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    重难点专题36+圆锥曲线定点问题十二大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破(新高考通用)

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    重难点专题36+圆锥曲线定点问题十二大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破(新高考通用)

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    这是一份重难点专题36+圆锥曲线定点问题十二大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破(新高考通用),文件包含重难点专题36圆锥曲线定点问题十二大题型汇总原卷版docx、重难点专题36圆锥曲线定点问题十二大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共170页, 欢迎下载使用。
    TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151500048" 题型1直线过定点之y=kx+m型 PAGEREF _Tc151500048 \h 1
    \l "_Tc151500049" 题型2直线过定点之x=ty+m型 PAGEREF _Tc151500049 \h 3
    \l "_Tc151500050" 题型3直线过定点之求直线方程型 PAGEREF _Tc151500050 \h 4
    \l "_Tc151500051" 题型4特殊到一般法 PAGEREF _Tc151500051 \h 6
    \l "_Tc151500052" 题型5斜率和问题 PAGEREF _Tc151500052 \h 8
    \l "_Tc151500053" 题型6斜率积问题 PAGEREF _Tc151500053 \h 10
    \l "_Tc151500054" 题型7斜率比值问题 PAGEREF _Tc151500054 \h 11
    \l "_Tc151500055" 题型8多斜率问题 PAGEREF _Tc151500055 \h 13
    \l "_Tc151500056" 题型9与角度有关的定点问题 PAGEREF _Tc151500056 \h 15
    \l "_Tc151500057" 题型10直线过定点之类比法 PAGEREF _Tc151500057 \h 17
    \l "_Tc151500058" 题型11定点与恒成立问题 PAGEREF _Tc151500058 \h 18
    \l "_Tc151500059" 题型12圆过定点问题 PAGEREF _Tc151500059 \h 20
    题型1直线过定点之y=kx+m型
    【例题1】(2021·贵州贵阳·高三校联考开学考试)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1-3,0,且C经过点P3,12.
    (1)求C的方程;
    (2)设C与y轴正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与C交于A、B两点(l不经过D点),且AD⊥BD.证明:直线l经过定点,并求出该定点的坐标.
    【变式1-1】1. (2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校考期末)已知动点Mx,y到定点N3,0的距离与M到定直线:x=433的距离之比为32,记点M的轨迹为曲线C.
    (1)求曲线C的方程;
    (2)已知曲线C与y轴的正半轴交于点A,不与x轴垂直的直线l交曲线C于E,F两点(E,F异于点A),直线AE,AF分别与x轴交于P,Q两点,若P,Q的横坐标的乘积为43,则直线l是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
    【变式1-1】2. (2023上·广西玉林·高三校联考开学考试)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1-2,0,且点6,1在椭圆E上.
    (1)求椭圆E的标准方程;
    (2)椭圆E的上、下顶点分别为M,N,点Pn,4n∈R,n≠0,若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S,T,证明:直线ST过定点,并求该定点坐标.
    【变式1-1】3. (2023上·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习)在直角坐标平面内,已知A-2,0,B2,0,动点P满足条件:直线PA与直线PB斜率之积等于-12,记动点P的轨迹为E.
    (1)求E的方程;
    (2)过直线l:x=4上任意一点Q作直线QA与QB,分别交E于M,N两点,则直线MN是否过定点?若是,求出该点坐标;若不是,说明理由.
    【变式1-1】4. (2023上·河北张家口·高三统考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点A-2,1,且离心率e=22.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)过点A作与y=tx2tb>0)的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,且满足F1F2=2AF1,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)若P是椭圆上的任意一点,求PF1⋅PA的取值范围;
    (3)已知直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的端点),AH⊥MN,垂足为H且AH2=MH⋅HN,求证:直线l恒过定点.
    【变式2-1】2. (2022·辽宁沈阳·二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2,且经过点P1,32.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk≠0的动直线l与椭圆交于A、B两点,试问x轴上是否存在异于点F的定点T,使AF⋅BT=BF⋅AT恒成立?若存在,求出T点坐标,若不存在,说明理由.
    【变式2-1】3. (2023上·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),离心率为32.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)M为椭圆C的左顶点,直线l与椭圆C交于A,B两点,若MA⊥MB,求证:直线AB过定点.
    【变式2-1】4. (2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F1,0,设O为坐标原点,线段OA的中点为D,且满足BD=DF.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)设点T2,tt∈R,圆T过O且交直线x=2于M,N两点,直线AM,AN分别交C于另一点P,Q(异于点A).证明:直线PQ过定点,并求出该定点的坐标.
    题型3直线过定点之求直线方程型
    【例题3】(2020下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点F,半焦距c=2,点F到直线x=a2c的距离为12,过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.
    (1)求双曲线C的标准方程;
    (2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点的坐标.
    【变式3-1】1. (2020上·安徽·高三校联考阶段练习)在△PAB中,已知A-2,0、B2,0,直线PA与PB的斜率之积为-34,记动点P的轨迹为曲线C.
    (1)求曲线C的方程;
    (2)设Q为曲线C上一点,直线AP与BQ交点的横坐标为4,求证:直线PQ过定点.
    【变式3-1】2. (2023·江西景德镇·统考三模)设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A、B,且焦距为2.点P在椭圆上且异于A、B两点.若直线PA与PB的斜率之积为-34.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)过点F-1,0作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点,直线m的方程为:x=-2a,过点M作ME垂直于直线m,交m于点E.判断直线EN是否过定点,并说明理由.
    【变式3-1】3. (2023上·江苏连云港·高三校联考阶段练习)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5,点A1,A2为C的左,右顶点.P为直线x=1上的动点,PA1与C的另一个交点为M,PA2与C的另一个交点为N.
    (1)求C的方程;
    (2)证明:直线MN过定点.
    【变式3-1】4. (2020·全国·校联考二模)在平面直角坐标系xOy中,M为直线y=x-2上一动点,过点M作抛物线C:x2=y的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,N为AB的中点.
    (1)证明:MN⊥x轴.
    (2)直线AB是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
    【变式3-1】5.(2023上·江西萍乡·高三统考期末)已知椭圆E的中心在原点,周长为8的△ABC的顶点,A-3,0为椭圆E的左焦点,顶点B,C在E上,且边BC过E的右焦点.
    (1)求椭圆E的标准方程;
    (2)椭圆E的上、下顶点分别为M,N,点Pm,2m∈R,m≠0,若直线PM ,PN 与椭圆E的另一个交点分别为点S,T,证明:直线ST过定点,并求该定点坐标.
    题型4特殊到一般法
    【例题4】(2023上·山东·高三校联考开学考试)如图,已知点T13,-5和点T2-5,21在双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上,双曲线C的左顶点为A,过点La2,0且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P,Q两点,直线AP,AQ与圆O:x2+y2=a2分别交于M,N两点.

    (1)求双曲线C的标准方程;
    (2)设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值;
    (3)证明:直线MN过定点.
    【变式4-1】1. (2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P-2,4,PF=5,过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为12的直线与抛物线的另一个交点为点C.
    (1)求抛物线E的标准方程;
    (2)求证:直线BC过定点.
    【变式4-1】2. (2023·河北·统考模拟预测)已知直线l:x=12与点F2,0,过直线l上的一动点Q作直线PQ⊥l,且点P满足PF+2PQ⋅PF-2PQ=0.
    (1)求点P的轨迹C的方程;
    (2)过点F作直线与C交于A,B两点,设M-1,0,直线AM与直线l相交于点N.试问:直线BN是否经过x轴上一定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
    【变式4-1】3. (2023·全国·高三专题练习)动点P到定点F1,0的距离比它到直线x=-2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M,N两点.
    (1)求曲线C的标准方程;
    (2)若点M关于x轴的对称点为A,探究直线AN是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
    【变式4-1】4. (2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆W:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,椭圆W上的点与点P0,2的距离的最大值为4.
    (1)求椭圆W的标准方程;
    (2)点B在直线x=4上,点B关于x轴的对称点为B1,直线PB,PB1分别交椭圆W于C,D两点(不同于P点).求证:直线CD过定点.
    【变式4-1】5.(2023·全国·模拟预测)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P-2,23为双曲线C上的点,且△PF1F2的面积为215.
    (1)求双曲线C的标准方程.
    (2)设原点O到直线l的距离为233,直线l交双曲线C于A,B两点,试问:以线段AB为直径的圆是否经过一个定点?若经过,求出该定点;若不经过,请说明理由.
    题型5斜率和问题
    【例题5】(2020下·山西运城·高三统考阶段练习)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,右焦点为F2c,0,点P在椭圆上运动,且PF2的最大值为2+3.
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)过A0,1作斜率分别为k1,k2的两条直线分别交椭圆于点M,N,且k1+k2=4,证明:直线MN恒过定点.
    【变式5-1】1. (2023·山西吕梁·统考二模)已知抛物线C:y2=2px过点A2,4.
    (1)求抛物线C的方程;
    (2)P,Q是抛物线C上的两个动点,直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4,证明:直线PQ恒过定点.
    【变式5-1】2. (2023上·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心为C的动圆过点(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,记C的轨迹为曲线E.
    (1)求E的方程;
    (2)已知A(1,2)及曲线E上的两点B和D,直线AB,AD的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=1,求证:直线BD经过定点.
    【变式5-1】3. (2023·河北张家口·统考三模)已知点P4,3为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,E的左焦点F1到一条渐近线的距离为3.
    (1)求双曲线E的标准方程;
    (2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点,若直线PA,PB的斜率和为1,证明:直线y=kx+t过定点,并求该定点的坐标.
    【变式5-1】4. (2023下·湖南岳阳·高三统考期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a∈N,四点P11,1,P21,0,P32,3,P42,-3中恰有三点在双曲线C上.
    (1)求C的方程;
    (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1.证明:l过定点.
    题型6斜率积问题
    【例题6】(2020·北京·海淀实验中学校考三模)已知点M为椭圆C:3x2+4y2=12的右顶点,点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于点M),且满足直线MA 与直线MB斜率之积为14.
    (1)求椭圆C的离心率及焦点坐标;
    (2)试判断直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若否,说明理由.
    【变式6-1】1. (2020下·山西运城·高三统考阶段练习)抛物线E:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l过抛物线的准线与x轴的交点.
    (1)试判断直线l与抛物线E的位置关系,并加以证明;
    (2)若p=2,过A1,2分别作斜率为k1,k2的两条直线l1,l2,分别交抛物线于点M,N两点,且k1⋅k2=8,证明:直线MN恒过定点,并求出定点的坐标.
    【变式6-1】2. (2024上·山东临沂·高三校联考开学考试)已知抛物线E:y2=2pxp>0,P4,y0为E上位于第一象限的一点,点P到E的准线的距离为5.
    (1)求E的标准方程;
    (2)设O为坐标原点,F为E的焦点,A,B为E上异于P的两点,且直线PA与PB斜率乘积为-4.
    (i)证明:直线AB过定点;
    (ii)求FA⋅FB的最小值.
    【变式6-1】3. (2023上·陕西西安·高三校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为M2,0,离心率为22.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)不经过点M的直线l与C交于A,B两点,且直线MA和MB的斜率之积为1,证明:直线l过定点.
    【变式6-1】4. (2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O坐标原点,A2,0,B0,1,C0,-1,D2,1,OE=λOA,DF=λDA,0b>0)的左右焦点分别为F1、F2,离心率e=32,A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点,且|A1A2|=4.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)若O为坐标原点,过F2的直线l与椭圆C交于A、B两点,求△OAB面积的最大值;
    (3)若椭圆上另有一点M,使得直线MA1与A2B斜率k1、k2满足k2=2k1,请分析直线BM是否恒过定点.
    【变式7-1】1. (2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知点A-2,0,B2,0,动点Mx,y满足直线AM与BM的斜率之积为-14.记动点M的轨迹为曲线C.
    (1)求曲线C的方程,并说明C是什么曲线;
    (2)设P,Q为曲线C上的两动点,直线AP的斜率为kAP,直线BQ的斜率为kBQ,且kAP=7kBQ.
    ①求证:直线PQ恒过一定点;
    ②设△PQB的面积为S,求S的最大值.
    【变式7-1】2. (2023·云南·校联考模拟预测)已知圆C:x+52+y2=4,定点D5,0,如图所示,圆C上某一点D1恰好与点D关于直线PQ对称,设直线PQ与直线D1C的交点为T.

    (1)求证:TC-TD为定值,并求出点T的轨迹E方程;
    (2)设A-1,0,M为曲线E上一点,N为圆x2+y2=1上一点(M,N均不在x轴上).直线AM,AN的斜率分别记为k1,k2,且k1=-4k2.求证:直线MN过定点,并求出此定点的坐标.
    【变式7-1】3. (2023·内蒙古赤峰·统考二模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12,其左、右顶点分别为A,B,左右焦点为F1,F2,点P为椭圆上异于A,B的动点,且△PF1F2的面积最大值为3.
    (1)求椭圆E的方程及kPA⋅kPB的值;(kPA、kPB分别指直线PA、PB的斜率)
    (2)设动直线l交椭圆E于M,N两点,记直线AM的斜率为k1,直线BN的斜率为k2,且k1=13k2.
    ①求证:直线MN过定点;
    ②设△AMN、△BMN的面积分别为S1,S2,求S1-S2的取值范围.
    【变式7-1】4. (2023·贵州黔西·校考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率是5,点P(3,-42)在双曲线C上.
    (1)求双曲线C的方程;
    (2)设A-1,0,M为C上一点,N为圆x2+y2=1上一点(M,N 均不在x轴上).直线AM,AN的斜率分别记为k1,k2,且4k2+k1=0,判断:直线MN是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
    题型8多斜率问题
    【例题8】(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,已知两定点A-4,0,B4,0,M是平面内一动点,自M作MN垂直于AB,垂足N介于A和B之间,且2MN2=AN⋅NB.
    (1)求动点M的轨迹Γ;
    (2)设过P0,1的直线交曲线Γ于C,D两点,Q为平面上一动点,直线QC,QD,QP的斜率分别为k1,k2,k0,且满足1k1+1k2=2k0.问:动点Q是否在某一定直线上?若在,求出该定直线的方程;若不在,请说明理由.
    【变式8-1】1. (2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(-2,1),P2(0,2),P3(2,1),P4(3,1)中恰有三点在椭圆C上.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)椭圆C上是否存在异于P2的两点M,N使得直线P2M与P2N的斜率之和与直线MN的斜率(不为零)的2倍互为相反数?若存在,请判断直线MN是否过定点;若不存在,请说明理由.
    【变式8-1】2. (2023·湖北武汉·统考三模)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1的一条渐近线为y=-12x,椭圆C2:x2a2+y2b2=1的长轴长为4,其中a>b>0.过点P2,1的动直线l1交C1于A,B两点,过点Р的动直线l2交C2于M,N两点.
    (1)求双曲线C1和椭圆C2的方程;
    (2)是否存在定点Q,使得四条直线QA,QB,QM,QN的斜率之和为定值?若存在,求出点Q坐标;若不存在,说明理由.
    【变式8-1】3. (2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左、右顶点分别为A1、A2,上顶点为B,且△A1BF的外接圆半径大小为3.
    (1)求椭圆C方程;
    (2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q位于x轴的两侧),记直线A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜率分别为k1、k2、k3、k4,若k1+k4=53(k2+k3),则直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
    【变式8-1】4.(2023·四川凉山·二模)在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23.
    (1)求动点P的轨迹E的方程;
    (2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0),当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2.探索1k⋅1k1+1k2是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
    【变式8-1】5.(2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A-2,0,B2,0,Px,y是异于A,B的动点,kAP,kBP分别是直线AP,BP的斜率,且满足kAP⋅kBP=-34.
    (1)求动点P的轨迹方程;
    (2)在线段AB上是否存在定点E,使得过点E的直线交P的轨迹于M,N两点,且对直线x=4上任意一点Q,都有直线QM,QE,QN的斜率成等差数列.若存在,求出定点E,若不存在,请说明理由.
    题型9与角度有关的定点问题
    【例题9】(2023·陕西西安·校考三模)在平面直角坐标系xOy中,已知动圆C与圆O1:x2-2x+y2=0内切,且与直线x=-2相切,设动圆圆心C的轨迹为曲线E.
    (1)求E的方程;
    (2)已知P4,y0y0>0是曲线E上一点,A,B是曲线E上异于点P的两个动点,设直线PA、PB的倾斜角分别为α、β,且α+β=3π4,请问:直线AB是否经过定点?若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.
    【变式9-1】1. (2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知双曲线x2-y2=1,过点M1,-1的直线l与该双曲线的左、右两支分别交于点A,B.
    (1)当直线l的斜率为12时,求AB;
    (2)是否存在定点Pt,t-2t≠1,使得∠MPA=∠MPB?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式9-1】2. (2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点,点F-1,0,线段AF的垂直平分线交AC于点P.
    (1)求动点P的轨迹E的方程;
    (2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点,O为坐标原点,点B2,0.问:x轴上是否存在定点T,使得∠MTO=∠NTB恒成立.若存在,请求出点T的坐标,若不存在,请说明理由.
    【变式9-1】3. (2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1-PF2=233b,且双曲线焦距为4.
    (1)求双曲线C的方程;
    (2)如果Q为双曲线C右支上的动点,在x轴负半轴上是否存在定点M使得∠QF2M=2∠QMF2?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
    【变式9-1】4. (2022上·贵州·高二校联考阶段练习)已知焦点在x轴上的椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4,C的右顶点A到右焦点的距离为1.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)如图,已知点P(23,0),直线l与椭圆C交于不同的两点E,F,(E,F两点都在x轴上方),O为坐标原点,且∠APE=∠OPF.证明直线l过定点,并求出该定点坐标.
    【变式9-1】5.(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的虚轴长为2,点M0,1到C的渐近线的距离为32.
    (1)求双曲线C的标准方程.
    (2)若斜率不为零的直线l与C交于A,B两点,y轴恰是∠AMB的平分线,试问:直线l是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
    题型10直线过定点之类比法
    【例题10】(2023上·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为D,离心率为12,经过F1的直线交椭圆于A,B两点,△F2AB的周长为8.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)过直线x=4上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,
    ①证明:直线MN过定点;
    ②求S△DMN的最大值.
    【变式10-1】1. (2023·河南·校联考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,圆x2+y2=4与椭圆C恰有两个公共点.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)已知结论:若点x0,y0为椭圆x2a2+y2b2=1上一点,则椭圆在该点处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.若椭圆C的短轴长小于4,过点T(8,t)作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB过定点.
    【变式10-1】2. (2023上·广东惠州·高三校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点2,4.
    (1)求C的方程;
    (2)若C关于x轴对称,焦点为F,过点4,2且与x轴不垂直的直线l交C于M,N两点,直线MF交C于另一点A,直线NF交C于另一点B,求证:直线AB过定点.
    【变式10-1】3. (2023·福建·校联考模拟预测)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A的坐标为3,-2.已知点P是抛物线C上的动点,PA+PF的最小值为4.
    (1)求抛物线C的方程:
    (2)若直线PA与C交于另一点Q,经过点B3,-6和点Q的直线与C交于另一点T,证明:直线PT过定点.
    【变式10-1】4. (2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆M恒过定点F0,18,圆心M到直线y=-14的距离为d,d=MF+18.
    (1)求M点的轨迹C的方程;
    (2)过直线y=x-1上的动点Q作C的两条切线l1,l2,切点分别为A,B,证明:直线AB恒过定点.
    【变式10-1】5.(2023·贵州·校联考二模)抛物线C1:y2=2pxp>0的焦点到准线的距离等于椭圆C2:x2+16y2=1的短轴长.
    (1)求抛物线C1的方程;
    (2)设D1,t是抛物线C1上位于第一象限的一点,过D作E:x-22+y2=r2(其中00)的离心率是22,点M2,1是椭圆E上一点,过点P0,1的动直线l与椭圆相交于A,B两点.
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)求△AOB面积的最大值;
    (3)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使QAQB=PAPB恒成立?存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式11-1】1. (2024·陕西宝鸡·校考一模)设抛物线C:y2=2pxp>0,直线x-2y+1=0与C交于A,B两点,且AB=415.
    (1)求p;
    (2)若在x轴上存在定点M,使得MA⋅MB=0,求定点M的坐标.
    【变式11-1】2. (2022上·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考期中)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点,M是C上一点,MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N,且直线MN的斜率为312.
    (1)求椭圆C的离心率;
    (2)设A0,1是椭圆C的上顶点,直线l:y=kx+mm≠±1与椭圆C交于两个不同点P、Q,直线AP与x轴交于点S,直线AQ与x轴交于点T.若OS⋅OT=2,求证:直线l经过定点.
    【变式11-1】3. (2022上·四川绵阳·高三盐亭中学校考期中)已知拋物线的顶点在原点,对称轴为 x​轴,且经过点P(1,2)​.
    (1)求抛物线方程;
    (2)若直线 l​与抛物线交于A,B​两点,且满足OA⋅OB=-4​,求证: 直线l​恒过定点,并求出定点坐标.
    【变式11-1】4. (2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12 ,其左、右焦点分别为F1,F2,过点B0,b且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D.
    (1)求证:2F1F2+F2D=0;
    (2)若点D-3,0,过椭圆Γ右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P,Q两点,点M是点P关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得M,Q,N三点共线?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.
    【变式11-1】5.(2022·辽宁沈阳·二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2,且经过点P1,32.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk≠0的动直线l与椭圆交于A、B两点,试问x轴上是否存在异于点F的定点T,使AF⋅BT=BF⋅AT恒成立?若存在,求出T点坐标,若不存在,说明理由.
    题型12圆过定点问题
    【例题12】(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,左顶点的坐标为-2,0,离心率为72.
    (1)求双曲线C的方程;
    (2)A1,A2分别是双曲线的左右顶点,T是双曲线C上异于A1,A2的一个动点,直线TA1,TA2分别于直线x=1交于Q1,Q2两点,问以Q1,Q2为直径的圆是否过定点,若是,求出此定点;若不是,请说明理由.
    【变式12-1】1. (2023上·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习)已知抛物线C:y2=2pxp>0,过焦点的直线l与抛物线C交于两点A,B,当直线l的倾斜角为π6时,AB=16.
    (1)求抛物线C的标准方程和准线方程;
    (2)记O为坐标原点,直线x=-2分别与直线OA,OB交于点M,N,求证:以MN为直径的圆过定点,并求出定点坐标.
    【变式12-1】2. (2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线.
    (1)求椭圆C1的方程;
    (2)过点S0,-13的动直线L交椭圆C1于A,B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式12-1】3. (2023·江西九江·统考一模)已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A,B两点,过线段AB的中点M作直线MN⊥y轴,垂足为N,且PM⊥PN.
    (1)求抛物线E的方程;
    (2)若C为E上异于点A,B的任意一点,且直线AC,BC与直线x=-2交于点D,R,证明:以DR为直径的圆过定点.
    【变式12-1】4.(2021·上海·高三专题练习)如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=12,过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q,试探究:在x轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
    【变式12-1】5.(2023上·浙江·高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,动点Dx,y与定点F2,0的距离和D到定直线x=12的距离的比是常数2,设动点D的轨迹为曲线C.
    (1)求曲线C的方程;
    (2)已知定点Pt,0,0

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