湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试卷

这是一份湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．2x2﹣3x2＝﹣x2
C．3a3+4a4＝7a3D．5a2b﹣5b2a＝0
3．（3分）2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次．数据“609.65万”用科学记数法表示为（ ）
A．0.60965×108B．6.0965×107
C．60.965×106D．6.0965×106
4．（3分）2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋驰骋在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力．图①是此次全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c
B．在等式a＝b两边都除以c2+1，可得
C．在等式两边乘以a，可得b＝2c
D．在等式2x＝2a﹣4b两边都除以2，可得x＝a﹣2b
6．（3分）如图，对图中各射线表示的方向下列判断错误的是（ ）
A．OA表示北偏东15°B．OB表示北偏西50°
C．OC表示南偏东45°D．OD表示西南方向
7．（3分）下列说法中正确的有（ ）
①单项式﹣的系数是﹣；②ab的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式2πr的系数是2π
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（3分）如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（ ）
A．b＜﹣a＜﹣b＜aB．a＜﹣b＜b＜﹣aC．b＜﹣a＜a＜﹣bD．b＜﹣b＜﹣a＜a
9．（3分）妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用306元．其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价是300元，则裤子的标价是（ ）
A．160元B．150元C．120元D．100元
10．（3分）晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）
A．30分钟B．35分钟C．分钟D．分钟
二、填空题。（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）若关于x的方程3x﹣kx﹣3＝0的解为3，则k的值为 ．
12．（3分）已知5xmy3与是同类项，则m+n等于 ．
13．（3分）一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是 度．
14．（3分）若（x﹣1）2+|y﹣2|＝0，则xy＝ ．
15．（3分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝ ．
16．（3分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决问题：当满足等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝﹣7+2k的x是整数时，整数k的所有可能的值的和是 ．
三、解答题。（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21、22题每小题6分，第23题10分，共52分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）7+（﹣28）﹣（﹣9）；
（2）﹣12024+（﹣2）3÷4+18×（﹣）．
18．（6分）解下列方程：
（1）3（x+2）＝x+2；
（2）．
19．（6分）先化简，再求值：5﹣2（a2b﹣ab2+2）+（3ab2+a2b﹣1），其中a＝2，b＝﹣1．
20．（8分）已知关于x的方程与方程3x+5＝11的解互为相反数，求a的值．
21．（8分）如图，线段AB＝24．C是线段AB的中点，D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）在线段AD上有一点E，满足，求AE的长．
22．（8分）有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷比全部请师傅粉刷少付300元工钱，求一名徒弟一天的工钱是多少？
23．（10分）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝70°，
（1）如图1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度数；
（2）射线OM从OA出发，绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，同时，射线ON从OC出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，OM与ON同时出发（当ON首次与OB重合时，两条射线都停止运动），设运动的时间为t秒．
（ⅰ）如图2，在整个运动过程中，当∠BON＝2∠COM时，求t的值；
（ⅱ）如图3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合适的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、选择题（在下列各题中的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．2x2﹣3x2＝﹣x2
C．3a3+4a4＝7a3D．5a2b﹣5b2a＝0
【解答】解：A、a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、2x2﹣3x2＝﹣x2，故本选项符合题意；
C、3a3与4a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、5a2b与﹣5b2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（3分）2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次．数据“609.65万”用科学记数法表示为（ ）
A．0.60965×108B．6.0965×107
C．60.965×106D．6.0965×106
【解答】解：609.65万＝6096500＝6.0965×106，
故选：D．
4．（3分）2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋驰骋在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力．图①是此次全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，可得到图形：
．
故选：A．
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c
B．在等式a＝b两边都除以c2+1，可得
C．在等式两边乘以a，可得b＝2c
D．在等式2x＝2a﹣4b两边都除以2，可得x＝a﹣2b
【解答】解：A、当a＝0时，b与c不一定相等，故本选项错误；
B、在等式a＝b两边都除以c2+1，等式仍成立，即，故本选项正确；
C、在等式两边乘以a，等式仍成立，即b＝2c，故本选项正确；
D、在等式2x＝2a﹣4b两边都除以2，等式仍成立，即x＝a﹣2b，故本选项正确；
故选：A．
6．（3分）如图，对图中各射线表示的方向下列判断错误的是（ ）
A．OA表示北偏东15°B．OB表示北偏西50°
C．OC表示南偏东45°D．OD表示西南方向
【解答】解：A、OA表示北偏东15°；故本选项正确，不符合题意；
B、OB表示北偏西40°；故本选项错误，符合题意；
C、OC表示南偏东45°；故本选项正确，不符合题意；
D、OD表示西南方向；故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
7．（3分）下列说法中正确的有（ ）
①单项式﹣的系数是﹣；②ab的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式2πr的系数是2π
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：①单项式﹣的系数是﹣，故此选项错误；
②ab的次数是2、系数是1，故此选项错误；
③不是单项式，故此选项错误；
④单项式2πr的系数是2π，此选项正确，
故正确的有1个．
故选：B．
8．（3分）如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（ ）
A．b＜﹣a＜﹣b＜aB．a＜﹣b＜b＜﹣aC．b＜﹣a＜a＜﹣bD．b＜﹣b＜﹣a＜a
【解答】解：根据相反数的意义，把﹣a、﹣b表示在数轴上
所以a＜﹣b＜b＜﹣a．
故选：B．
9．（3分）妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用306元．其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价是300元，则裤子的标价是（ ）
A．160元B．150元C．120元D．100元
【解答】解：设裤子的标价是x元，
300×0.7+0.8x＝306，
x＝120．
故裤子的价格是120元．
故选：C．
10．（3分）晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）
A．30分钟B．35分钟C．分钟D．分钟
【解答】解：时针的转速为0.5度/分，分针的转速为6/分，设小强花x分
根据题意可得 6x﹣0.5x＝180
解得x＝
答：小强做数学作业花了．
故选：D．
二、填空题。（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）若关于x的方程3x﹣kx﹣3＝0的解为3，则k的值为 2 ．
【解答】解：∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为3，
∴3×3﹣3k﹣3＝0，
解得：k＝2．
故答案为：2．
12．（3分）已知5xmy3与是同类项，则m+n等于 1 ．
【解答】解：∵5xmy3与是同类项，
∴m＝3，﹣n+1＝3，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴m+n＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
13．（3分）一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是 45 度．
【解答】解：设这个角为x，
由题意得，180°﹣x＝3（90°﹣x），
解得x＝45°，
则这个角是45°，
故答案为：45．
14．（3分）若（x﹣1）2+|y﹣2|＝0，则xy＝ 2 ．
【解答】解：∵（x﹣1）2+|y﹣2|＝0，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝1，y＝2，
∴xy＝1×2＝2．
故答案为：2．
15．（3分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝ ﹣2b ．
【解答】解：由题意得a+b＜0，b﹣c＜0，a﹣c＜0，
则|a+b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|＝﹣（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c）＝﹣a﹣b﹣b+c+a﹣c＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．
16．（3分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决问题：当满足等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝﹣7+2k的x是整数时，整数k的所有可能的值的和是 ﹣6 ．
【解答】解：∵等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝﹣7+2k的x是整数，
∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）×（x+k）＝﹣7+2k，
∴（2k+3）x＝﹣7，
∴x＝﹣，
∵k是整数，
∴2k+3＝±1或±7，
∴k＝﹣1，﹣2，2，﹣5．
∴整数k的所有可能的值的和是﹣1﹣2+2﹣5＝﹣6，
故答案为：﹣6．
三、解答题。（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21、22题每小题6分，第23题10分，共52分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）7+（﹣28）﹣（﹣9）；
（2）﹣12024+（﹣2）3÷4+18×（﹣）．
【解答】解：（1）7+（﹣28）﹣（﹣9）
＝7+（﹣28）+9
＝﹣12；
（2）﹣12024+（﹣2）3÷4+18×（﹣）
＝﹣1+（﹣8）÷4+18×（﹣）
＝﹣1+（﹣2）+（﹣6）
＝﹣9．
18．（6分）解下列方程：
（1）3（x+2）＝x+2；
（2）．
【解答】解：（1）3（x+2）＝x+2，
3x+6＝x+2，
3x﹣x＝2﹣6，
2x＝﹣4，
x＝﹣2；
（2），
3（4x﹣3）﹣15＝5（2x﹣2），
12x﹣9﹣15＝10x﹣10，
12x﹣10x＝﹣10+9+15，
2x＝14，
x＝7．
19．（6分）先化简，再求值：5﹣2（a2b﹣ab2+2）+（3ab2+a2b﹣1），其中a＝2，b＝﹣1．
【解答】解：原式＝5﹣2a2b+2ab2﹣4+3ab2+a2b﹣1
＝﹣a2b+5ab2
将a＝2，b＝﹣1代入上式，
原式＝4+10
＝14；
20．（8分）已知关于x的方程与方程3x+5＝11的解互为相反数，求a的值．
【解答】解：3x+5＝11，
∴3x＝11﹣5，
∴3x＝6，
解得：x＝2，
∴x＝﹣2是方程的解，
代入得：，
∴2（﹣2+a）＝﹣12﹣3a，
解得：．
21．（8分）如图，线段AB＝24．C是线段AB的中点，D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）在线段AD上有一点E，满足，求AE的长．
【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点，
∴，
∵点D是线段BC的中点，
∴，
∴AD＝AC+CD＝12+6＝18，
∴线段AD的长为18；
（2）∵AC＝BC＝12，
∴，
当点E在AC之间时，AE＝AC﹣CE＝12﹣2＝10；
当点E在CD之间时，AE＝AC+CE＝12+2＝14；
综上所述，AE的长为10或14．
22．（8分）有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷比全部请师傅粉刷少付300元工钱，求一名徒弟一天的工钱是多少？
【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2，
则每名师傅每天粉刷墙壁，
每名徒弟每天粉刷墙壁；
由题意得：
，
解得：x＝50．
即每个房间需要粉刷的墙面面积为50m2．
（2）设一名徒弟一天的工钱是x元，
则一名师傅一天的工钱是（x+40）元；
由（1）知：每名师傅每天粉刷墙壁120m2，
每名徒弟每天粉刷墙壁90m2，
由题意得：
，
解得：x＝60．
即一名徒弟一天的工钱是60元．
23．（10分）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝70°，
（1）如图1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度数；
（2）射线OM从OA出发，绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，同时，射线ON从OC出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，OM与ON同时出发（当ON首次与OB重合时，两条射线都停止运动），设运动的时间为t秒．
（ⅰ）如图2，在整个运动过程中，当∠BON＝2∠COM时，求t的值；
（ⅱ）如图3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合适的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝35°，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝145°；
（2）∵∠AOC＝70°，
∴∠B0C＝180°﹣70°＝110°，
（i）∵70°÷6＝（秒），110°÷4＝（秒）
当0＜t时，如图1，
则∠BON＝180°﹣70°﹣4t＝110°﹣4t，∠COM＝70°﹣6t，
∵∠BON＝2∠COM，
∴110°﹣4t＝2（70°﹣6t），
∴t＝（秒）；
当时，如图2，
则∠BON＝180°﹣70°﹣4t＝110°﹣4t，∠COM＝6t﹣70°，
∵∠BON＝2∠COM，
∴110°﹣4t＝2（6t﹣70°），
∴t＝（秒）
综上，t＝或；
（ⅱ）如图3，∠AOM＝6t，∠BON＝110°﹣4t，
∵OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，
∴∠AOP＝3t，∠NOQ＝55°﹣2t，
∴∠COP＝70°﹣3t，∠COQ＝4t+（110°﹣4t）＝55°+2t，
∵OC平分∠POQ，
∴70°﹣3t＝55°+2t，
∴t＝3（秒）
∴当t＝3秒时，OC平分∠POQ．