广东省佛山市三水区西南中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份广东省佛山市三水区西南中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2+1＝0D．
2．（3分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A．一般平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
3．（3分）一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为2，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）根据下列表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
5．（3分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x+8）2＝23D．（x﹣8）2＝9
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（ ）
A．3B．4C．D．5
8．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长等于（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
9．（3分）若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2﹣12x+m＝0的两根，则m的值为（ ）
A．32B．36C．32或36D．不存在
10．（3分）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（ ）
A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x2＝3x的根是 ．
12．（3分）设m是方程x2﹣x﹣2023＝0的一个根，m2﹣m+1的值为 ．
13．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 ．
14．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE、DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°．其中正确的结论是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
17．（8分）已知：菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE∥OD，DE∥OC．求证：四边形OCED是矩形．
18．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中随机取出1个球，记录颜色后放回．再次搅匀后，从中随机取出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的概率．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝4．求m的值．
20．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
21．（9分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）阅读材料：我们都知道a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
于是，﹣2x2+40x+5＝﹣2（x2﹣20x）+5
＝﹣2（x2﹣2•x•10+102﹣102）+5
＝﹣2[（x﹣10）2﹣100]+5
＝﹣2（x﹣10）2+205．
又因为a2≥0，所以，（x﹣10）2≥0，﹣2（x﹣10）2≤0，﹣2（x﹣10）2+205≤205．
所以，﹣2x2+40x+5有最大值205．
如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG．设AB＝x米．
（1）请用含x的代数式表示BC的长 （直接写出结果）；
（2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
（3）求出山羊活动范围面积S的最大值．
23．（12分）（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．
参考答案与解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2+1＝0D．
【解答】解：根据一元二次方程的定义可得出方程x2+1＝0为一元二次方程，
故选：C．
2．（3分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（ ）
A．一般平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．
故选：A．
3．（3分）一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为2，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：把x＝2代入方程得4﹣2m﹣2＝0，、
解得m＝1．
故选：A．
4．（3分）根据下列表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
5．（3分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：＝．
故选：C．
6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x+8）2＝23D．（x﹣8）2＝9
【解答】解：x2+8x+7＝0，
移项得：x2+8x＝﹣7，
配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．
故选：A．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（ ）
A．3B．4C．D．5
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4，
故选：B．
8．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长等于（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD＝8cm，AC＝6cm，
∴OD＝BD＝4cm，OA＝AC＝3cm，
在直角三角形AOD中AD＝＝＝5cm．
故选：D．
9．（3分）若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2﹣12x+m＝0的两根，则m的值为（ ）
A．32B．36C．32或36D．不存在
【解答】解：利用一元二次方程的根与系数的关系得 x1+x2＝12，x1x2＝m，
若x1＝4，则x2＝8，不成立（根据三角形两边之和大于第三边），
所以x1＝x2＝6，
则m＝36，
故选：B．
10．（3分）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（ ）
A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD边长为6，
∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），
由B（0，0），D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x，
设M（m，m），
由A（0，6），M（m，m）得直线AM解析式为y＝x+6，
在y＝x+6中，令x＝6得y＝，
∴P（6，），
∵PM＝PC，
∴（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2，
∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（）2＝（）2，
整理得m2﹣18m+54＝0，
解得m＝9+3（不符合题意，舍去）或m＝9﹣3，
∴M（9﹣3，9﹣3），
∴AM＝＝6（﹣1），
故选：C．
方法2：
∵PM＝PC，
∴∠PMC＝∠PCM，
∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD＝90°，
∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，
∴PD＝＝2，∠CPM＝120°，
∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2，
在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，
∴CM＝CP＝6﹣6，
由正方形对称性知AM＝CM＝6（﹣1），
方法3：
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，
由题意：设AM＝m，PM＝n，则PC＝n，DP＝6﹣n，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
化简得：mn＝6m﹣6n，
由勾股定理可知：AD2+DP2＝AP2，
∴62+（6﹣n）2＝（m+n）2，
化简得：m2+2mn+12n＝72，
将mn＝6m﹣6n代入，得：m2+12m﹣12n+12n﹣72＝0，
解得：m1＝6﹣6，m2＝﹣6﹣6（舍去），
∴AM＝6﹣6，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程x2＝3x的根是 x1＝0，x2＝3 ．
【解答】解：原方程可化为x2﹣3x＝0，
x（ x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
12．（3分）设m是方程x2﹣x﹣2023＝0的一个根，m2﹣m+1的值为 2024 ．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2023＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣2023＝0，
∴m2﹣m＝2023，
∴m2﹣m+1＝2023+1＝2024，
故答案为：2024．
13．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 24 ．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴DF＝AF，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∴AE＝DE＝DF＝AF＝6，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24，
即四边形AEDF的周长是24，
故答案为：24．
14．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 20 ．
【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE、DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°．其中正确的结论是 ①②③ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，
故①正确，符合题意；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，
故②正确，符合题意；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AHE＝∠BCE，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∴AG是Rt△DHG斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF，
故③正确，符合题意；
∵CF＝BC＝CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
17．（8分）已知：菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE∥OD，DE∥OC．求证：四边形OCED是矩形．
【解答】证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
18．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中随机取出1个球，记录颜色后放回．再次搅匀后，从中随机取出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的概率．
【解答】解：画树状图如下：
一共有9种等可能的结果，其中两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数有4种可能，
∴P（两次取到的球恰好为1个白球和1个红球）＝．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝4．求m的值．
【解答】解：（1）由题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
∴m≤．
故实数m的取值范围为m≤；
（2）依题意有x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，
∵x1x2+x1+x2＝4，
∴m2﹣（2m﹣1）＝4，
解得m1＝﹣1，m2＝3（舍去）．
故m的值是﹣1．
20．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∴×8•AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
21．（9分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：这两次价格上调的平均增长率为20%．
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，
依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，
整理得：m2﹣4m+3＝0，
解得：m1＝1，m2＝3．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）阅读材料：我们都知道a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
于是，﹣2x2+40x+5＝﹣2（x2﹣20x）+5
＝﹣2（x2﹣2•x•10+102﹣102）+5
＝﹣2[（x﹣10）2﹣100]+5
＝﹣2（x﹣10）2+205．
又因为a2≥0，所以，（x﹣10）2≥0，﹣2（x﹣10）2≤0，﹣2（x﹣10）2+205≤205．
所以，﹣2x2+40x+5有最大值205．
如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG．设AB＝x米．
（1）请用含x的代数式表示BC的长 32﹣2x （直接写出结果）；
（2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
（3）求出山羊活动范围面积S的最大值．
【解答】解：（1）依题意得AB＝DC＝x，EF＝FG＝1
∵AB+DC+BC+EF+FG＝34，
∴2x+BC+2＝34，
∴BC＝32﹣2x；
故答案为：32﹣2x；
（2）依题意得：S＝S长方形ABCD﹣S正方形CEFG，
S＝x（32﹣2x）﹣1，
S＝﹣2x2+32x﹣1；
（3）S＝﹣2x2+32x﹣1
＝﹣2（x2﹣16x+64）+127
＝﹣2（x﹣8）2+127
又因为﹣2＜0，
所以，（x﹣8）2≥0，﹣2（x﹣8）2≤0，﹣2（x﹣8）2+127≤127，
所以，山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米．
23．（12分）（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即（4﹣BF）2＝BF2+9，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴，
∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB＝FH＝3，，
∴，
∴，
∴四边形ABFE的周长＝；
（3）解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，
∴∠ABC＝135°，
∴∠ABN＝45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN＝∠BAN＝45°，
∴，
由折叠的性质可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AF2＝AN2+NF2，
∴AF2＝4+（6﹣AF）2，
∴，
∴，
∵AN∥MF，AD∥BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN＝MF＝2，
在Rt△AMF中，，
∴，
在Rt△MFE中，．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y＝ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y＝ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
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0.09