2023年广东省东莞市石龙镇中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省东莞市石龙镇中考数学一模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果“亏损5%”记作−5%，那么+3%表示( )
A. 多赚3%B. 盈利−3%C. 盈利3%D. 亏损3%
2.据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入210500000000元，将旅游收入210500000000元用科学记数法表示为( )
A. 2.105×1011元B. 2.105×1012元C. 2.105×1010元D. 2.105×108元
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.有一组从小到大排列的数据：1，3，3，x，6，下列结论中，正确的是( )
A. 这组数据可以求出极差B. 这组数据的中位数不能确定
C. 这组数据的众数是3D. 这组数据的平均数可能是3
5.某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九(1)班有2人报名，九(2)班有4人报名，九(3)班有6人报名.若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九(1)班同学当选的概率是( )
A. 112B. 13C. 12D. 16
6.将抛物线y=x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为( )
A. y=x2+2x−3B. y=x2−2x+3C. y=x2+2x+3D. y=x2−2x−3
7.已知关于x的不等式x−23>x2−1的解集是( )
A. x>2B. x<2C. x<−2D. x>−2
8.若点A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y=k2+1x(k为常数)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为( )
A. y19.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为( )
A. 10.5B. 7 3−3.5C. 11.5D. 7 2−3.5
10.如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°.设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的( )
A. 线段CGB. 线段AGC. 线段AHD. 线段CH
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，点(5,−1)关于原点对称的点的坐标是 ．
12.若−15xy2与5xmyn是同类项，则m−n= ______．
13.如果2x−y=3，那么代数式4x−2y+1的值为______．
14.如图，点A是反比例函数y=kx图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC/​/AD，四边形ABCD的面积为4，则k=______．
15.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF=45°，AE交BD于点G，tan∠BAE=12，BF=2，则FG= ．
三、计算题：本大题共3小题，共25分。
16.2sin60°−(π−2)0+(13)−2+|1− 3|
17.先化简：(a+2+52−a)⋅2a−43−a，然后从0≤a≤3的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
18.某中学为了更好地开展阳光体育运动，号召学生参加跳绳、乒乓球、羽毛球、篮球四项运动．九(1)班积极响应学校号召，要求全班学生根据自己的爱好只参加其中一项．九(1)班班主任将本班学生参加四项活动情况进行统计，绘制了两幅统计图的一部分(如图)，请你结合图中的信息，解答下列问题：
(1)九(1)班共有______名学生参加四项活动；
(2)将两个统计图补充完整；
(3)学校准备从该班参加篮球运动的6名学生中随机选2名，组成校篮球队．若参加篮球运动的6名学生中，有4名男生2名女生，则学校选取的2名学生中，恰好男女生各一名的概率是多少？
四、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB=10cm．
(1)作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法)
(2)连接CE，求△BCE的周长．
20.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=mx(m≠0)相交于A，B两点，点A坐标为(3,2)，点B坐标为(n,−3)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b>mx的解集．
21.(本小题9分)
今年4月23日是第26个世界读书日．八(1)班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集(套)和四大名著(套)．
(1)采购员从市场上了解到四大名著(套)的单价比鲁迅文集(套)的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集(套)的数量与花费1500元购买四大名著(套)的数量相同．求鲁迅文集(套)和四大名著(套)的单价各是多少元？
(2)若购买鲁迅文集和四大名著共10套(两类图书都要买)，总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？
22.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAB，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tan∠CAB=23，BD=4，求⊙O的半径；
(3)若BC=2AE，求sin∠CAB的值．
23.(本小题12分)
抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C.连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵“亏损5%”记作−5%，
∴+3%表示表示盈利3%．
故选：C．
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2.【答案】A
【解析】解：210500000000=2.105×1011，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断．
此题主要考查轴对称图形和中心对称图形识别，解题的关键是熟知其两图形的定义．
4.【答案】A
【解析】解：A、这组数据的最大值与最小值的差为6−1=5，故极差为5，故本选项符合题意；
B、这组数据的中位数是3，故本选项不符合题意；
C、3出现了2次，次数最多，但当x=6时，3和6都是该组数据的众数，故本选项不符合题意；
D、若这组数据的平均数等于3，可求出x=2，但该组数据为从小到大排列，故本选项不符合题意．
故选：A．
分别根据众数、平均数、极差、中位数的定义解答．
本题考查了极差、算术平均数、中位数、众数，知道各统计量是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵九(1)班有2人报名，九(2)班有4人报名，九(3)班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九(1)班有2名，
∴P=212=16；
故选：D．
用一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】C
【解析】解：将抛物线y=x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
得到的抛物线的解析式为y=(x+1)2+2=x2+2x+3.即y=x2+2x+3．
故选：C．
根据解析式平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
首先去分母，再去括号、移项，合并同类项，然后把x的系数化成1，即可求解．
此题考查了一元一次不等式的解法，解不等式依据不等式的基本性质．
【解析】
解：去分母，得2(x−2)>3x−6
去括号，得2x−4>3x−6，
移项，得2x−3x>−6+4，
合并同类项，得−x>−2，
系数化为1，得x<2，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：∵k2+1>0，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴A(−2,y1)、B(−1,y2)在第三象限内，C(1,y3)在第一象限内，
∵−1>−2，
∴y1>y2，
∴y2故选：C．
由k2+1>0，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，A(−2,y1)、B(−1,y2)在第三象限内，C(1,y3)在第一象限内，分别判断即可．
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握k对反比例函数图象的影响，特别注意要在每个象限内求解是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连结OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=7，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=12AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=12AB=3.5，
∴GE+FH=GH−EF=14−3.5=10.5．
故选：A．
连结OA，OB，可证△AOB是等边三角形，由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=12AB=3.5为定值，则GE+FH=GH−EF=GH−3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14−3.5=10.5．
本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；
若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；
若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；
若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；
故选D．
根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
11.【答案】(−5,1)
【解析】解：点P(5,−1)关于原点对称的点的坐标是(−5,1)，
故答案为：(−5,1)．
根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：由题意可知：m=1，n=2，
∴m−n=1−2=−1，
故答案为：−1．
根据同类项的概念即可求出答案．
本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的概念，本题属于基础题型．
13.【答案】7
【解析】解：∵2x−y=3，
∴4x−2y=6，
∴4x−2y+1=6+1=7，
故答案为：7．
根据2x−y=3，由等式的性质可得，4x−2y=6，再整体代入可求出结果．
考查等式的性质、代数式求值．整体代入是代数式求值常用的方法，将代数式进行适当的变形，是解决问题的关键．
14.【答案】−4
【解析】解：连接OA，
∵AB⊥y，BC/​/AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵平行四边形ABCD的面积为4，即，AB⋅OB=4，
∴S△AOB=12AB⋅OB=2=12|k|，
∴k=−4或k=4(舍去)
故答案为：−4．
根据题意可得出四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的面积为4，可求出直角三角形AOB的面积为2，再根据反比例函数k的几何意义求出答案．
本题考查反比例函数k的几何意义，连接反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，
则△EHC是等腰直角三角形，
设EH=a，则CH=a，CE= 2a，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，
∴tan∠BAE=BEAB=12，
∴BE=12AB，
∴BE=CE= 2a，
∴AB=BC=2 2a，
∴AC=4a，AH=3a，
∴tan∠EAH=EHAH=13，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAF=∠EAC，
∴tan∠BAF=tan∠EAH=13，
∵BF=2，
∴AB=6，BE=CE=3，
∴AE=3 5，AF=2 10，
∴EF=5，
∵AD/​/BC，
∴△ADG∽△EBG
∴AD：BE=AG：GE=2：1，
∴GE= 5，
∵EF：GE=5： 5= 5：1，
AE：BE=3 5：3= 5：1，
∠GEF=∠BEA，
∴EF：GE=AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF=∠ABE=90°，
∴∠AGF=90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG= 22AF=2 5．
故答案为：2 5．
过点E作EH⊥AC于点H，则△EHC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三边关系及tan∠BAE=12，可求得tan∠EAH=EHAH=13；又tan∠BAF=tan∠EAH=13，可得出各个边的长度；由EF：GE=AE：BE= 5：1，及∠GEF=∠BEA，可得△GEF∽△BEA，则∠EGF=∠ABE=90°，所以△AGF是等腰直角三角形，所以FG= 22AF=2 5．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形、相似三角形的判定与性质等内容，证得∠BAF的正切值及△AGF是等腰直角三角形是解题的关键．
16.【答案】解：原式=2× 32−1+9+ 3−1=2 3+7
【解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂负整数指数幂、绝对值得到原式=2× 32−1+9+ 3−1，然后合并即可．
本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂负整数指数幂、绝对值的运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(a+21−5a−2)⋅2a−43−a
=a2−4−5a−2⋅2(a−2)3−a
=(a−3)(a+3)a−2⋅2(a−2)3−a
=−2(a+3)
=−2a−6，
当a=0时，原式=−6．
【解析】先将分式化简，再选择适当的a值代入求值即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
18.【答案】40
【解析】解：(1)九(1)班的人数=16÷40%=40(人)；
故答案为400；
(2)参加羽毛球运动的人数=40×25%=10(人)，
参加篮球球运动的百分比=640×100%=15%，参加乒乓球运动的百分比=1−40%−25%−15%=20%，
如图，
(3)画树状图为：
共有30种等可能的结果数，其中一男一女生占16种，所以恰好男女生各一名的概率=1630=815．
(1)用跳绳的人数除以跳绳所占的百分比即可得到全班人数；
(2)用全班人数乘以羽毛球运动所占的百分比即可得到参加羽毛球的人数，再分别计算出参加篮球和乒乓球运动的百分比，然后补全统计图；
(3)先画出树状图，展示所有30种等可能的结果数，再找出一男一女生所占结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．
19.【答案】解：(1)如图，DE为所作；

(2)∵ED垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴△BCE的周长=BE+BC+CE=BE+EA+BC=AB+BC=10+8=18(cm)．
【解析】(1)利用基本作图作AC的垂直平分线；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，然后利用等线段代换得到△BCE的周长=AB+BC．
本题考查了作图−基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵双曲线y=mx(m≠0)过点A(3,2)，
∴m=3×2=6，
∴反比例函数表达式为y=6x，
∵点B(n,−3)在反比例函数y=6x的图象上，
∴n=−2，
∴B(−2,−3)．
∵点A(3,2)与点B(−2,−3)在直线y=kx+b上，
∴3k+b=2−2k+b=−3解得k=1b=−1，
∴一次函数表达式为y=x−1；
(2)由图像可知，关于x的不等式kx+b>mx的解集是−23．
【解析】(1)把点A(3,2)、点B(n,−3)代入y=mx(m≠0)，即可求得m、n的值；
(2)由函数的图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设鲁迅文集(套)的单价为x元，则四大名著(套)的单价是(x+25)元，
由题意得：1000x=1500x+25，
解得：x=50，
经检验，x=50是方程的解，且符合题意，
∴x+25=50+25=75，
答：鲁迅文集(套)的单价是50元，四大名著(套)的单价是75元；
(2)设购买鲁迅文集a套，
由题意得：50a+75(10−a)≤570，
解得：a≥7.2，
∵a<10且a为正整数，
∴a=8或9，
则该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套．
【解析】(1)设鲁迅文集(套)的单价为x元，则四大名著(套)的单价是(x+25)元，由题意：花费1000元购买鲁迅文集(套)的数量与花费1500元购买四大名著(套)的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买鲁迅文集a套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共10套(两类图书都要买)，总费用不超过570元，列出一元一次不等式，求出正整数解，即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵∠BCD=∠CAB，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△ABC中，tan∠CAB=BCAC=23，
∵∠BCD=∠CAB，∠D=∠D，
∴△DBC∽△DAC，
∴CDAD=BDCD=BCAC=23，
∴4CD=23，
∴CD=6，
∴6AD=23，
∴AD=9，
∴AB=AD−BD=9−4=5，
∴⊙O的半径=12AB=52；
(3)解：设AB=a，AE=k，则BC=EC=2k，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACE=90°，
∵CE=CB，
∴BC=CE，
∴∠FAC=∠BAC．
在△BAC和△FAC中，
∠ACB=∠ACF=90°AC=AC∠BAC=∠FAC，
∴△BAC≌△FAC(ASA)，
∴AB=AF=a，BC=FC=2k，
∴EF=AF−AE=a−k，FB=4k．
∵∠FCE为圆内接四边形ABCE的外角，
∴∠FCE=∠FAB，
∵∠F=∠F，
∴△FCE∽△FAB，
∴ECAB=FEFB，
∴2ka=a−k4k，
∴k=−1+ 3316a或k=−1− 3316a(负数不合题意，舍去)，
∴sin∠CAB=BCAB=2ka=−1+ 338．
【解析】(1)根据圆周角定理，等腰三角形的性质得出∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
(2)利用直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质求得线段CD，AD，则AB=AD−BD，圆的直径可求，则半径可得；
(3)设AB=a，AE=k，则BC=EC=2k，利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质得到：EF=AF−AE=a−k，FB=4k，再利用圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，
∴设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，
即−4a=−2，解得：a=12，
∴抛物线的解析式为：y=12x2−32x−2；
(2)设点P的坐标为(m,0)，
则PB2=(m−4)2，PC2=m2+4，BC2=20，
①当PB=PC时，(m−4)2=m2+4，解得：m=32；
②当PB=BC时，同理可得：m=4±2 5；
③当PC=BC时，同理可得：m=±4(舍去4)，
故点P的坐标为：(32,0)或(4+2 5,0)或(4−2 5,0)或(−4,0)；
(3)∵C(0,−2)
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0,2)，
设直线BD的解析式为y=kx+2，又B(4,0)
解得k=−12，
∴直线BD的解析式为y=−12x+2；
则点M的坐标为(m,−12m+2)，
点Q的坐标为(m,12m2−32m−2)，
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形
∴(−12m+2)−(12m2−32m−2)=2−(−2)，
解得m1=0(不合题意舍去)，m2=2，
∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形．
【解析】(1)抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，故抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，即−4a=−2，解得：a=12，即可求解；
(2)分PB=PC、PB=BC、PC=BC三种情况，分别求解即可；
(3)直线BD的解析式为y=−x+2；如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，则(−m+2)−(12m2−32m−2)=2−(−2)，即可求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质、一次函数性质、待定系数法、两点间距离公式、平行四边形性质、等腰三角形的性质等，解决此题的关键是注意分类讨论．