北京市昌平区融合学区（第三组）2023 - 2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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数学试卷
本试卷共6页，三道大题．28个小题，满分100分，考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有4个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
2. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，3cm，6cm
C. 2cm，4cm，8cm，8cmD. 3cm，4cm，5cm，10cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例线段的性质，让最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等即得答案.
【详解】解：A、∵，∴四条线段不成比例；
B、∵，∴四条线段成比例；
C、∵，∴四条线段不成比例；
D、∵，∴四条线段不成比例；
故选：B.
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是关键.
3. 若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A. B. 3C. 3或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键．
4. 若二次函数的图像过，，，则，，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为．根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴该函数的对称轴为：，
∴点A到对称轴的距离为：，
点B到对称轴的距离为：，
点C到对称轴的距离为：，
∵，
∴该函数图象开口向上，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．
5. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
的值为．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A. 2：5B. 3：5C. 9：25D. 4：25
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果.
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
7. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
8. 二次函数（a、b、c为常数，）的x与y的部分对应值如下表：
下列各选项中，正确的是（ ）
A. 这个函数的图象开口向下
B.
C. 这个函数的最大值为10
D. 关于x的一元二次方程无解
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格数据得出对称轴为直线，则函数最小值，即可判断A；利用表格数据得到，对称轴公式求得，即可判断B；利用二次函数的性质即可判断C；利用函数的最小值即可判断D．
【详解】解：由图表中数据可得出：对称轴为直线，而时，函数有最小值，所以二次函数开口向上，，故A错误；
，
，
时，，
，故B错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故C错误；
∵抛物线开口向上，函数有最小值，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程无解，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的抛物线的解析式为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝3x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝3（x+2）2；
再向下平移5个单位为：y＝3（x+2）2﹣5．
故答案为：y＝3（x+2）2﹣5
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】过点作于，交于，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为．
∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线与y轴的交点坐标为，
∴． 取，时，二次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．
12. 已知点C是线段的黄金分割点，若线段的长，则线段的长为________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义得，代入的长计算即可．
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金比，如果点C是线段的黄金分割点，那么．
13. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是________．
【答案】，##，
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴，
∵与x轴的一个交点横坐标是，
∴设与x轴的另外一个交点横坐标是
∴，
解得：，
∴方程的解是：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．
14. 如图，在中，，，点为中点，点在上，当为_______时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】3或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
先得到，再分与两种情况讨论即可解答．．
【详解】解：当时，
，
∴，
，
当时，
，
∴，
，
综上，或，
故答案为：3或．
15. 如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作，交于点M，证明 推出，再证明推出 ，从而可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作，交于点M，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
16. 已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号）
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴②错误．
∵，
∴③正确．
∵当时，，
∴．
∴④错误．
当时，有最大值为，
∴对于任意实数m，总有，
∴对于任意实数m，总有．
∴⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）．
17. 如图，在中，，点在上，于点．
（1）求证：；
（2），且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质．
（1）根据，，可得，即可证明；
（2）由，得到，即可求解．
【小问1详解】
证明：于点，，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，，，
，
．
18. 线段a、b、c，且
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足，求的值；
【答案】（1）；（2）3．
【解析】
【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案；
（2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）设，则，，，
由得：，解得，
所以，，，
所以．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
19. 已知二次函数．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）顶点为（1，-4）；对称轴为 x=1；作图见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先将二次函数一般式通过配方法化为顶点式进而即可得出二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图即可；
（2）由题意直接观察图象，即找出位于x轴下方时对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵=，
∴顶点为（1，-4），
对称轴为 x=1，
列表得：
描点、连线得到的图象，如图所示：
（2）由图象可知，当y＜0时，就是图象位于x轴下方的所对应的自变量的取值范围，
即：当-1时，y＜0．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，列表、描点、连线是画函数图象的基本方法，同时也可利用对称性，画二次函数的图象．
20. 如图，在中，为上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】20. 见解析；
21. 9．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．
（1）根据两角对应相等证明；
（2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可．
【小问1详解】
证明：，，
；
【小问2详解】
解：设，
，
，
，
解得，；
即．
21. 网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可
（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
如图所示，,，,
∴，，
∴
【点睛】本题考查作图与相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
22. 如图，A直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别证明，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再结合相似三角形的性质得出比例式，再代入相关数值即可得出结论．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴
【小问2详解】
在中，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴
∴
【点睛】本题主要考查了相似三角形性质，证明是解答本题的关键．
23. 为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
【答案】33米
【解析】
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABC∽△EDC，再根据对应边的比相等求得答案．
【详解】解：根据题意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
则△ABC∽△EDC，
所以＝，即＝，
解得：AB＝33，
答：建筑物AB的高度为33m．
【点睛】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
24. 抛物线．
（1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
（2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标）
（3）当，求抛物线的解析式．
【答案】（1）无论为何值这条抛物线都与轴至少有一个交点；
（2），．
（3）或．
【解析】
【分析】（1）计算证明即可；
（2）令可求得点C的坐标，令求得方程的解，从而可求得点A、B的坐标；
（3）利用三角形的面积建立方程求得m的值从而可求得抛物线的解析式．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴无论m为何值这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
【小问2详解】
∵，
∴当时，得：，
∴点C的坐标为．
∵当时，得；，
解得：或，
∴，．
【小问3详解】
∵，．
∴，，
∵，
∴．
解得：，．
∴或．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标问题，求解抛物线与坐标轴的交点坐标，坐标与图形面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．
25. 材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合地物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为．
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的解析式；
（2）若距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）这两条吊索的总长度为．
【解析】
【分析】（1）以点A为坐标原点，直线为x轴，为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知点P为该抛物线顶点，且其坐标为，，即可设该抛物线解析式为，再将代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式．（建立不同的坐标系所求解析式不同，故答案不唯一）；
（2）根据求出抛物线解析式，将和代入解析式中，即可求得两根吊索的长度，从而可以求得两根吊索总长度．
【小问1详解】
如图，以点A为坐标原点，直线为x轴，为y轴建立平面直角坐标系．
∵两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，
∴点P为该抛物线顶点，且其坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
将代入，得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
【小问2详解】
距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，
∴所需更换的点的横坐标为或．
将代入，得．
代入，得．
∴这两条吊索的总长度为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的建立平面直角坐标系并利用待定系数法求出函数解析式是解题关键
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）若a＝1，
①求抛物线顶点坐标；
②若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是 ．
【答案】（1）①（1，-1）；②m＝3；（2）
【解析】
【分析】（1）①代入a＝1，得到，即可求出结果；
②根据抛物线的对称性可得到然后列二元一次方程组，求得，代入其中一个即可求得m的值；
（2）列方程x2﹣2ax+a2﹣1=m，解出 由x1≤b﹣3，且x2≥b+7，可推出 求解即可．
【详解】解：（1）①a＝1，
，
抛物线顶点坐标为（1，-1）；
② P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点，
P、Q两点纵坐标相同，

又2x2﹣x1＝7，
，
解得，
将代入原方程，得m＝3；
（2）根据题意， x2﹣2ax+a2﹣1=m，


故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括顶点坐标，对称性，抛物线与x轴的交点坐标等，有一定综合性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
27. 如图，在等边△中，作，边CD、BD交于点D，连接AD.
（1）请直接写出的度数；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段AC、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）60°；（2）；（3）.证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设AB与CD的交点为O，有，，根据三角形内角和定理可得:==60°；
（2）有两角相等得△AOC∽△DOB，所以，且夹角相等，再得△AOD∽△COB，从而求得.
（3）现由SAS证明△ADE≌△ADB，再证明是等腰直角三角形即可解答.
【详解】（1）；
（2）设AB与CD的交点为O.
∵，，
∴△AOC∽△DOB.
∴.
∵，
∴△AOD∽△COB.
∴.
（3）答案一：线段AC、BD、CD三者之间的数量关系为.
证明：如图，延长CD到点E，使，连接AE.
∵，
∴.
∵，
∴.
在△ADE和△ADB中，
∴△ADE≌△ADB.
∴，.
∵，
∴，.
∴.
∴.
另一种证法：延长BD到点E，使，连接AE.
答案二：线段AC、BD、CD三者之间的数量关系为.
证明：如图，在D C上截取，连接BE，过点A作AF⊥CD于点F.
可证△ADB≌△CEB，可得，
，.
，
，.
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质的综合运用，直角三角形的判定、勾股定理，解答关键是分析题意，找出要求问题需要的条件，合理选择定理，找准对应边、角.
28. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
（1）①已知点，则______．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．
（2）函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
【答案】（1）①，②
（2），
【解析】
【分析】（1）①根据公式直接计算即可；②根据函数的图象上的点的横纵坐标均非负，可得，，，再根据，可得，即有，进而可得，解方程即可求解；
（2）函数化为顶点式为：，即可得，，根据点是图象上一点，可得，，，则有，即可得，问题随之得解．
【小问1详解】
①∵，，
∴，
故答案为：；
②∵点B是函数的图象点，
∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴B点坐标为：，
【小问2详解】
函数化为顶点式为：，
∴，
∵，点是图象上一点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，
∴D点坐标为：，
即最小值为3，D点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：，是解答本题的关键．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
2
5
10
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…