四川省宜宾市叙州区第二中学校2024届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省宜宾市叙州区第二中学校2024届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知z为纯虚数,且（i为虚数单位）,则( )
A.1B.C.2D.
2．已知全集为R,集合,,则( )
A.B.C.D.R
3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是( )
A.甲所得分数的极差为22
B.乙所得分数的中位数为18
C.两人所得分数的众数相等
D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
4．设函数,则( )
A.-1B.5C.6D.11
5．已知实数x,y满足,则的最大值为( )
A.4B.-4C.-1D.1
6．设等比数列的前n项和为,且,则( )
A.17B.18C.5D.6
7．函数的图象不可能是( )
A.B.
C.D.
8．给出两个命题：函数有两个不同的零点;若,则,那么在下列四个命题中,真命题是( )
A.B.C.D.
9．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种B.120种C.240种D.480种
10．圆锥的母线长为2,侧面积为,若球O的表面积与该圆锥的表面积相等,则球O的体积为( )
A.B.C.D.
11．过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l,垂足为M,l与C的另一条渐近线交于点N,且,则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
12．已知函数,的定义域均为R,,是偶函数,且,,则( )
A.关于直线对称B.关于点中心对称
C.D.
二、填空题
13．已知向量,,若,则实数_____________.
14．在正四棱柱中,,,E,F分别为棱,的中点,则异面直线与DF所成角的大小为_______________.
15．黄金分割比值是指将一条线段一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点,满足黄金分割比值的分割称为黄金分割.已知连接正五边形的所有对角线能够形成一个五角星,如图,点D是线段AB的黄金分割点,由此推断___________________.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,则的最小值______________.
三、解答题
17．为进一步提升学生学习数学的热情,学校举行了数学学科知识竞赛.为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关,对高中部200名学生进行了问卷调查,得到如下列联表：
已知在这200名学生中随机抽取1人,抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6.
（1）将列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？
（2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生,再在这8人中抽取3人调查其喜欢的活动类型,用X表示3人中女生的人数,求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
18．如图,四棱锥中,底面ABCD是梯形,且,,,,,.
（1）求证：平面平面ABCD;
（2）若,求二面角的余弦值.
19．已知在数列中,为其前n项和,若,且,数列为等比数列,公比,,且,,成等差数列.
(1)求与的通项公式;
(2)令,若的前n项和为,求证：.
20．已知椭圆的离心率为,过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点,且.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设P、Q是椭圆E上两点,P在第一象限,Q在第二象限,且,其中O是坐标原点.
当P、Q运动时,是否存在定圆O,使得直线PQ都与定圆O相切？若存在,请求出圆O的方程;若不存在,请说明理由.
21．已知函数.
（1）讨论函数的极值;
（2）是否存在实数m,使得不等式在上恒成立？若存在,求出m的最小值：若不存在,请说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位）,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若点P的极坐标为,直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若的最小值为c,正实数m,n满足,求证：.
参考答案
1．答案：D
解析：,
,
,
z为纯虚数,
,,
解得.
.
.
故选：D.
2．答案：A
解析：因为,所以,
所以,
由,得,,
所以,所以,
所以,
故选：A.
3．答案：D
解析：甲的最高分为33,最低分为11,极差为22,A正确;
乙所得分数的中位数为18,B正确;
甲、乙所得分数的众数都为22,C正确;
甲的平均分为,
乙的平均分为
,甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数,D错误,
故选：D.
4．答案：B
解析： ,
故选：B.
5．答案：C
解析：实数x,y满足的可行域为如图所示阴影部分区域,
把平移,当直线经过点A时,目标函数在y轴上的截距取得最大值,
此时z取最大值,联立得,
将坐标代入目标函数中,
所以的最大值为,
故选：C.
6．答案：A
解析：设等比数列的公比为q,
由,得,解得,
所以.
故选：A.
7．答案：D
解析：令,则.
对于A选项,取,则,定义域为R,,
令,可得或;令,可得.
此时,函数的单调递增区间为和,
单调递减区间为,,且当时,,
A选项合乎题意;
对于B选项,取,,
,即函数在R上单调递增,
当时,,
任取,则,,
则,则,
所以,函数在上单调递增.
,
此时,函数为奇函数,B选项合乎题意;
对于C选项,取,则,
当时,,则函数在上单调递增,
任取,则,,
则,则,
所以,函数在上单调递增.
,
此时,函数为偶函数,C选项合乎题意;
对于D选项,由图象可知,函数有三个零点,
且,
若,则,令,则,该函数只有一个零点;
若,令,可得或,
该函数至多两个零点,D选项不合乎题意.
故选：D.
8．答案：D
解析：对于p,函数对应的方程的判别式
可知函数有两个不同的零点,故p为真
当时,不等式恒成立;当时,不等式的解集为.
故不等式的解集为,故命题q为假命题
所以只有为真
故选：D.
9．答案：C
解析：根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,
可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;
然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,
四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种,
根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,
故选：C.
10．答案：C
解析：依题意,设圆锥的底面半径为r,母线,
则圆锥的侧面积为,故,
所以圆锥的底面积为,则圆锥的表面积为,
设球的半径为R,则,得,
所以球的体积.
故选：C.
11．答案：B
解析：如图,设双曲线右焦点为,OM,ON为双曲线的两条渐进线.
由题意可知,,又,则M为FN中点,
则为等腰三角形,
则,又,则.
所以双曲线的渐进线方程为：.
故选：B.
12．答案：C
解析：对于A,是偶函数,,
又,
,是偶函数, 关于直线对称,所以A错误,
对于B,,
关于点中心对称,所以B错误,
对于CD,又,
即,4是的一个周期;
令,可得
,,又,
,
,
所以C正确,D错误,
故选：C.
13．答案：-4或2
解析：由题意,,
因为,所以,
又
即,
则
解得或.
故答案为：-4或2.
14．答案：
解析：如图所示,连接,.
因为,所以就是异面直线与DF所成角或补角,
因为,,所以,,,
因为
所以.
所以异面直线与DF所成角为.
故答案为：.
15．答案：
解析：依题意,正五边形中,内角为,
根据等腰三角形易求得,
所以,
所以,.
因为D为AB的黄金分割点（）,
所以,即,
所以,所以.
不妨设,则,
在中,,
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：由题意可得：,
则,故,
则,,据此可知,
从而：,
由于,故,
令,考查函数,其中,
注意到,当且仅当时等号成立.
故的最大值为,则的最小值为.
故答案为：.
17．答案：（1）填表见解析;没有;
（2）分布列见解析;期望为.
解析：（1）由200名学生中抽取一人抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6,可得喜欢数学竞赛的总人数为,
所以
,
没有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关;
（2）由题意可知抽取不喜欢数学竞赛的男生有5人,女生有3人,
X的可能取值为0,1,2,3,
;
;
;
;
所以X的分布列为：
.
18．答案：（1）详见解析
（2）
解析：（1）取AB中点O,连接BD,DO,SO,
在直角梯形ABCD中,,,,
,,;
,又
为等边三角形.
, .
, ..
, 平面SAB.
平面ABCD,平面平面ABCD.
（2）, .
由（1）知,平面平面ABCD, 平面ABCD,
直线OD,OB,OS两两垂直.以O为原点建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,,.
,,.
设平面ASD的法向量为,
由,得,取,得,
设平面SCD的法向量为,
由,得,取,
得,
,
由图可知二面角为钝二面角,
二面角的余弦值为.
19．答案：(1);
(2)证明见解析
解析：（1）由可得
当时,,解得,
当时,,
所以,化为：,
又, ,即,,
数列是等差数列,公差为2, ,
,,,成等差数列.
, ,化为：,
因为,解得,
;
（2）由（1）可得.,
所以的前n项和为①,
②,
①-②得,
20．答案：（1）.
（2）存在定圆,使得直线PQ与定圆O相切.
解析：（1）因为,所以,通径长,解得,,故椭圆的方程为.
（2）设PQ方程为代入椭圆方程.
化简得
设,
由韦达定理得,,
,
化简得
假设存在定圆O与直线PQ相切,半径为r,
则圆心到直线的距离
为定值
所以当P,Q运动时,存在定圆使得直线PQ与定圆O相切.
21．答案：（1）答案不唯一,具体见解析
（2）存在;m的最小值是1
解析：（1）由题知,,
①当时,,所以在上单调递减,没有极值;
②当时,令,得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故在处取得极小值,无极大值.
（2）不妨令,
设,,在恒成立,
在单调递增,,
在恒成立,
所以当时,,
由（1）知,当,时,在上单调递减,
恒成立;
所以若要不等式在上恒成立,只能.
当时,,由（1）知,在上单调递减,
所以,不满足题意.
当时,设,
因为,,所以,,,
,
所以在上单调递增,又,
所以当时,恒成立,即恒成立,
故存在,使得不等式在上恒成立.
此时m的最小值是1.
22．答案：(1);
(2)
解析：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数）,
所以直线l的普通方程为;
因为,即,
所以,得,
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）因为点P的极坐标为,所以点P的直角坐标为,所以点P在直线l上,
将直线l的参数方程（t为参数）,
代入,化简得,
设A,B两点所对应的参数分别为,,则,,故,,
所以,,
所以.
23．答案：(1)
(2)证明详见解析
解析：（1）由,得,
当时,,即,解得;
当时,,即,即,恒成立;
当时,,即,解得.
综上得的解集为.
（2）由,得,
当时,,所以.
因为,所以,
由柯西不等式有,
整理得,当且仅当,即,时,等号成立.
喜欢数学竞赛
不喜欢数学竞赛
合计
男生
70
女生
30
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢数学竞赛
不喜欢数学竞赛
合计
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合计
120
80
200
X
0
1
2
3
P