据进行了初步处理，得到如下数表：
根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ）
A．，具有负相关关系，相关系数
B．每增加一个单位，平均减少个单位
C．第二个样本点对应的残差
D．第三个样本点对应的残差
5．（多选题）某种产品的价格x(单位：元/)与需求量y(单位：)之间的对应数据如下表所示：
根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ）
A．相关系数
B．
C．若该产品价格为35元，则日需求量大约为
D．第四个样本点对应的残差为
6．（多选题）年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)
根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（ ）
A．当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系
B．由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米
C．曲线与都经过点
D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好
二、填空题
7．下面是两个变量的一组数据：
这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________．
8．已知一组数据点，，，…，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，…的均值为，则可以估计数据，，，…的均值为______．
9．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制订节能减排的目标，调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：
由表中数据得回归直线方程为，则由此估计当某天气温为2℃时，当天用电量为________千瓦·时
10．已知具有相关关系的两个随机变量的一组数据的散点图如图所示，可以用来拟合，设，将其变换后得到线性回归方程，若，则__________．
三、解答题
11．随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；
（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；
（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
参考公式；线性回归方程，其中
12．中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是）．
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即）就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画．
①令，求出关于的线性回归方程；
②利用①的结论，求出中的与．
（2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：．参考公式：．
同步练习答案
A基础练
一、选择题
1．【答案】B
【详解】由回归方程，可得：与线性负相关，且随增大而减小.
2．【答案】B
【详解】对于（1），最小二乘法是使得样本数据点到回归直线的距离的评分和最小的方法，即使得最小，故正确；对于（2），相关系数为负数时，样本相关系数越大，相关程度越小，故错误；对于（3），变量增加一个单位时，平均减少个单位，故错误；
所以正确的命题个数为1个.故选：B
3．【答案】C
【详解】
从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在轴上的截距为负则，，故选：C
4．【答案】C
【详解】根据散点图，可以看出，三点大致分布在一条“指数”函数曲线附近，
选项A对应的“直线型”的拟合函数；选项B对应的“幂函数型”的拟合函数；选项D对应的“对数型”的拟合函数；故选：C
5．【答案】BCD
【详解】对于A选项，回归直线方程，不一定经过，中的一个点，故A选项正确.对于B选项，回归直线方程过样本中心点，故B选项正确.对于C选项，由于，所以若父母平均身高增加，则儿子身高估计增加，故C选项正确.
对于C选项，若样本数据所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数，正确.故选：BCD
6．【答案】AC
【详解】线性回归直线必过样本点的中心，而样本点未必在回归直线上，即A正确，B错误；
相关指数越大，拟合效果越好，C正确；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，D错误.
二、填空题
7．【答案】40
【详解】由表中数据，计算可得，，
因为回归直线方程过样本中心点，所以有，解得.
8．【答案】
【详解】令，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即，
此时，代入，可得，解得.
9．【答案】
【详解】令，则，
，，
所以，所以，
当时，，所以残差为.
10．【答案】1
【详解】由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；
若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.
三、解答题
11．【详解】
解：（1）由表中所给数据可得，
，
，
代入公式，解得，
所以.
故所求的y关于x的线性回归直线方程为.
（2）由题意，将代入回归方程，可得，.
所以预测2019年该地区的粮食产量大约为19.4万亿吨.
12．【详解】
（1）由题意知，相关系数.
因为与的相关系数接近1，
所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，，
，
所以.
当时，，
所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨.
B提高练
一、选择题
1．【答案】B
【详解】根据题意数据分析得到：该碘最初一段时间衰减的时间与剩余量存在着较强的负线性相关关系，假设回归方程为,由选项得到，又，，所以，故对的线性回归方程为：.
2．【答案】B
【详解】因，则，于是有 ，所以.故选：B
3.【答案】B
【详解】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则，即，
解得，即，又，且线性方程过样本中心点（，），
则，则，解得.故答案为：B
4．【答案】D
【详解】对于A选项：由相关系数绝对值的不超过1，A不正确；对于B选项：由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B不正确；对于C选项：第二个样本点对应的残差，C不正确；对于D选项：第三个样本点对应的残差，D正确.故选：D
5．【答案】BCD
【详解】解： 对A、B：由表中的数据，，，
将，代入得，所以A选项错误，B选项正确；
对C：由题意代入得，所以日需求量大约为，
所以C选项正确；对D：第四个样本点对应的残差为，所以D选项正确；故选：BCD.
6．【答案】BD
【详解】对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A不正确；对于B，令，由，
所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B正确；
对于C，非线性回归曲线不一定经过 ，故C错误；
对于D，越大，拟合效果越好，由，故D正确.故选：BD
二、填空题
7．【答案】4；
【详解】设变量中缺失的数据为，则，
，因为这两个变量之间的线性回归方程为，所以，解得.
8．【答案】2
【详解】因为回归方程为，且数据，，，…，的均值为，即，
把，代入回归直线方程，可得，所以可以估计数据，，，…，的均值为．
9．【答案】
【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，
将点代入回归直线方程，求得，
所以回归直线方程为，当时，代入求得．
10．【答案】
【详解】，因为变换后得到线性回归方程，所以有，又，所以，因此，
故答案为：
三、解答题
11．【详解】
（1）由题意得，
所以．
（2）由（1）知，，
所以当或时能获得总利润最大．
12．【答案】（1）①；②，；（2）泡制后饮用，口感最佳．
【解】（1）①由已知得出与的关系，如下表：
设线性回归方程，
由题意，得，
，
，
，
则，，
则关于的线性回归方程为；
②由，得，
两边取对数得，，
利用①的结论得：，
，；
（3）由（1）得，，
令，得．
∴该品种绿茶用的水泡制后饮用，口感最佳．3
4
5
6
7
8
-3.0
-2.0
0.5
-0.5
2.5
4.0
(克)
2
4
5
6
8
(%)
30
50
70
60
第天
1
2
3
4
5
使用人数()
15
173
457
842
1333
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
年份
2014
2015
2016
2017
2018
补贴额x/亿元
9
10
12
11
8
粮食产量y/万亿
25
26
31
37
21
（单位：分钟）
10
20
30
40
50
（单位：克）
22.5
19
17.5
15
11
3
4
5
6
2.5
3
4
x
10
15
20
25
30
y
11
10
8
6
5
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9
16
25
36
49
64
（单位：℃）
17
14
10
（单位：千瓦·时）
24
34
38
64
泡制时间
0
1
2
3
4
水温
85
79
74
71
65
4.2
4.1
4.0
3.9
3.8
1
4
9
16
25
使用人数()
15
173
457
842
1333
泡制时间
0
1
2
3
4
4.2
4.1
4.0
3.9
3.8