江西省赣州市章贡区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省赣州市章贡区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，十堰市张湾区积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
2. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：由题意得：，则得，
故选：D．
3. 一定能将三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的（ ）
A. 高线B. 中线C. 角平分线D. 都不是
答案：B
解析：解：根据等底同高的两个三角形的面积相等即可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为，所以A不符合题意；
因为，所以B符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D不符合题意．
故选：B．
5. 如图，正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上求一点P，使的值最小，则点P应选在（ ）
A. C点B. D点C. E点D. F点
答案：C
解析：解：作出点A关于直线a对称点，连接，其经过的点是E点，
故选C．
6. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（ ）
A. 图1、图2、图3B. 图2、图3、图4
C. 图1、图2、图4D. 图1、图3、图4
答案：A
解析：解：图1可以验证的公式为：，符合题意；
图2可以验证的公式为：，整理得：，符合题意；
图3可以验证的公式为：，符合题意；
图4可以验证的公式为：，不符合题意；
故能验证平方差公式的是图1、图2、图3，
故选A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 分解因式：=_______________．
答案：a（a﹣b）．
解析：解：=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
8. 某种新冠病毒的直径为0.0000076cm，将数字0.0000076用科学记数法表示为___________
答案：
解析：解：
故答案：．
9. 若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝_____．
答案：12
解析：解：∵ax＝4，ay＝3，
∴ax+y＝
＝4×3
＝12，
故答案为：12．
10. 在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．

答案：3
解析：解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确；
第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误；
第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°，AB=BC，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=CD=AD，
∴△ADC是等腰三角形，故正确；
第四图：由作图可知DA=CD，△ADC等腰三角形，故正确．
故答案为：3．
11. 如图，在等腰直角中，，是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，若，则____________．
答案：5
解析：解：连接CO，
∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，
∴AC=BC，CO=AO=BO，∠ACO=∠BCO=∠A=∠B=45°，CO⊥AO，
∵∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，且∠AOD+∠COD=90°，
∴∠COE=∠AOD，且AO=CO，∠A=∠ECO=45°，
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴AD=CE，
∴AD+BE= CE +BE=BC=5，
故答案为：5．
12. 有一个三角形纸片，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是_______________．

答案：或或或
解析：解：①当时，，
∴，
若，则（舍去），
若，则（舍去），
若，则；
②当时，，
∴，
若，则（舍去），
若，则（舍去），
若，则；
③当时，，
∴，
若，则，
若，则，
若，则，
综上：的度数是或或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程： ；
（2）一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的倍还多，求这个正多边形的内角和．
答案：（1） （2）
解析：解：（1）方程两边乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程得解为；
（2）设这个正多边形的一个外角的度数为x．
根据题意，得，解得，
所以这个正多边形的边数为，
其内角和为．
14. 油纸伞的制作技艺十分巧妙，已列入江西省省级非物质文化遗产．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？
答案：始终平分同一平面内两条伞骨所成的，理由见解析
解析：理由：
在和中
，
，
，
即平分．
15. 已知，求代数式的值．
答案：，3．
解析：解：原式
．
当时，

原式
16. 如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，，是两个格点，请仅用无刻度的直尺在方格纸中完成下列画图：（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图的方格纸中画出线段的垂直平分线；
（2）在图的方格纸中找出一点，连接，使得．
答案：（1）见解析；（2）见解析
解析：解：如图，直线即为所求；
如图，点即为所求．
17. 先化简，再从﹣2，2，4，0中选择一个合适的数代入求值．
答案：，
解析：解：原式
，
当时，原式．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
18. 如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．
（1）求B处到小岛C相距多少海里？
（2）求船从A到D一共走了多少海里？
答案：（1）160海里
（2）240海里
小问1解析：
解：由题意知，
在中，
∴，
∴，
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴海里，
∴海里，
小问2解析：
由，得，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，
∴（海里）．
因此船从A到D一共走了海里．
19. 2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为学习贯彻党二十大精神，章贡区某中学举行“学习党的二十大精神”知识竞赛．为鼓励学生，学校决定购买A，B两种奖品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）求A，B两种奖品合计购买多少件？
答案：（1）A种奖品的单价为40元，B种奖品的单价为15元
（2）80件
小问1解析：
解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：A种奖品的单价为40元，B种奖品的单价为15元．
小问2解析：
解：由题意得（件），
答：A，B两种奖品合计购买80件．
20. 在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若，求m和n的值；
解：由题意得：，
∴，
∴，解得．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
答案：（1）64 （2）24
小问1解析：
由题意得：
∴
∴
解得：
∴．
小问2解析：
由题意得：
∴
∴
解得：
∴．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，等边的边长为7cm，现有两动点M，N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边按照图中标识的方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2.5cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动过程中，点M，N能否与中的某一顶点构成等边三角形，若能求出对应的时间t，若不能请说明理由．
（3）当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能，请求出此时MN的边长，若不能请说明理由．
答案：（1）点M、N运动秒后重合；
（2）点M、N运动时间为2秒时，是等边三角形；点M、N运动时间为6秒时，是等边三角形；
（3）当点M、N运动8秒时，是以MN为底边等腰三角形．
小问1解析：
设点M、N运动t秒后重合，
∴，
∴解得，
∴点M、N运动秒后重合；
小问2解析：
解：①点N在线段AB上的运动时间为，
设点M、N运动秒后，等边三角形，此时点N在线段AB上，点M在线段AC上，
如图所示：，，
当时，是等边三角形，
即，
解得，
当时，是等边三角形；
②点M从点A到点C的运动时间为，
点N从点B到点C的运动时间为，由（1）可得当时，点M、N重合，
设点M、N运动秒后，是等边三角形，
如图所示：为等边三角形时，点N到线段BC上，点M在线段AC上，
∴，，
当时，即，
解得：，且，符合题意；
∴当时，是等边三角形；
③点N运动到点B的时间为：，
设点M、N运动秒后，是等边三角形，
此时，点M与点N均在线段BC上，不能构成等边三角形，
∴这种情况不存在；
综上可得：点M、N运动时间为2秒时，是等边三角形或点M、N运动时间为6秒时，是等边三角形；
小问3解析：
解：如图所示：由（2）得，设点M、N运动秒时，为等腰三角形且MN是它的底边，
则，，
∵是等腰三角形且MN是它的底边，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
即，
解得，
∴当点M、N运动8秒时，是以MN为底边等腰三角形．
22. 若的积中不含x项与项．
（1）求p，q的值；
（2）比较的大小；
（3）是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）是，
小问1解析：
∵多项式中不含x项与项，
∴
∴；
小问2解析：
，，，
∴；
小问3解析：
是完全平方式，
∵．
六、（本大题共12分）
23. (1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
答案：（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
解析：解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，