江西丰城中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江西丰城中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了下列计算中正确的是，化简等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：∵4﹣3＝，
∴A选项的结论不正确；
∵与不是同类二次根式，不能合并，
∴B选项的结论不正确；
∵+＝+2＝3，
∴C选项的结论正确；
∵2与3不是同类二次根式，不能合并，
∴D选项的结论不正确．
综上，计算正确的是：C．
故选：C．
2．下列线段a，b，c能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝1，b＝，c＝D．a＝，b＝，c＝
解：A、22+32≠42，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
3．直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（ ）
A．8B．10C．8或2D．10或2
解：当10为斜边时，第三边为＝8，
当第三边为斜边时，第三边为＝＝，
∴第三边为8或．
故选：C．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CDB．AD∥BCC．OA＝OCD．AD＝BC
解：A、∵AB∥CD、AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD、AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO．
在△ABO和△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
5．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝30°，
故选：A．
6．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（ ）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；
④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个B．3个C．4 个D．5个
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．化简：＝ π﹣3 ．
解：＝＝π﹣3．
故答案是：π﹣3．
8．一个正方形的对角线长为2，则其面积为 2 ．
解：方法一：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO＝AC＝1，∠AOB＝90°，
由勾股定理得，AB＝，
S正＝（）2＝2．
方法二：因为正方形的对角线长为2，
所以面积为：2×2＝2．
故答案为：2．
9．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ 15 度．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，
故答案为：15．
10．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 680 元．
解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过O点，若AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AEO＝S△CFO，
∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的，
过点C作CP⊥AD于点P，
∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，
∴DP＝1，CP＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•CP＝4，
∴阴影部分面积为，
故答案为：．
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝ 或
解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，
综上所述，t＝或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
三．（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）；
（2）（+1）（3﹣）﹣．
解：（1）原式＝3﹣+4+4
＝7+3；
（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2
＝﹣2．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：BE∥DF．
解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF．
15．先化简，再求值：a+，其中a＝2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝|a| ；
（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．
解：（1）小亮的解法是错误的，
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝|a|，
故答案为：小亮；＝|a|；
（2）原式＝a+2＝a+2|a﹣3|，
∵a＝﹣2＜3，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝8．
16．若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．
解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，
解得，x＝，
则y＝3，
则3＝3×＝．
17．如图，在每个小正方形的边长都为1的方格纸中有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中以AB为对角线画矩形ACBD，点C、D均在小正方形的顶点上，且点C在AB的右侧，该矩形的面积为4；
（2）以AC为边画平行四边形ACEF（非矩形），点E、F均在小正方形的顶点上，且平行四边形ACEF的面积为4．
解：（1）矩形ACBD即为所求；
（2）▱ACEF即为所求．
四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．先化简再求值，其中a＝+1．
解：原式＝，
＝，
＝，
当a＝+1时，原式＝．
19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF．AE与BF交于点O．猜想：AE与BF的关系，并给出证明．
解：AE＝BF且AE⊥BF，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS）
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF．
20．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．
解析：（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，
∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．
五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．
解析：（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，
∴∠DFB＝∠C＝90°，
∴∠DFC＝90°＝∠C，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，
∴四边形CEDF是矩形；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）可知，四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EF，
∴当CD有最小值时，EF的值最小，
∵当CD⊥AB时，CD有最小值，
∴CD⊥AB时，EF有最小值，
∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，
∴CD的最小值为5，
∴EF的最小值为5．
22．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的任意一条直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2，如果点E，F分别是AD，BC的中点，AB＝5，BC＝12．在对角线AC上是否存在点P，使∠EPF＝90°？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由．
解析：证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）存在，
由（1）可知，OE＝OF，AO＝CO，
∵∠EPF＝90°，
∴OP＝EF，
∵AE∥BF，AE＝BF，∠B＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF＝AB＝5，
∴OP＝EF＝2.5，
在Rt△ABC中，AC＝，
∴AO＝CO＝AC＝6.5，
∴AP'＝AO﹣OP'＝6.5﹣2.5＝4，
AP″＝AO+OP″＝6.5+2.5＝9，
∴AP的长为4或9．
六、解答题（本小题12分）
23．在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：
＝；（一）
＝＝；（二）
＝＝＝；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
＝＝＝；（四）
（1）化简＝ ＝
（2）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得＝ ﹣
②步骤（四）式得＝ ﹣
（3）化简：
+++…+．
解：（1）＝＝，＝＝．
故答案为：，；
（2）①原式＝＝﹣．
故答案为：﹣；
②原式＝＝＝﹣．
故答案为：﹣；
（3）原式＝+++…+
＝
＝．