2024上饶一中高二下学期开学考试数学试题

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命题人:黄舒娴 章文 考试时间:150分钟
一、单选题
1. 已知经过点和点直线的方向向量为，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D.
2. 若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（ ）
A. 由回归方程可知2024年1月份该地区销售量为6.8万件
B. 表中数据的样本中心点为
C.
D. 由表中数据可知，y和x成正相关
5. 已知椭圆()，，分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若、A、、B四点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，圆在第一象限，且与轴、直线均相切，圆心都在直线上. 当圆相外切时，记圆面积分别为，则（ ）
A. 1 : 2B. 1 : 4
C. 1 : 9D. 1 : 16
7. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A. 50B. 36C. 26D. 14
8. 已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（ ）
A.
B. 展开式中的系数为280
C. 展开式中所有项的系数和为
D. 展开式中的第二项为
10. 某市两万名高三学生数学期末统考成绩（满分150分）近似服从正态分布，则下列说法正确是（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．）
A. 该次成绩高于144分的学生约有27人
B. 任取该市一名高三学生，其成绩低于80分的概率约为0.023
C. 若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分
D. 试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.60
11. 已知曲线，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B. 若，则曲线的焦点坐标为和
C. 若，则曲线的离心率
D. 若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为
12. 在正方体中，分别为的中点，点满足，则（ ）
A. 平面
B. 三棱锥的体积与点的位置有关
C. 的最小值为
D. 当时，平面截正方体的截面形状为五边形
三、填空题
13. 已知，，，则在上的投影向量的模为_________．
14. 中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有_________种.
15. 学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40％，次品率为5％，第2份占总数的60％，次品率为4％．若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为______．
16. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点（在第一象限），的重心为，内心为，且轴，则双曲线的离心率为______．
二、解答题
17. 甲乙两人进行某项比赛
（1）若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率；
（2）若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由.
（说明：“三局两胜”是常见比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束）
18. 已知圆经过三点．
（1）求圆的一般方程；
（2）过点的直线与圆交于两点，，求直线的方程．
19. 某品牌商家入驻一家购物平台后，销售额大幅提升，为了答谢顾客并进一步提升销售额，该品牌商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌商品的促销活动．促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年“跨年夜”该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买．某位顾客拟参加2020年“跨年夜”该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数(单位：十万)(见下表)
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合参与人数y(十万)与年份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：，并预测2020年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数；
（2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2020年“跨年夜”该商品促销活动人员的报价进行抽样调查，得到如下的一份频数表：
①求这2000位参与人员报价的平均值和样本方差 (同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替)；
②假设所有参与该商品促销活动人员的报价X可视为服从正态分布，且μ与可分别由①中所求的样本平均值和样本方差估值．若预计2020年“跨年夜”该商品最终销售量为31730件，请你合理预测(需说明理由)该商品的最低成交价．
参考公式：①回归方程：，其中，；
②，，；
③若随机变量Z服从正态分布，则，，．
20. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
21. 有一种双人游戏，游戏规则如下：一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个白色小球，2个红色小球，每次游戏双方从袋中轮流摸出1个小球，摸后不放回，摸到第2个红球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏，且本次游戏中输掉的人在下一次游戏中先摸球．小胡和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小胡先摸球．
（1）在第一次游戏中，求在小胡第一轮摸到白球的情况下，小胡获胜的概率；
（2）记3次游戏中小胡获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．
22. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值
时间x（月）
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
1
1.6
2.0
a
3
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份编号t
1
2
3
4
5
参与人数y(单位：十万)
0.5
0.6
1
1.4
1.7
报价(千元)
[1，2)
[2，3)
[3，4)
[4，5)
[5，6)
[6，7)
频数
200
600
600
300
200
100