2023-2024学年山东省威海市环翠区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年山东省威海市环翠区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数：23，π+5，3−27， 13，1.010010001，1.7⋅，其中无理数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
2.以下图形中对称轴最多的是( )
A. B. C. D.
3.若a，b，c为△ABC的三条边，且a，b满足(a−4)2+|b−3|=0，第三条边c为整数，则△ABC的周长最小值为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
4.在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且在第四象限，则点A的坐标是( )
A. (1,−3)B. (−1,−3)C. (−3,−1)D. (3,−1)
5.下列运算错误的是( )
A. − 16=−4B. ± 4=±2C. −3−27=−3D. ( 3)2=3
6.已知y与x−2成正比例，且当x=3时y=4，则当x=5时，y=( )
A. −12B. 12C. 16D. −16
7.在下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A−∠B=90∘；③AB：AC：BC=1：3： 10；④(AC+BC)(AC−BC)=AB2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.下列表述，能确定准确位置的是( )
A. 威高广场东而B. 环翠楼北偏西10∘
C. U度影城2号厅一排D. 北纬37∘，东经122∘
9.如图，点B，E、C，F在一条直线上，∠B=∠DEF，∠A=∠D，补充下列条件不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A. AC//DF
B. AC=DF
C. BE=CF
D. AB=DE
10.若等腰三角形有一个角是40∘，则它的底角为( )
A. 40∘B. 70∘C. 40∘或70∘D. 40∘或100∘
11.一次函数图象如图所示，下列说法错误的是( )
A. 解析式为y=−23x+2
B. (−3,3)是图象上的点
C. 该图象y随x的增大而减小
D. x>3时，y<0
12.桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长32厘米，在杯口内壁离杯口距离4厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫在杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面4厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬厘米才能到达蜜糖所在的位置.( )
A. 16
B. 18
C. 20
D. 25
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.已知△ABC≌△DEF，∠A=30∘，∠B=80∘，则∠F=______.
14.如图，若点M和点N坐标分别为(−2,3)，(−1,5)，则点O坐标为______.
15.已知函数y=(a−2)x|a|−1+5是关于x的一次函数，则a=______.
16.如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，△ABC的周长为15，AC=6，则△ABD的周长为______.
17. 7的整数部分是______， 10−1的小数部分是______，10− 7的小数部分是______.
18.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F点作DE//BC分别交AB，AC于点D，点E，过点F作FG⊥AB于点G，下列六个结论：
①若∠A=60∘，则∠BFC=120∘；
②△BDF与△CEF为等腰三角形；
③DE=BD+CE；
④点F到△ABC各边的距离相等；
⑤若△ABC周长为c，FG=a，则△ABC面积为ac2；
⑥若FG=a，AD+AE=b，则S△ADE=12ab.
正确的有______.(填序号)
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(4 10− 10)÷12 10；
(2)| 5−3|+|2− 5|− (−1)2；
(3)8(x−2)2=32；
(4)3x−4=x−4.
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A，B，C各点坐标分别为(−2,5)，(−6,1)，(0,3).
(1)仅用直尺在给出的图形中画出△ABC的重心点O(不写作法)；
(2)画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，直接写出点A′，B′，C′的坐标和△A′B′C′的面积；
(3)判断△A′B′C′的形状，并说明理由.
21.(本小题8分)
如图，在长方形ABCD中，∠A=∠D=∠BCD=90∘，AB=CD，AD=BC，点E是边AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F刚好落在CE上，若AB=4，BC=5.
(1)判断△BCF与△CED是否全等，并说明理由；
(2)求AE的长度.
22.(本小题8分)
结合一次函数的学习经验，探究函数：y=|x−2|+2的图象和性质，请完善下面的研究过程.
(1)自变量x的取值范围为______；
(2)化简函数解析式：
①当x>2时y=______；
②当x=2时，y=______；
③当x<2时，y=______；
(3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(4)若关于x的方程：|x−2|+2=m有两个解，请直接写出m的取值范围是______.
23.(本小题8分)
甲，乙两车从A地驶向B地，乙车比甲车早行驶3h，并且在途中休息了1h，休息前后速度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象.
(1)m=______；
(2)求出乙车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数表达式，并写出相应的x的取值范围；
(3)当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距10km.
24.(本小题8分)
等腰直角三角形既是等腰三角形也是直角三角形，它有很多等腰三角形和直角三角形的性质.如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D是BC边中点，请结合等腰三角形和直角三角形的性质写出△ABC的性质______.(至少两条)
问题解决：
已知，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC.
(1)如图2，点D是BC边中点，点E，F分别为边AB，AC上的点，且∠EDF=90∘，求证：ED=FD；
(2)如图3，点D，A，E三点在同一条直线上，∠D=∠E=90∘，BD=2，CE=1，则DE=______；
(3)如图4.在等腰直角△ADE中，AD=AE，∠DAE=90∘，连接BE，CD交点为F，且分别与AC，AE交于点H，G，判断CD与BE的关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3−27=−3，
π+5， 13是无理数，共2个．
故选：C.
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：矩形有两条对称轴，等腰三角形只有一条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，所以对称轴最多的是选项D.
故选：D.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知：a−4=0，b−3=0，
解得a=4，b=3，
∴1又∵c为整数，
∴当c=2时，
∴△ABC的周长最小值为4+3+2=9.
故选：B.
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值，再计算△ABC的周长即可求解．
本题考查三角形三边关系，非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
4.【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且在第四象限，则点A的坐标是(3,−1)，
故选：D.
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，以及第四象限点的坐标特征(+,−)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握每一象限点的坐标特征是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、− 16=−4，正确，不符合题意；
B、± 4=±2，正确，不符合题意；
C、−3−27=3，原计算错误，符合题意；
D、( 3)2=3，正确，不符合题意．
故选：C.
分别根据二次根式的性质、平方根和立方根的定义解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，平方根和立方根的定义，熟知以上知识是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵y与x−2成正比例，
∴设y=k(x−2)(k≠0).
∵当x=3时，y=4，
∴4=k(3−2)，
解得，k=4，
∴该函数解析式为：y=4(x−2)=4x−8，即y=4x−8，
把x=5代入得，y=4×5−8=12.
故选：B.
根据题意设y=k(x−2)(k≠0).将x=3，y=4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x=5求得即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴2∠C=180∘，
∴∠C=90∘，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A−∠B=90∘，
∴∠A=90∘+∠B，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵AB：AC：BC=1：3： 10，
∴设AB=a，则AC=3a，BC= 10a，
∵AB2+AC2=a2+(3a)2=10a2，BC2=( 10a)2=10a2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵(AC+BC)(AC−BC)=AB2，
∴AC2−BC2=AB2，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形；
所以，上列条件，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个，
故选：C.
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、威高广场东面，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B、环翠楼北偏西10∘，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C、U度影城2号厅一排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
D、北纬37∘，东经122∘，能确定具体位置，故本选项符合题意．
故选：D.
根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵∠B=∠DEF，∠A=∠D，
∴当添加AC//DF时，∠ACB=∠F，不能证明△ABC≌△DEF；
当添加AC=DF时，△ABC≌△DEF(AAS)；
当添加BE=CF时，则BC=EF，△ABC≌△DEF(AAS)；
当添加AB=DE时，△ABC≌△DEF(ASA).
故选：A.
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
10.【答案】C
【解析】解：当40∘的角为等腰三角形的顶角时，底角=12×(180∘−40∘)=70∘；
当40∘的角为等腰三角形的底角时，其底角为40∘，
故它的底角的度数是70∘或40∘.
故选：C.
由于不明确40∘的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40∘的角是顶角和底角两种情况讨论．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40∘的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
11.【答案】B
【解析】解：A.设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
将(3,0)，(0,2)代入y=kx+b得：3k+b=0b=2，
解得：k=−23b=2，
∴一次函数解析式为y=−23x+2，选项A不符合题意；
B.当x=−3时，y=−23×(−3)+2=4，4≠3，
∴点(−3,3)不是图象上的点，选项B符合题意；
C.观察函数图象，可知y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D.观察函数图象，可知当x>3时，y<0，选项D不符合题意．
故选：B.
A.根据函数图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出一次函数解析式；
B.利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点(−3,3)不是图象上的点；
C.观察函数图象，可得出y随x的增大而减小；
D.观察函数图象，可得出当x>3时，y<0.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图所示：最短距离为BA′的长度，将圆柱展开，
BA′= (32÷2)2+(12−4+4)2=20(cm)，
最短路程为BA′=20cm.
故选：C.
由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子上沿的最短距离即可解答．
此题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
13.【答案】70∘
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=30∘，∠B=∠E=80∘，∠C=∠F，
∵∠D+∠E+∠F=180∘，
∴∠F=70∘.
故答案是：70∘.
根据△ABC≌△DEF，从而推出对应角相等求解．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
14.【答案】(1,4)
【解析】解：如图：
建立适当的平面直角坐标系如图所示，
∴点O坐标为(1,4)，
故答案为：(1,4).
根据点M和点N坐标建立正确的平面直角坐标系，即可解答．
本题考查了点的坐标，根据题目的已知条件建立正确的平面直角坐标系是解题的关键．
15.【答案】−2
【解析】解：根据题意得|a|−1=1a−2≠0，
解得a=−2.
故答案为：−2.
根据一次函数的定义得到|a|−1=1a−2≠0，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a的值．
本题考查了一次函数的定义：对于y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，y称为x的一次函数．
16.【答案】9
【解析】解：∵DE是AC边的垂直平分线，
∴DA=DC，
∵△ABC的周长为15，AC=6，
∴AB+BC+6=15，
∴AB+BC=9，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=9.
故答案为：9.
先根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再利用△ABC的周长为15得到AB+BC=9，然后利用等线段代换得到△ABD的周长=AB+BC.
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17.【答案】2 10−33− 7
【解析】解：∵ 4< 7< 9，
∴2< 7<3，
∴ 7的整数部分是2；
∵ 9< 10< 16，
∴3< 10<4，
∴ 10的整数部分是3，
∴ 10−1的整数部分是2，
∴ 10−1的小数部分是： 10−1−2= 10−3；
∵ 4< 7< 9，
∴2< 7<3，
∴−3<− 7<−2，
∴7<10− 7<8，
∴10− 7的整数部分是7，
∴10− 7的小数部分是：10− 7−7=3− 7，
故答案为：2， 10−3，3− 7.
运用算术平方根的知识进行估算、求解．
此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根和该方法．
18.【答案】①②③④⑤⑥
【解析】解：①∵∠A=60∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−∠A=120∘，
∵BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠CBF=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，
∴∠CBF+∠BCF=12(∠ABC+∠ACB)=60∘，
∵∠CBF+∠BCF+∠BFC=180∘，
∴∠BFC=180∘−60∘=120∘，
故结论①正确；
②∵BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBF=∠CBF，∠ECF=∠BCF，
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠BCF，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，
故结论②正确；
③∵∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DF=BD，EF=CE，
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故结论③正确；
④过点F作FH⊥BC于C，FK⊥AC于K，连接AF，如图1所示：

∵FG⊥AB，FH⊥BC，FK⊥AC，BF，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴FH=FG，FH=FK，
∴FH=FG=FK，
即点F到△ABC各边的距离相等；
故结论④正确；
⑤∵FG=a
由结论④正确得：FH=FG=FK=a，
∴S△AFB=12AB⋅FG=12AB⋅a，S△BFC=12BC⋅FH=12BC⋅a，S△ACF=12AC⋅FK=12AC⋅a，
∴S△ABC=S△AFB+S△BFC+S△ACF=12a⋅(AB+BC+AC)，
∵△ABC周长为c，
∴AB+BC+AC=c，
∴S△ABC=12ac，
故结论⑤正确；
⑥∵FG=a
由结论④正确得：FG=FK=a，
∴S△AFD=12AD⋅FG=12AD⋅a，S△AFE=12AE⋅FK=12AE⋅a，
∴S△ADE=S△AFD+S△AFE=12a⋅(AD+AE)，
∵AD+AE=b，
∴S△ADE=12ab，
故结论⑥正确．
综上所述：正确的有①②③④⑤⑥．
①先求出∠ABC+∠ACB=120∘，进而根据角平分线的定义得∠CBF=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，从而得∠CBF+∠BCF=12(∠ABC+∠ACB)=60∘，然后再根据三角形的内角和定理可求出∠BFC的度数，进而可对结论①进行判断；
②先根据角平分线的定义得∠DBF=∠CBF，∠ECF=∠BCF，再根据DE//BC得∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠BCF，进而得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，由此可对结论②进行判断；
③先由∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC得DF=BD，EF=CE，由此可对结论③进行判断；
④过点F作FH⊥BC于C，FK⊥AC于K，连接AF，根据角平分线的性质得FH=FG，FH=FK，由此可对结论④进行判断；
⑤先由结论④正确得FH=FG=FK=a，再分别求出S△AFB=12AB⋅a，S△BFC=12BC⋅a，S△ACF=12AC⋅a，进而得S△ABC=S△AFB+S△BFC+S△ACF=12a⋅(AB+BC+AC)，据此可对结论⑤进行判断；
⑥先由结论④正确得FG=FK=a，再分别求出S△AFD=12AD⋅a，S△AFE=12AE⋅a，进而得S△ADE=S△AFD+S△AFE=12a⋅(AD+AE)，据此可对结论⑥进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等，熟练掌握角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键
19.【答案】解：(1)(4 10− 10)÷12 10
=(4 10− 10)×2 10
=8−20
=−12；
(2)| 5−3|+|2− 5|− (−1)2
=3− 5+ 5−2−1
=0；
(3)8(x−2)2=32，
(x−2)2=4，
x−2=±2，
∴x1=4，x2=0；
(4)3x−4=x−4，
x−4=0或x−4=1或x−4=−1，
∴x=4或x=5或x=3.
【解析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；
(2)根据绝对值的性质、二次根式的性质化简即可；
(3)根据平方根的定义解方程即可；
(4)根据立方根等于它本身的数有0、±1求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，平方根，立方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点O即为所求．
(2)如图，△A′B′C′即为所求．
点A′(−2,−5)，B′(−6,−1)，C′(0,−3).
△A′B′C′的面积为12×(2+4)×6−12×2×2−12×4×4=18−2−8=8.
(3)△A′B′C′为直角三角形．
理由：由勾股定理得，A′B′= 42+42=4 2，A′C′= 22+22=2 2，B′C′= 62+22=2 10，
∴A′B′2+A′C′2=B′C′2，
∴∠B′A′C′=90∘，
∴△A′B′C′为直角三角形．
【解析】(1)画出△ABC的三条中线，交点即为△ABC的重心点O.
(2)根据轴对称的性质作图，即可得点A′，B′，C′的坐标，利用割补法求△A′B′C′的面积即可．
(3)利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论．
本题考查作图-轴对称变换、三角形的重心、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、三角形的重心、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)△BCF与△CED全等，理由如下：
在长方形ABCD中，∠A=∠D=∠BCD=90∘，AB=CD，AD=BC，AD//BC，
∴∠BCF=∠CED，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在四边形内的点F处，
∴∠AFE=∠A=90∘=∠CFB，AB=BF=4，AE=FE，
∴∠CFB=∠D=90∘，BF=CD，
在△BCF和△CED中，
∠CFB=∠D=90∘∠BCF=∠CEDBF=CD，
∴△BCF≌△CED(AAS)；
(2)由(1)知：△BCF≌△CED，
∴CE=CB=5，CF=CD=AB=4，
∴EF=CE−CF=1，
∴AE=EF=1.
【解析】(1)根据矩形的性质证明∠BCF=∠CED，然后利用翻折的性质证明∠CFB=∠D=90∘，BF=CD，进而可以利用AAS证明△BCF≌△CED；
(2)结合(1)得CE=CB=5，CF=CD=AB=4，进而可得AE的长．
本题考查了折叠问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是勾股定理的运用．
22.【答案】任意实数 x2−x+4m>2
【解析】解：(1)当x取任意实数时，函数都有意义，
故答案为：任意实数；
(2)①当x>2时，y=|x−2|+2=x−2+2=x，
故答案为：x；
②当x=2时，y=|x−2|+2=2−2+2=2，
故答案为：2；
③当x<2时，y=|x−2|+2=2−x+2=−x+4，
故答案为：−x+4；
(3)函数图象如图，
(4)若关于x的方程：|x−2|+2=m有两个解，根据(3)中的图象可知：m>2，
故答案为：m>2.
(1)根据函数有意义的条件解答即可；
(2)根据x的取值范围去绝对值即可；
(3)根据(2)中的解析式画出图象即可；
(4)根据(3)中的图象求解即可．
本题考查了含绝对值的函数图象与解析式，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键．
23.【答案】10
【解析】(1)乙车的行驶速度为30÷(4−1)=10(km/h)，
∴m=1×10=10，
故答案为：10；
(2)∵40÷10+1=5(h)，
∴乙车出发后5h到达B地．
当0≤x<1时，设y=k1x(k1为常数，且k1≠0)，
将x=1，y=10代入y=k1x，
得k1=10，
∴y=10x(0≤x<1)；
当1≤x<2时，y=10(1≤x<2)；
当2≤x≤5时，设y=k2x+b1(k2、b1为常数，且k2≠0)，
将x=2，y=10和x=4，y=30代入y=k2x+b1，
得2k2+b1=104k2+b1=30，解得k2=10b1=−10，
∴y=10x−10(2≤x≤5)；
综上，乙车行驶路程y与时间x的函数表达式为y=10x(0≤x<1)10(1≤x<2)10x−10(2≤x≤5).
(3)甲车行驶路程y与时间x的函数表达式：
甲车的行驶速度为30÷(4−3)=30(km/h)，
40÷30+3=133(h)，
∴甲车于乙车出发后133h到达B地．
当0≤x<3时，y=0(0≤x<3)；
当3≤x≤133时，设y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，
将x=3，y=0和x=4，y=30代入y=kx+b，
得3k+b=04k+b=30，解得k=30−90，
∴y=30x−90(3≤x≤133)；
综上，甲车行驶路程y与时间x的函数表达式为y=0(0≤x<3)30x−90(3≤x≤133).
当x≥3时，当两车恰好相距10km时，|30x−90−(10x−10)|=10，
经整理，得|2x−8|=1，即8−2x=1或2x−8=1，
解得x=72或92，
72−3=12(h)，92−3=32(h)，
∴当甲车行驶12h或32h时，两车恰好相距10km.
(1)根据速度=路程÷时间，计算出乙车的行驶速度，m的值就是乙出发后1小时行驶的距离，据此作答即可；
(2)利用待定系数法求解，写成分段函数的形式并标明对应x的取值范围即可；
(3)利用待定系数法求出甲车行驶路程y与时间x的函数表达式，当x≥3时，当两车恰好相距10km时，根据两车对应的函数值之差的绝对值为10列方程并求解，将求得的x的值转化为甲车出发后行驶的时间即可．
本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
24.【答案】∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45∘，AD⊥BC，AD=BD=CD3
【解析】解：如图1，∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠C=45∘，
∵点D是BC边中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD=12BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45∘，
故答案为：∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45∘，AD⊥BC，AD=BD=CD.
注：答案不唯一，如：∠BAD=∠CAD=45∘，∠ADB=90∘.
(1)证明：如图2，∵∠BAC=90∘，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD=BD=CD=12BC，∠B=∠C=45∘，∠BAD=∠FAD=12∠BAC=45∘，AD⊥BC，
∴∠B=∠FAD，∠ADB=90∘，
∵∠EDF=90∘，
∴∠BDE=∠ADF=90∘−∠ADE，
在△BDE和△ADF中，
∠B=∠FADBD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴ED=FD.
(2)如图3，∵∠D=∠E=∠BAC=90∘，
∴∠ABD=∠CAE=90∘−∠BAD，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠D=∠EAB=CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE=2，AD=CE=1，
∴DE=AE+AD=2+1=3，
故答案为：3.
(3)CD=BE，CD⊥BE，
理由：如图4，∵∠DAE=∠BAC=90∘，
∴∠DAC=∠EAB=90∘+∠CAE，
在△DAC和△EAB中，
AD=AE∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE，
∵∠AHB=∠FHC，
∴∠BFD=∠ACD+∠FHC=∠ABE+∠AHB=90∘，
∴CD⊥BE.
由∠BAC=90∘，AB=AC，得∠B=∠C=45∘，因为点D是BC边中点，所以AD⊥BC，AD=BD=CD=12BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45∘，于是得到问题的答案；
(1)由∠BAC=90∘，AB=AC，D是BC的中点，得AD=BD=CD，∠B=∠C=45∘，∠BAD=∠FAD=45∘，AD⊥BC，则∠B=∠FAD，∠ADB=90∘，而∠EDF=90∘，所以∠BDE=∠ADF=90∘−∠ADE，即可根据“ASA”证明△BDE≌△ADF，得ED=FD；
(2)由∠D=∠E=∠BAC=90∘，得∠ABD=∠CAE=90∘−∠BAD，而AB=CA，即可根据“AAS”证明△ABD≌△CAE，得BD=AE=2，AD=CE=1，则DE=AE+AD=3，于是得到问题的答案；
(3)由∠DAE=∠BAC=90∘，得∠DAC=∠EAB=90∘+∠CAE，而AD=AE，AC=AB，即可根据“SAS”证明△DAC≌△EAB，得CD=BE，∠ACD=∠ABE，则∠BFD=∠ACD+∠FHC=∠ABE+∠AHB=90∘，所以CD⊥BE.
此题重点考查等腰直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．