2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区龙马高中学士山学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区龙马高中学士山学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. b6+b3=b2B. b3⋅b3=b9C. a2+a2=2a2D. (a3)3=a6
3.在平面直角坐标系中，点M(−2,6)关于原点对称的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知1是关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是( )
A. 1B. −1C. 0D. 无法确定
5.若方程(m−1)xm2+1−2x−m=0是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A. −1B. 1C. 5D. −1或1
6.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )
A. 7×10−7B. 0.7×10−8C. 7×10−8D. 7×10−9
7.若关于x的一元二次方程kx2−x−34=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k=0B. k≥−13且k≠0C. k≥−13D. k>−13
8.一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.将抛物线y=2(x−4)2−1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( )
A. y=2x2+1B. y=2x2−3
C. y=2(x−8)2+1D. y=2(x−8)2−3
10.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
11.下列图象都是由相同大小的
按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗
，第②个图形中一共有11颗
，第③个图形中一共有21颗
，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中
的颗数为( )
A. 116B. 144C. 145D. 150
12.已知二次函数y=x2−2mx(m为常数)，当−1≤x≤2时，函数值y的最小值为−2，则m的值是( )
A. 32B. 2C. 32或 2D. −32或 2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式：3a2−27=______．
14.已知x1，x2是一元二次方程x2−x−4=0的两实根，则1x1+1x2的值是______．
15.一个平行四边形的一条边长为4，两条对角线的长分别为6和2 7，则它的面积为______．
16.如图，等腰△ABC的底边BC=12，面积为48，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.化简：m2m2+2m+1÷(1−1m+1)
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
(12)−2−(π−3)0−|1− 2|．
19.(本小题6分)
如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求证：BC=DE．
20.(本小题7分)
某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛，它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画．要求每位同学必须参加，且限报一项活动．以九年级(1)班为样本进行统计，并将统计结果绘成如图1、图2所示的两幅统计图．请你结合图示所给出的信息解答下列问题．
(1)求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
(2)求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
(3)若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？
21.(本小题7分)
“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条．
(1)求出y与x之间的函数关系式(不用写自变量的取值范围)；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
22.(本小题8分)
交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，OP=100米，∠PBO=45°，这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为4秒，并测得∠APO=60°.求AB的距离和此车的速度.(结果保留整数，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
23.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若1x1+1x2=−1，求k的值．
24.(本小题12分)
如图(1)，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF．

(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC=8，DE=2，求△AEF的面积．
(3)如图(2)，若点E是CD中点，点G是线段AE上的动点，连接AC，点H是线段AC上的动点，AB=4，求DH+GH的最小值．
25.(本小题12分)
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,c)，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？求这个最大值；
(3)是否存在这样的点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
A、b6+b3，无法计算，故此选项错误；
B、b3⋅b3=b6，故此选项错误；
C、a2+a2=2a2，正确；
D、(a3)3=a9，故此选项错误．
故选C．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：由M(−2,6)关于原点对称，得
(2,−6)，
故选：D．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出对称点是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：(m−1)+1+1=0，
解得：m=−1．
故选：B．
把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，据此得出关于m的方程，解之即可．
【解答】
解：由(m−1)xm2+1−2x−m=0是关于x的一元二次方程，得
m2+1=2，且m−1≠0．
解得m=−1，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】本题考查科学记数法.熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
解：0.000000007=7×10−9．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知：Δ=(−1)2−4×k×(−34)=1+3k≥0，
∴k≥−13，
∵k≠0，
∴k≥−13且k≠0，
故选：B．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
8.【答案】D
【解析】解：在A中，由一次函数图象可知a>0，b>0，二次函数图象可知，a<0，b<0，故选项A错误；
在B中，由一次函数图象可知a>0，b>0，二次函数图象可知，a>0，b<0，故选项B错误；
在C中，由一次函数图象可知a<0，b>0，二次函数图象可知，a<0，b<0，故选项C错误；
在D中，由一次函数图象可知a<0，b<0，二次函数图象可知，a<0，b<0，故选项D正确；
故选：D．
根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象判断a、b的正负情况．
9.【答案】A
【解析】解：抛物线y=2(x−4)2−1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2(x−4+4)2−1，即y=2x2−1；再将抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2−1+2，即y=2x2+1，
故选：A．
根据平移的规律即可得到平移后抛物线的解析式．
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握图象平移的规律：左加右减y值不变，上加下减x值不变．并用规律求函数解析式是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°，
∴∠EFD=60°−45°=15°．
故选：B．
由旋转前后的对应角相等可知，∠DFC=∠BEC=60°；一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，把这两个角作差即可．
本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
11.【答案】B
【解析】解：∵4=1×2+2，
11=2×3+2+3
21=3×4+2+3+4
第4个图形为：4×5+2+3+4+5，
∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．
故选：B．
根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是构成上面的规则的长方形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系得到答案．
此题主要考查了图形变化规律，正确得出每个图形中小星星的变化情况是解题关键．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】
解：y=x2−2mx=(x−m)2−m2，
①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，
解得：m=−32；
②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，
解得：m=32<2(舍)；
③若−1≤m≤2，当x=m时，y=−m2=−2，
解得：m= 2或m=− 2<−1(舍)，
∴m的值为−32或 2．
13.【答案】3(a+3)(a−3)
【解析】解：3a2−27
=3(a2−9)
=3(a+3)(a−3)．
故答案为：3(a+3)(a−3)．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
14.【答案】−14
【解析】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=−4，
则1x1+1x2=x1+x2x1x2=1−4=−14，
故答案为：−14．
根据根与系数的关系得x1+x2=1，x1x2=−4，利用代数式变形分别得到x1+x2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
15.【答案】6 7
【解析】解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为3和 7，
∵32+( 7)2=42，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S=12×6×2 7=6 7．
故答案为：6 7．
根据勾股定理的逆定理可得对角线互相垂直，然后根据菱形性质可求出面积．
本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．
16.【答案】 73+3
【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，
∵12⋅BC⋅AH=48，
∴AH=8，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=6，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=3，
∴AF= AH2+HF2= 82+32= 73，
∴DF+DC的最小值为 73．
∴△CDF周长的最小值为 73+3；
故答案为： 73+3．
如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长．
本题考查轴对称−最短路径问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：原式=m2(m+1)2÷m+1−1m+1=m2(m+1)2⋅m+1m=mm+1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(12)−2−(π−3)0−|1− 2|
=4−1−( 2−1)
=4−1− 2+1
=4− 2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠1+∠EAB，
∠DAE=∠2+∠EAB，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，AC=AE∠CAB=∠DAEAB=AD，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴BC=DE．
【解析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)学生的总数是：2040%×100%=50(人)，
参加书法比赛的学生所占的比例是：1050×100%=20%，
则参加绘画比赛的学生所占的比例是：1−28%−40%−20%=12%，
(2)参加书法比赛的学生所占的比例是20%，
则扇形的圆心角的度数是：360×20%=72°；
(3)参加演讲比赛的人数是：600×28%=168(人)，
参加唱歌比赛的人数是：600×40%=240(人)．
【解析】(1)各个项目的人数的和就是总人数，然后利用参加绘画比赛的学生数除以总人数即可求解；
(2)利用对应的百分比乘以360度即可求解；
(3)利用总人数600乘以对应的百分比即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：(1)由题意可得：y=100+5(80−x)=−5x+500，
∴y与x的函数关系式为y=−5x+500；
(2)由题意得：
w=(x−40)(−5x+500)
=−5x2+700x−20000
=−5(x−70)2+4500，
∵a=−5<0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，即当x=70时，w最大值=4500，
∴降价为80−70=10(元)，
每条裤子的售价降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元．
【解析】(1)根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，写出y与x的函数关系式；
(2)该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】解：∵∠POB=90°，∠PBO=45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB=OP=100米，
∵∠APO=60°，
∴tan∠APO=OAOP=tan60°= 3，
∴OA= 3OP=100 3≈173(米)，
∴AB=OA−OB≈173−100=73(米)，
∴73÷4≈18(米/秒)，
答：AB的距离约为73米，此车的速度约为18米/秒．
【解析】证明△POB是等腰直角三角形，得OB=OP=100米，再由锐角三角函数定义求出OA的长，即可解决问题．
此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，求出OA的长是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+3)2−4k2>0，
解得：k>−34．
(2)∵x1、x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=−2k−3，x1x2=k2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−(2k+3)k2=−1，
解得：k1=3，k2=−1，
经检验，k1=3，k2=−1都是原分式方程的根．
又∵k>−34，
∴k=3．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=−2k−3、x1x2=k2，结合1x1+1x2=−1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)根据根与系数的关系结合1x1+1x2=−1找出关于k的分式方程．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
∵F是CB的延长线上的点，
∴∠D=∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
AD=AB∠D=∠ABF=90°DE=BF，
∴△ADE≌△ABF(SAS)；
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，BC=8，
∴AD=BC=8，∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ADE中，AD=8，DE=2，
由勾股定理得：AE= AD2+DE2=2 17，
由(1)可知：△ADE≌△ABF，
∴AE=AF=2 17，∠DAE=∠BAF，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，
∴S△AEF=12AE⋅AF=12×2 17×2 17=34；
(3)解：连接BD，BH，过点B作BN⊥AE于点N，如下图所示：

∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴AB=CD=AD=4，∠BAD=∠ADC=90°，AC与BD互相垂直平分，
∴DH=NH，
∴DH+GH=BH+GH，
∴当B，H，G在同一条直线上且BG⊥AE时，BH+GH为最小，
最小值为线段BN的长，
∵点E为线段CD的中点，CD=AB=4，
∴DE=12CD=2，
在Rt△ADE中，AD=4，DE=2，
由勾股定理得：AE=√ AD2+DE2=2 5，
∵∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAN+∠DAE=90°，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠BAN=∠AED，
∵BN⊥AE，∠ADC=90°，
∴∠BNA=∠ADC=90°，
∴△ABN∽△EAD，
∴BN：AD=AB：AH，
即BN：4=4：2 5，
∴BN=8 55．
∴DH+GH的最小值为8 55．
【解析】(1)根据正方形得到性质得AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，再根据DE=BF可依据“SAS”判定△ADE和△ABF全等；
(2)先利用勾股定理求出AE=2 17，根据△ADE≌△ABF得AE=AF=2 17，∠DAE=∠BAF，进而证∠EAF=90°，然后根据三角形的面积公式可得出△AEF的面积；
(3)连接BD，BH，过点B作BN⊥AE于点N，根据正方形的性质得AB=CD=AD=4，∠BAD=∠ADC=90°，AC与BD互相垂直平分，进而得DH=NH，则DH+GH=BH+GH，因此当B，H，G在同一条直线上且BG⊥AE时，BH+GH为最小，最小值为线段BN的长，利用勾股定理求出AE=2 5，证△ABN和△EAD相似，然后利用三角形的性质求出BN=8 55，由此可得DH+GH的最小值．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)∵B(4,c)在直线y=x+2上，
∴c=4+2=6，
∴点B(4,6)，
∵A( 12，52)和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)上，
∴14a+12b+6=5216a+4b+6=6，
解得：a=2b=−8，
∴抛物线的解析式为：y=2x2−8x+6；
(2)设动点P的坐标为(n,n+2)，则点C的坐标为：(n,2n2−8n+6)，
∴PC=(n+2)−(2n2−8n+6)=−2n2+9n−4=−2(n−94)2+498，
∴当n=94时，线段PC最大，最大值为498，
∴存在这样的点P，使线段PC的长有最大值，这个最大值为498；
(3)存在．
i)若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC/​/y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii)若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如图1，过点A( 12，52)作AN⊥x轴于点N，则ON=12，AN=52．

过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=52，
∴OM=ON+MN=12+52=3，
∴M(3,0)．
设直线AM的解析式为：y=kx+s，
则：12k+s=523k+s=0，解得k=−1s=3，
∴直线AM的解析式为：y=−x+3 ①，
又抛物线的解析式为：y=2x2−8x+6 ②，
联立①②式，y=−x+3y=2x2−8x+6，
解得：x=3 y=0或x=12y=52(与点A重合，舍去)，
∴C(3,0)，即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1(3,5)；

iii)若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2−8x+6=2(x−2)2−2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如图2，作点AA( 12，52)关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C(72,52).
当x=72时，y=x+2=112．
∴P2(72,112).
∵点P1(3,5)、P2(72,112)均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3,5)或(72,112).
【解析】(1)首先由B(4,c)在直线y=x+2上，求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
(2)首先设动点P的坐标为(n,n+2)，则点C的坐标为：(n,2n2−8n+6)，即可得PC=(n+2)−(2n2−8n+6)，继而求得答案；
(3)分别从若A为直角顶点与若C为直角顶点，去分析求解即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质、直角三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．