所属成套资源:2024银川育才中学高三上学期1月期末考试及答案(九科)
2024银川育才中学高三上学期1月期末考试数学(理)含解析
展开
这是一份2024银川育才中学高三上学期1月期末考试数学(理)含解析,共27页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共12小题,共60分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 已知集合,则( )
A. B.
C. D.
2. 在复平面内,复数对应的向量分别是,则复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知曲线在点处的切线方程为,则
A. B. C. D.
4. 据中国地震台测定,2023年12月18日深夜在甘肃省临夏积石山发生了6.2级地震.里氏震级可以测出最大振幅,其计算公式为.其中是被测地震的最大振幅,是0级地震的振幅.请问8级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的几倍( )
A. 10B. 100C. 1000D. 10000
5. 下列说法不正确的是( )
①命题“,”的否定是“,”;
②“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件;
③命题,,命题,,则为真命题;
④“函数在上是减函数”,为真命题.
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
6. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有( )
A. 8种B. 14种C. 20种D. 16种
8. 龙洗,是我国著名的文物之一,因盆内有龙纹故称龙洗,为古代皇宫盥洗用具,其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直径40cm,盆底直径20cm.现往盆内倒入水,当水深6cm时,盆内水的体积近似为( )
A. B. C. D.
9. 已知各项均为正数的等比数列,,,成等差数列,若中存在两项,,使得为其等比中项,则的最小值为( )
A 4B. 9C. D.
10. 已知双曲线:(,)的右焦点为,、两点在双曲线的左、右两支上,且,,,且点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
11. 如图,棱长为2的正方体中,点E,F,G分别是棱的中点,则下列说法错误的是( )
A. 直线共面
B.
C. 直线与平面所成角正切值为
D. 过点B,E,F的平面截正方体的截面面积为9
12. 已知定义在上的函数满足,为的导函数,当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13. 已知一个半径为4的扇形圆心角为,面积为,若,则_____.
14. 设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若,则展开式中的系数为_______.
15. 抛物线上的动点到点的距离之和的最小值为________.
16. 已知是球的球面上的三点,,且三棱锥的体积为,则球的体积为______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 在①,②中任选一个作为已知条件,补充在下列问题中,并作答.
问题:在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知______.
(1)求B;
(2)若的外接圆半径为2,且,求ac.
注:若选择不同条件分别解答,则按第一个解答计分.
18. 已知数列满足,且点在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列前项和为,求能使对恒成立的()的最小值.
19. 如图,在四棱锥中,四边形ABCD为菱形,且,平面ABCD,E为BC的中点,F为棱PC上一点.
(1)求证:平面平面PAD;
(2)若G为PD的中点,,是否存在点F,使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20. 已知椭圆的离心率为,椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A,B两点,且与x轴,y轴交于M,N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若,求k的值;
(3)若点Q坐标为,求证:为定值.
21. 已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若不等式恒成立,求整数a的最小值.
22. 在直角坐标系中,曲线,曲线(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)射线的极坐标方程为,若分别与交于异于极点的两点,求的最大值.
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若是的最小值,且正数满足,证明:.
宁夏育才中学 2023-2024学年第一学期
高三数学(理科)月考五试卷
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共12小题,共60分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求一元二次方程的解和偶次根式型函数的定义域,求交集即得.
【详解】由可解得:或,即,
由函数有意义可得:,解得:,即,
于是.
故选:D.
2. 在复平面内,复数对应的向量分别是,则复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出,然后根据复数的除法运算化简得出,根据复数的几何意义,即可得出答案.
【详解】由已知可得,,,
则,
所以,复数对应的点为,该点位于第一象限.
故选:A.
3. 已知曲线在点处的切线方程为,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得,将点的坐标代入直线方程,求得.
【详解】详解:
,
将代入得,故选D.
【点睛】本题关键得到含有a,b的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.
4. 据中国地震台测定,2023年12月18日深夜在甘肃省临夏积石山发生了6.2级地震.里氏震级可以测出最大振幅,其计算公式为.其中是被测地震的最大振幅,是0级地震的振幅.请问8级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的几倍( )
A. 10B. 100C. 1000D. 10000
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,得到,分别令和,求得最大振幅,即可求解.
【详解】由函数,可得,所以,可得,
当时,地震的最大振幅为;
当时,地震的最大振幅为,
所以,两次地震的最大振幅之比为.
故选:B.
5. 下列说法不正确的是( )
①命题“,”的否定是“,”;
②“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件;
③命题,,命题,,则为真命题;
④“函数在上是减函数”,为真命题.
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】对于①:根据全称命题的否定是特称命题分析判断;对于②:根据奇函数的定义结合充要条件分析判断;对于③:根据特称命题结合逻辑联结词分析判断;对于④:根据单调性的定义举例分析判断.
【详解】对于①:命题“,”的否定是“,”,故①不正确;
对于②:若,则的定义域为,且,
所以函数为奇函数,即充分性成立;
若函数为奇函数,且的定义域为,
可得,整理得恒成立,
解得,即必要性不成立;
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件,故②正确;
对于③:因为恒成立,
即命题,为假命题,所以为假命题,故③不正确;
对于④:当时,当时,但,可得,
所以函数在上不是减函数,故④不正确;
故选:C.
6. 函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性和赋值即可判断选项.
【详解】由,
可知是奇函数,且定义域为,排除BD;
当时,,排除A.
故选:C
7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有( )
A. 8种B. 14种C. 20种D. 16种
【答案】B
【解析】
【分析】分甲、乙都不在天和核心舱和甲、乙恰好有一人在天和核心舱两种情况求解可得.
【详解】第一类,甲、乙都不在天和核心舱共有种;
第二类,甲、乙恰好有一人在天和核心舱,先排天和核心舱有种,
然后排问天实验舱与梦天实验舱有种,
所以,甲、乙恰好有一人天和核心舱共有种.
综上,甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有种.
故选:B
8. 龙洗,是我国著名的文物之一,因盆内有龙纹故称龙洗,为古代皇宫盥洗用具,其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直径40cm,盆底直径20cm.现往盆内倒入水,当水深6cm时,盆内水的体积近似为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴截面和相似关系,以及圆台体积即可求解.
【详解】如图所示,画出圆台的立体图形和轴截面平面图形,并延长与于点.
根据题意,,,,,
设,
所以,
解得,,
所以,
故选:B.
9. 已知各项均为正数的等比数列,,,成等差数列,若中存在两项,,使得为其等比中项,则的最小值为( )
A. 4B. 9C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据,,成等差数列,可得,即可求得q值,根据为,的等比中项,可求得,利用基本不等式“1”的活用,即可求得答案.
【详解】因,,成等差数列,所以,
又为各项均为正数的等比数列,设首项为,公比为q,
所以,所以,
解得或(舍),
又为,的等比中项,
所以,
所以 ,
所以,即,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为.
故选:D
【点睛】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识,并灵活应用,数列中应用基本不等式时,应注意取等条件,即角标m,n必须为正整数,属中档题.
10. 已知双曲线:(,)的右焦点为,、两点在双曲线的左、右两支上,且,,,且点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设双曲线的左焦点为,连接,则由题意可得四边形为矩形,设,则,,分别在和中,运用勾股定理,结合离心率公式可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为,连接,
因为,所以,
因为,所以,
因为,所以四边形为矩形,
设(),则,,
在中,,
所以,化简得,解得,
在中,,
所以,所以,
所以,得,
所以离心率,
故选:B
11. 如图,棱长为2的正方体中,点E,F,G分别是棱的中点,则下列说法错误的是( )
A. 直线共面
B.
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 过点B,E,F的平面截正方体的截面面积为9
【答案】D
【解析】
【分析】对于A项,一般考虑寻找两平行线较易说明共面问题;对于B项,三棱锥的体积问题,大都是通过等体积转化,使其易于求解即可;对于C项,充分利用正方体条件,找到直线与平面所成的角,在三角形中求解即得;对于D项,关键是寻找到经过三点的正方体的截面,然后求其面积即可.
【详解】
对于A项,如图①,分别连接,,在正方体中,易得矩形,
故有,又E, G分别是棱的中点,则,故,即可确定一个平面,故A项正确;
对于B项,如图②,,故B项正确;
对于C项,如图③,连接,因平面,故直线与平面所成角即,
在中,,故C项正确;
对于D项,如图④,连接,易得,
因平面平面,则为过点B,E,F的平面与平面的一条截线,
即过点B,E,F的平面即平面.
由可得四边形为等腰梯形,
故其面积为: ,即D项错误.
故选:D.
12. 已知定义在上的函数满足,为的导函数,当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设,结合题意可得,即函数是定义在上的奇函数,又当,时,,则,可得在,上单调递增,在,上单调递增,利用单调性,即可得出答案.
【详解】令,
则,即,
故函数是定义在上的奇函数,
当,时,,则,
故在,上单调递增,在,上单调递增,
所以在上单调递增,
又,则,
则不等式,即,
故,解得.
故选:C.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13. 已知一个半径为4的扇形圆心角为,面积为,若,则_____.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由扇形面积公式先求,再根据两角和差的正切公式求得结果.
【详解】已知扇形半径为,圆心角为,
∵扇形面积,∴,
∴,解得:.
故答案为:.
14. 设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若,则展开式中的系数为_______.
【答案】150
【解析】
【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出、列出方程求得,利用二项展开式的通项公式求出第项,令的指数为3得进而得系数.
【详解】中,令得展开式的各项系数之和,
根据二项式系数和公式得二项式系数之和,
∵,∴解得,
∴的展开式的通项为,
令得,故展开式中的系数为,
故答案为150.
【点睛】本题主要考查赋值法是求二项展开式系数和的方法,利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,属于中档题.
15. 抛物线上的动点到点的距离之和的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为,准线为,
设是抛物线上任意一点,则题目所求为的最小值,
过作,垂足为,
根据抛物线的定义可知,
所以题意所求为的最小值,
根据图象可知,当三点共线时,的值最小,
故最小值为.
故答案为:
16. 已知是球的球面上的三点,,且三棱锥的体积为,则球的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】判断的形状并求出其外接圆的半径,利用锥体的体积公式求出球心到截面的距离,进而求出球半径即可求解.
【详解】在中,,由余弦定理得,
即,整理得,而,解得,
显然,即,则外接圆的半径,
令球心到平面的距离为,而的面积为,
由棱锥的体积为,得,解得,
球的半径,则有,,
所以球的体积.
故答案为:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 在①,②中任选一个作为已知条件,补充在下列问题中,并作答.
问题:在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知______.
(1)求B;
(2)若的外接圆半径为2,且,求ac.
注:若选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)选①利用余弦定理即可求出;选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案;
(2)首先求出,再利用正弦定理整体求出即可.
【小问1详解】
选择条件①:
因为,在中,由余弦定理可得,
即,则,
因为,所以.
选择条件②:
因为,在中,由正弦定理可得,
即,则,
因为,所以,则,
因为,所以.
【小问2详解】
因为,所以,则,
即,又,
所以.因为的外接圆半径,
所以由正弦定理可得,所以.
18. 已知数列满足,且点在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列前项和为,求能使对恒成立的()的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【解析】
【分析】(1)由题设易得为等差数列,即可求其通项公式;
(2)对数列的通项分析可通过裂项相消法求前项和,将恒成立问题转化为求的最大值或上界问题即得.
【小问1详解】
点在直线上,得,
所以数列是以首项为,公差为2的等差数列.
故,即.
【小问2详解】
,
所以
即,因 ,故,
故要使对恒成立,需使,即,
又,所以的最小值为5.
19. 如图,在四棱锥中,四边形ABCD为菱形,且,平面ABCD,E为BC的中点,F为棱PC上一点.
(1)求证:平面平面PAD;
(2)若G为PD的中点,,是否存在点F,使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在;或
【解析】
【分析】(1)根据底面菱形的特点得到,再由线面垂直得到,平面,进而得到面面垂直;
(2)建立空间坐标系得到线面角的表达式,求解即可.
【小问1详解】
证明:连接,
因为底面为菱形,,
所以是正三角形,
是的中点,
,
又,
平面,平面,
又平面,
又平面,
所以平面平面.
【小问2详解】
由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以为坐标原点,直线AE,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,
所以,,.
设平面的法向量,则即
令,得平面的一个法向量.
设与平面所成的角为,则
,
解得或,
即存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,且或.
20. 已知椭圆的离心率为,椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A,B两点,且与x轴,y轴交于M,N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若,求k的值;
(3)若点Q的坐标为,求证:为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出,则椭圆方程可得;
(2)联立方程组,根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出;
(3)根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出.
【小问1详解】
,,代入得.
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2,即,即,
以上各式联立解得,则椭圆方程为.
【小问2详解】
直线与轴交点为,与轴交点为,
联立,消去得:,,
设,则,
,,
由得,解得:,
由得.
【小问3详解】
证明:由(2)知,,
.
为定值.
【点睛】方法点睛:求圆锥曲线中的定值问题常见的方法:
从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
21. 已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若不等式恒成立,求整数a的最小值.
【答案】(1),无极大值;(2)2.
【解析】
【分析】(1)将代入,求出导函数,利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性,进而求出极值.
(2)不等式等价于在上恒成立,设,利用导数求出的最大值即可求解.
【详解】解:(1)当时,,
令得(或舍去),
∵当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
∴,无极大值.
(2),即,
即,
∴,即,
∴原问题等价于在上恒成立,
设,则只需.
由,令,
∵,∴在上单调递增,
∵,
∴存在唯一的,使得,
∵当时,,则单调递增,
当时,,则单调递减,
∴,
∴即可.
∴,∴,故整数a的最小值为2
22. 在直角坐标系中,曲线,曲线(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)射线的极坐标方程为,若分别与交于异于极点的两点,求的最大值.
【答案】(1)极坐标方程是,的极坐标方程是. (2)
【解析】
【分析】(1)利用将的直角坐标方程化为极坐标方程;先把的参数方程化为普通方程,再化为极坐标方程;
(2)分别联立曲线与的极坐标方程与,即可求得,,再利用二次函数的性质求得的最大值,进而求解.
【详解】解:(1)因为,
所以可化为,
整理得,
(为参数),则(为参数),化为普通方程为,则极坐标方程为,即.
所以的极坐标方程是,的极坐标方程是.
(2)由(1)知,
联立可得,
联立可得,
所以,
当时,最大值为,所以的最大值为.
【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查利用极坐标方程求弦长.
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若是的最小值,且正数满足,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意,将函数化为分段函数的形式,分类讨论计算,即可得到结果;
(2)根据题意,结合基本不等式,代入计算,即可得到结果.
【小问1详解】
∴或或,
解得或或,
∴不等式的解集为;
【小问2详解】
证明:由,可得的最小值为,
则,,
∴
,当且仅当时,等号成立,
∴.
相关试卷
这是一份宁夏银川市育才中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学(理)试卷(Word版附解析),共27页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2024成都树德中学高三上学期期末考试数学(理)含解析,共31页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2024成都石室中学高三上学期期末考试数学(理)含解析,共17页。试卷主要包含了若复数满足等内容,欢迎下载使用。