2024中考数学几何压轴专题训练-专题04四边形之翻折变换问题（含解析）

这是一份2024中考数学几何压轴专题训练-专题04四边形之翻折变换问题（含解析），共28页。
专题04 四边形之翻折变换问题
训练题01【2023·吉林长春·中考真题】
如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

训练题02【2023·江苏无锡·中考真题】
如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
训练题03【2023·四川达州·中考真题】
（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；

（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+53EF的值．
训练题04【2023·河南洛阳·统考三模】
如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别在，，且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为 ．

训练题05【2023·江苏无锡·天一校考模拟】
如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是 ，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM=2∠ADG时，AP的长是 ．
训练题06【2022·贵州毕节·中考真题】
矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
训练题07【2022·内蒙古赤峰·中考真题】
同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
训练题08【2022·广东深圳·龙岗区校考一模】
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF·FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC的值．
训练题09【2021·湖南湘潭·中考真题】
如图，矩形ABCD中为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB=3，求折痕AE的长度
训练题10【2020·广西贵港·中考真题】
已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；
（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．
①求证：四边形是平行四边形：
②当时，求四边形的面积．
题型训练
答案&解析
训练题01【2023·吉林长春·中考真题】
【答案】
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
故答案为：．
训练题02【2023·江苏无锡·中考真题】
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接、，根据菱形的性质以及已知条件可得为等边三角形，根据，可得为等腰直角三角形，则，，根据翻折的性质，可得，，则，；同理，，；进而根据，即可求解；
（2）等积法求得，则，根据三角形的面积公式可得，证明，根据相似三角形的性质，得出，根据即可求解．
【详解】（1）如图，连接、，

四边形为菱形，
，，
为等边三角形．
为中点，
，，
，．
，
为等腰直角三角形，
，，
翻折，
，，
，；.
同理，
，，
∴；
（2）如图，连接、，延长交于点．

，，，
．
∵
，
，
．
，则，
，
，
．
∵，
．
训练题03【2023·四川达州·中考真题】
【答案】（1）54； （2）5； （3）253
【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得A'B=2，设AE=A'E=x则BE=AB-AE=6-x，Rt△A'BE中利用勾股定理求得x=103，则AE=103，BE=6-103=83，进而求解即可；
（2）由矩形的性质和翻折性质得到∠EB'C=∠B'DA'，证明△EB'C∽△B'DA'，利用相似三角形的性质求得B'C=4，则B'D=10，在Rt△A'B'D中，利用勾股定理求得A'D=8，
进而求得BC=8，CE=3可求解；
（3）证明△AEF∽△ADC得到CD=53EF，则BD+53EF=BD+CD=BC；设EF=3k，CD=5k，过点D作DH⊥AC于H，证明△CHD≌△FHDASA得到DF=CD=5k，在Rt△EFD中，由勾股定理解得k=1，进而可求得AC=55，在图③中，过B作BG⊥AC于G，证明∠CBG=∠CDH=∠DAC，则sin∠CBG=sin∠DAC=55，cs∠CBG=cs∠DAC=255，再证明AG=BG，在Rt△BCG中利用锐角三角函数和AG+CG=BG+CG=AC求得BC即可求解．
【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠B=∠C=90°，
由翻折性质得A'D=AD=10，AE=A'E，
在Rt△A'CD中，A'C=A'D2-CD2=102-62=8，
∴A'B=BC-A'C=2，
设AE=A'E=x，则BE=AB-AE=6-x，
在Rt△A'BE中，由勾股定理得BE2+A'B2=A'E2，
∴6-x2+22=x2，解得x=103，
∴AE=103，BE=6-103=83，
∴AEEB=10383=54；
（2）如图②，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，AD=BC，∠A=∠B=∠BCD=90°，
由翻折性质得，A'B'=AB=6，A'D=AD，∠DA'B'=∠A'B'E=∠BCD=∠90°，
∴∠EB'C+∠A'B'D=90°=∠A'B'D+∠B'DA'
∴∠EB'C=∠B'DA'，
∴△EB'C∽△B'DA'，
∴CEA'B'=B'CA'D，即CE6=B'CBC，又BC⋅CE=24，
∴B'C=BC⋅CE6=246=4，
∴B'D=B'C+CD=10，
在Rt△A'B'D中，A'D=B'D2-A'B'2=8，
∴BC=AD=A'D=8，则CE=3，
∴BE=BC-CE=8-3=5；
（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ADC，
∵AD=10,AE=6，
∴EFCD=AEAD=610=35，
∴CD=53EF，则BD+53EF=BD+CD=BC；
设EF=3k，CD=5k，
过点D作DH⊥AC于H，如图③，则∠CHD=∠ADC=90°，
∴∠CDH=∠DAC=90°-∠C；

∵EF∥BC，
∴∠CDF=∠DFE=2∠DAC=2∠CDH，
∴∠CDH=∠FDH，
又∵DH=DH，∠CHD=∠FHD=90°，
∴△CHD≌△FHDASA，
∴DF=CD=5k，
在Rt△EFD中，由勾股定理得EF2+DE2=DF2，
∴3k2+42=5k2，解得k=1，
∴EF=3，DF=CD=5，
在Rt△ADC中，AC=AD2+CD2=102+52=55，
在图③中，过B作BG⊥AC于G，则∠BGA=∠BGC=∠CHD=90°，
∴BG∥DH，
∴∠CBG=∠CDH=∠DAC，
∴sin∠CBG=sin∠DAC=CDAC=555=55，cs∠CBG=cs∠DAC=ADAC=1055=255，
∵∠BAC=45°，∠AGB=90°，
∴∠ABG=90°-∠BAC=45°=∠BAC，则AG=BG，
在Rt△BCG中， BG=BC⋅cs∠CBG=255BC，CG=BC⋅sin∠CBG=55BC，
∵AG+CG=BG+CG=AC，
∴255BC+55BC=55，则BC=253，
∴BD+53EF=BC=253．

训练题04【2023·河南洛阳·统考三模】
【答案】或
【分析】根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可．
【详解】解：①当时，，
将矩形纸片折叠，折痕为，
，，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
过点作于点，如图所示：

则，
设，则，
，
，
，即，解得或（舍去），
；
②当时，，
，
，
，
，
，
，
，，解得或（舍去），
；
故答案为：或．
训练题05【2023·江苏无锡·天一校考模拟】
【答案】 00 25-521/-521+25
【分析】根据勾股定理求出CM=BM2-BC2=102-82=6，得出DM=10-6=4，证明∠BMC=∠MPD，得出△PDM∽△MCB，根据相似三角形的性质得出PDCM=DMBC，即PD6=48，求出AP=8-3=5，即可得出0