吉林省四平市双辽市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省四平市双辽市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中是必然事件的是( )
A. 守株待兔B. 刻舟求剑C. 瓮中捉鳖D. 百步穿杨
2.方程，一次项系数为( )
A. B. C. D.
3.在年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的( )
A. B. C. D.
4.如图，中，点、分别是、的中点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
6.若反比例函数的图象经过点，那么的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.方程的解为______．
8.二次函数的顶点坐标是______ ．
9.已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则的取值范围为______ ．
10.如果两个相似三角形的周长比为：，那么它们的对应高的比为______．
11.如图，已知是的圆心角，，则圆心角的度数是______ ．
12.如图，飞机在目标的正上方，飞行员测得目标的俯角为，那么的度数为______
13.如图，一条公路公路的宽度忽略不计的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为______
14.已知二次函数的图象如图所示，则时，对应的的取值范围为______ ．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
已知是的反比例函数，并且当时，．
写出与之间的函数关系式；
求时的值．
17.本小题分
阅读材料：对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图．

尝试应用：将图分成面积相等的两部分不写作法，保留作图痕迹；
18.本小题分
月日卡塔尔世界杯闭幕小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物，足球和大力神杯，依次记为、、，卡片除正面图不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张用画树状图或列表的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率．
19.本小题分
已知函数为常数．
若该函数图象与轴的交点在轴上方，求的取值范围；
求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点．
20.本小题分
某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长米、宽米的矩形空地上．如图，空地被划分出个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为平方米，小路的宽应为多少米？
21.本小题分
小琪要测量某建筑物的高度如图，小琪在点处测得该建筑物的最高点的仰角为，再往该建筑物方向前进至点处测得最高点的仰角为根据测得的数据，计算该建筑物的高度结果取整数．
参考数据：，，．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
经过一次平移，将的顶点平移到点，请在图中画出平移后的，并直接写出平移距离；
在图中画出关于原点成中心对称的图形，并直接写出点的坐标．
23.本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数与一次函数的解析式；
过点作轴，垂足为，求的面积．
24.本小题分
如图，矩形中，，，为边中点，，绕点旋转，其中点，在矩形的边上在旋转过程中，请探究：
矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？
矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？
25.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：
经过多少时间，的面积是，此时，长为多少．
探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
26.本小题分
如图，抛物线与轴交于点和．
求抛物线的解析式；
抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标；
在的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.答案：
解析：解：、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
B、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；
C、瓮中捉鳖，是必然事件，符合题意；
D、百步穿杨，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.答案：
解析：解：方程，一次项系数为．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
3.答案：
解析：解：足球守门员马丁内斯大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，
故选：．
根据日常生活经验，足球守门员开出去的球所经过的曲线是抛物线．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
4.答案：
解析：解：点、分别是、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求得，，从而求得∽，然后利用相似三角形的性质求解．
本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，本题难度较低，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
5.答案：
解析：解：在中，，，，
，
则，
故选：．
根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
6.答案：
解析：解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
故选：．
根据反比例函数的图象经过点，可以得到，即可得到的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确．
7.答案：，
解析：解：移项得，，
，
或，
，．
故答案为，．
先移项得到，方程左边分解得到，则方程转化为两个一元一次方程或，解一元一次方程即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形，使方程右边为，然后把方程左边进行因式分解，于是一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
8.答案：
解析：解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
根据顶点式的意义直接解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为．
9.答案：
解析：解：的图象位于第二、第四象限，
，
，
即的取值范围为．
故答案为：．
根据反比例函数的性质得到，解不等式即可得到答案．
此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
10.答案：：
解析：解：两个相似三角形的周长比为：，
这两个相似三角形的相似比为：，
它们的对应高的比为：：，
故答案为：：．
根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．
11.答案：
解析：解：，
故答案为：．
由圆周角定理，即可得到答案．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
12.答案：
解析：解：根据题意可知：
，，
．
故答案为：．
根据题意可得，，进而根据直角三角形两个锐角互余可得结果．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
13.答案：
解析：解：由题意得，这段弯路的长度为，
故答案为：．
根据弧长公式进行求解即可．
本题主要考查了求弧长，熟知弧长公式是解题的关键．
14.答案：或
解析：解：由图象可知，
当时，的取值范围是或，
故答案是：或．
根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当时，的取值范围，本题得以解决．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.答案：解：原式

．
解析：直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16.答案：解：设是的函数关系式为．
将，代入，可得．
解得，
即是的函数关系式为；
将代入，可得．
解析：根据题意，可设与的函数关系式为当时，即可确定函数表达式．
将代入函数表达式，即可求出的值．
本题考查求反比例函数解析式．熟记反比例函数一般式并能熟练应用是解题关键．
17.答案：解：如图所示：

解析：由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分．
本题侧重考查中心对称图形，掌握其概念是解题关键．
18.答案：解：画树状图如下：

从树状图中可知，一共有种等可能的结果，其中两次抽到图案不相同的结果数有种可能，
两次抽到图案不相同．
解析：利用列表法或树状图法列举出两次抽到图案的所有可能结果，从中找出两次抽到图案不相同的可能情况，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键，注意本题是放回抽图案．
19.答案：解：当时，．
若该函数图象与轴的交点在轴上方，则有；
即．
证明：根据二次函数与一元二次方程的关系，
函数与轴有两个公共点相当于一元二次方程有两个不相等实数根；
此方程中；
不论取何值，一元二次方程总有两个不等实根．
即：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点．
解析：用表示函数与轴交点纵坐标，判断取值范围；
令，将二次函数转化为方程，利用一元二次方程根的判别式证明．
本题考查二次函数图象与字母系数之间的关系及二次函数与一元二次方程的关系；
20.答案：解：设小路的宽应为米，则个矩形区域可合成长为米，宽为米的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：小路的宽应为米．
解析：设小路的宽应为米，则个矩形区域可合成长为米，宽为米的矩形，根据个矩形区域的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.答案：解：设，
，，
，
在中，，
，
解得：，
答：该建筑物的高度是．
解析：设，所以，然后根据锐角三角函数的定义列出方程可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
22.答案：解：如图，即为所求，平移的距离为；

如图，即为所求，点．
解析：根据平移的性质可画出；
根据中心对称的性质可画出，从而得出点的坐标．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是正确画出图形的关键．
23.答案：解：将点代入，
，
，
，
，
将，代入，
，
，
；
由题可知，，，，，
．
解析：将点代入，求出反比例函数解析式；再将，代入一次函数解析式即可；
；
本题考查反比例函数和一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
24.答案：解：矩形的边落在内部的线段长的和不变．

理由：过点作于点，
矩形中，，，为边中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
≌，
，



；
矩形与重叠部分的面积不变．
理由：≌，
，




．
解析：过点作于点，由矩形的性质得出，证明四边形是正方形，得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，旋转的性质，证明≌是解题的关键．
25.答案：解：设运动时间为秒，，则，
由题意得：，，
，
，即．
解得：，不符合题意，舍去，
，
当时，，，
，
经过秒，的面积是，此时，的长为；
不存在，理由如下：
，
，
，
，
，
没有实数根，
故不存在某一时刻，使．
解析：设运动时间为秒，根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可，再根据勾股定理求得此时的长度；
由得，根据三角形的面积公式列出方程，判断该方程的根的情况即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，一元二次方程判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．
26.答案：解：抛物线经过点，，
，解得，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的对称轴为直线，，
四边形是平行四边形，
，
点的横坐标为，
抛物线，当时，，
点的坐标是．
存在点，使是直角三角形，
当时，设交于点，作轴于点，
，，，
，
轴，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
当时，作交的延长线于点，则，
，
∽，
，
设，则，
，，
，
解得，
，
综上所述，存在点，使是直角三角形，点的坐标为或
解析：将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；
将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴为直线，，由平行四边形的性质得，则点的横坐标为，即可求得点的坐标是；
分两种情况，一是，设交于点，作轴于点，则，由平行四边形的性质得，，所以，则；二是，作交的延长线于点，可证明∽，则，设，则，于是得，求得，则
此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．