2023-2024学年山东省青岛市胶州市瑞华实验中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛市胶州市瑞华实验中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在 8，3.1415，π， 144，36，2.123122312223…(1和3之间的2逐次加1个)中，无理数个数为( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是( )
A. 如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°
B. 如果a：b：c=1： 3：2，那么△ABC是直角三角形
C. 如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么△ABC是直角三角形
D. 如果∠A−∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
3.数轴上表示数5− 17的点应在( )
A. −1与0之间B. 0与1之间C. 1与2之间D. 2与3之间
4.点P(m+3,m+1)在x轴上，则点P坐标为( )
A. (0,−4)B. (4,0)C. (0,−2)D. (2,0)
5.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 6cm2
D. 12cm2
6.如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m.钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 2m，则CC′的长为( )
A. 2m
B. 2 2m
C. 3m
D. 2 3m
7.如图的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是 3和−1，则点C所对应的实数是( )
A. 1+ 3B. 2+ 3C. 2 3−1D. 2 3+1
8.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计)．( )
A. 14B. 18C. 20D. 25
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二次根式 a−15与 18可以合并，则a可能的取值是( )
A. 18B. 23C. 47D. 51
10.下列说法正确的是( )
A. 9的算术平方根是 3
B. 1的平方根是它本身
C. 49的平方根是±23
D. 若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数为1
三、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.(1)−12527的立方根是______；
(2) 16的平方根是______；
(3) (3−π)2= ______．
12.比较大小：6 5______7 3.(填“>”，“=”，“<”号)
13.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a−1|+ a2的结果是______．
14.若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 ．
15.已知点A的坐标为(1,2)，直线AB/​/x轴，且AB=5，则点B坐标为______．
16.长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是______．
17.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为______．
18.如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1= 2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2= 3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…；依此继续，得OP2023= ______．
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题24分)
计算：
(1) 12+ 18 3−2 12× 3；
(2)(7−4 3)(7+4 3)−( 3−1)2；
(3)3 20− 45− 15；
(4)( 3−2)2−( 2+1)( 2−1)；
(5)( 27− 12)× 3；
(6) 27+3 13− 75．
20.(本小题8分)
已知点P(2a−2,a+5)，解答下列各题．
(1)点P在x轴上，求出点P的坐标；
(2)点Q的坐标为(4,5)，直线PQ/​/y轴；求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2022的值．
21.(本小题10分)
如图，热气球探测器显示，从热气球A处到一栋高楼顶部的距离AB=34m，到高楼底部的距离AC=50m，热气球A处到这栋高楼外墙D处的距离为30m，又测得DC=40m，求这栋楼的高度．
22.(本小题10分)
阅读下列解题过程：
1−34= 14= (12)2=12；
1−59= 49= (23)2=23；
1−716= 916= (34)2=34；
……
(1)计算： 1−1349= ______；
(2)按照你所发现的规律，猜想： 1−2n+1(n+1)2= ______；(n为正整数)
(3)计算： 1−34× 1−59× 1−716×…× 1−19910000．
23.(本小题10分)
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为边AB的中点，DE⊥AB交边AC于点E．

(1)AE ______EB(填“>”、“=”、“<”)；
(2)求AE的长；
(3)如图2，点P从点B出发以每秒1个单位长度向点C运动；同时点Q从点C出发以每秒2个单位长度向点A运动，设运动时间为t秒，在点P、O运动过程中，四边形CPDQ的面积是否发生变化，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 8，π，36，2.123122312223……(1和3之间的2逐次加1个)是无理数，
有4个，
故选：C．
逐个数进行判断得出答案．
本题考查无理数的意义，掌握无限不循环的小数是无理数是正确判断的前提．
2.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，
如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，正确，不符合题意；
如果a：b：c=1： 3：2，那么△ABC是直角三角形，正确，不符合题意；
如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么△ABC是直角三角形，错误，符合题意；
如果∠A−∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，正确，不符合题意，
故选：C．
根据直角三角形的判定逐一判断即可．
本题考查了勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵16<17<25，
∴4< 17<5，
∴−5<− 17<−4，
∴−5+5<5− 17<−4+5，即0<5− 17<1，
故选：B．
先根据无理数的估算方法估算出4< 17<5，继而得到−5<− 17<−4，由此可得0<5− 17<1．
本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵点P(m+3,m+1)在x轴上，
∴y=0，
∴m+1=0，
解得：m=−1，
∴m+3=−1+3=2，
∴点P的坐标为(2,0)．
故选：D．
根据点P在x轴上，即y=0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9−AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选C．
根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得：AB′=AB=6m，BC=2m，
则AC= AB2−BC2= 62−22=4 2(m)，
AC′= AB′2−B′C′2= 62−(3 2)2=3 2(m)，
故CC′的长为：AC−AC′=4 2−3 2= 2(m)．
故选：A．
直接利用勾股定理求出AC，AC′的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵A、B两点对应的实数是 3和−1，
∴AB= 3+1，
∵点B与点C关于点A对称，
∴AC= 3+1，
∴点C所对应的实数是2 3+1，
故选：D．
先求得AB的长度，根据点B与点C关于点A对称，即可得出AC的长，再用AC的长度加上 3即可得出点C所对应的实数．
本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
8.【答案】C
【解析】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′F，此时点A’、F、B在同一条直线上，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B= A′D2+BD2= 162+122=20(cm)．
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm，
故选：C．
将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
9.【答案】BC
【解析】解： 18=3 2，
A.当a=18时， a−15= 3，与 18不能合并，故本选项不符合题意；
B.当a=23时， a−15= 8=2 2，与 18能合并，故本选项符合题意；
C.当a=47时， a−15= 32=4 2，与 18能合并，故本选项符合题意；
D.当a=51时， a−15= 36=6，与 18不能合并，故本选项不符合题意；
故选：BC．
先求出 18=3 2，再把a的值代入 a−15，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质和同类二次根式的定义等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
10.【答案】AC
【解析】解：A． 9的算术平方根，也就是3的算术平方根为 3，因此选项A符合题意；
B.1的平方根是±1，因此选项B不符合题意；
C.49的平方根是± 49=±23，因此选项C符合题意；
D.若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数为0，因此选项D不符合题意；
故选：AC．
根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行判断即可．
本题考查平方根，算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
11.【答案】−53 ±2 π−3
【解析】解：(1)−12527的立方根是3−12527=−53；
(2) 16=4的平方根是± 4=±2；
(3) (3−π)2=π−3．
故答案为：(1)−53；(2)±2；(3)π−3．
根据立方根的定义和平方根的定义进行解题即可．
本题考查立方根，平方根和算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12.【答案】>
【解析】【分析】
本题考查了实数大小比较和二次根式的乘法.把根号外的因式平方后移入根号内，求出结果，再根据结果进行比较即可．
【解答】
解：根据题意可知，6 5= 180，7 3= 147，
∵180>147，
∴6 5>7 3．
故答案为>．
13.【答案】1
【解析】解：由题意得，0∴a−1<0，
∴|a−1|+ a2=1−a+a=1，
故答案为：1．
先根据题意得到0本题主要考查了实数与数轴，实数的性质和化简二次根式，正确得到a−1<0是解题的关键．
14.【答案】10或2 7
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
由于直角三角形的斜边不能确定，故分8是斜边与直角边两种情况进行解答．
【解答】
解：分情况讨论：
①当6和8为两条直角边时，由勾股定理得第三边长为： 62+82=10；
②当8为斜边，6为直角边时，由勾股定理得第三边长为： 82−62=2 7，
故答案为：10或2 7．
15.【答案】(−4,2)或(6,2)
【解析】解：AB/​/x轴，点A的坐标为(1,2)，
点B的纵坐标为2，
AB=5，
点B在点A的左边时，横坐标为1−5=−4，
点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6，
点B的坐标为(−4,2)或(6,2)．
故答案为(−4,2)或(6,2)．
根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解．
本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．
16.【答案】25cm
【解析】解：把左侧面展开到水平面上，连接AB，如图1，
AB= (10+20)2+52= 925=5 37(cm)
把右侧面展开到正面上，连接AB，如图2，
AB= 202+(10+5)2=25(cm)；
把向上的面展开到正面上，连接AB，如图3，
AB= 102+(20+5)2= 725=5 29(cm)．
∵ 925> 725>25
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．
故答案为：25cm．
分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连接AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连接AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
本题考查了平面展开−最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
17.【答案】 5
【解析】解：如图，连接AD，则AD=AB=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED= AD2−AE2= 32−22= 5．
故答案为： 5．
连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】 2024
【解析】解：由勾股定理得：OP1= 2，OP2= 3；OP3=2；
OP4= 22+12= 5；
依此类推可得OPn= n+1，
∴OP2023= 2023+1= 2024．
故答案为： 2024．
首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律，进而求出OP2023的长．
本题考查了勾股定理，解题的关键是由已知数据找到规律．
19.【答案】解：(1)原式= 123+ 183−2 22× 3
=2+ 6− 6
=2；
(2)原式=49−48−(3−2 3+1)
=1−4+2 3
=2 3−3；
(3)原式=6 5−3 5− 55
=14 55；
=6 5−3；
(4)原式=3−4 3+4−(2−1)
=7−4 3−1
=6−4 3；
(5)原式= 27×3− 12×3
=9−6
=3；
(6)原式=3 3+ 3−5 3
=− 3．
【解析】(1)先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简后合并即可；
(2)先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可；
(3)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(4)先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可；
(5)先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后进行有理数的减法运算；
(6)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵点P在x轴上，
∴a+5=0，
∴a=−5，
∴2a−2=−12，
∴点P的坐标为(−12,0)．
(2)∵点Q的坐标为(4,5)，直线PQ/​/y轴，
∴2a−2=4，
∴a=3，
∴a+5=8，
∴P(4,8)．
(3)由题意，2a−2=−(a+5)，
∴a=−1，
∴原式=(−1)2023+2022=2021，
∴a2023+2022的值为2021．
【解析】(1)根据x轴上的点纵坐标为0求解即可；
(2)根据平行于y轴的直线上的点横坐标都相等进行求解；
(3)根据第二象限的横坐标为负，纵坐标为正，并且由它到两坐标轴的距离相等，可利用横纵坐标互为相反数求解．
本题考查了平面直角坐标系内的点的坐标特征，掌握横轴上的点纵坐标为0，纵轴上的点横坐标为0，平行于y轴的直线上的点横坐标相等，点到两个坐标轴的距离相等，如果横纵坐标符号相同，则横纵坐标相同，若符号相反，则横纵坐标互为相反数等知识是解决本题的关键．
21.【答案】解：∵DC2+AD2=402+302=2500=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2−AD2=342−302=256，
∴BD=16m，
∴BC=DC+BD=40+16=56m．
∴这栋楼的高度为56m．
【解析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，证明△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°是解题的关键．先利用勾股定理得逆定理证明△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°，则∠ADB=90°，在Rt△ABD由勾股定理求出BD=16m，则BC=DC+BD=56m．
22.【答案】(1)67 ;
(2)nn+1;
(3)原式=12×23×34×…×99100
=1100．
【解析】解：(1) 1−1349= 3649=67，
故答案为：67；
(2)依据上述运算的规律可得： 1−2n+1(n+1)2=nn+1，
故答案为：nn+1；
(3)见答案．
(1)利用算术平方根的意义解答即可；
(2)利用式子的规律解答即可；
(3)利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
本题主要考查了实数的运算，实数运算的规律，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
23.【答案】=
【解析】解：(1)∵点D为边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE=EB；
故答案为：=；
(2)∵点D为AB中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE=EB，
设AE=EB=x，则∠E=AC−AE=8−x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2+CE2=BE2，
即42+(8−x)2=x2，
∴x=5，
∴AE=5；
(3)四边形CPDQ的面积不发生变化，理由如下：
如图2，连接CD，
∵点D为边AB的中点，
∴点D到AC、BC的距离分别为12BC=12×4=2，
12AC=12×8=4，
∴S四边形CPDQ=S△CDP+S△CDQ，
=12×(4−t)×4+12×2t×2，
=8−2t+2t，
=8，
所以，四边形CPDQ的面积不发生变化．
(1)根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EB；
(2)设AE=BE=x，表示出CE，然后利用勾股定理列出方程求解即可；
(3)①连接CD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半表示出点D到AC、BC的距离，再根据S四边形CPDQ=S△CDP+S△CDQ列式整理即可得解．
本题考查了勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，解题的关键是灵活运用这些知识，学会利用参数构建方程解决问题．