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辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2024届高三下学期第六次模拟考试数学试卷（Word版附答案）
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这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2024届高三下学期第六次模拟考试数学试卷（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且．则（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
6. 函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 是双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：
= 1 \* GB3 ①若对任意的正整数均有，则为和谐数列；
= 2 \* GB3 ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
= 3 \* GB3 ③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有 （ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中，真命题有（ ）
A.若随机变量，则
B.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5
C.若随机变量，，则
D.若事件,满足且，则与独立
10. 如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ）
A. 存在唯一点，使得
B. 存在唯一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C. 若，则三棱锥外接球的表面积为
D. 若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分
11. 已知函数的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A. B. 的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数（其中表示虚数单位），则____________．
13.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，向量的斜坐标为，，，则的面积为______.
14. 已知的三个内角A，B，C满足，当最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
求的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
16. （15分）
如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（15分）
某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的概率为，设随机变量表示只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为．团队提出函数模型为．现将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．
（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计．
参考数据：．
（17分）
如图，已知抛物线，点，过点任作两条直线，分别与抛物线交于A,B与C，D.
（1）若的斜率分别为，求四边形的面积；
（2）设
（ⅰ）找到满足的等量关系；
（ⅱ）交于点，证明：点在定直线上.
19. （17分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性：
（2）若是方程的两不等实根，求证：
（i）；
（ii）．2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科答案
单选题
A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A
多选题
AD 10.BCD 11.AC
填空题
12. 13. 14.
解答题
15.（本题满分13分）
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,
则, , , …………………………3分
又, 可得, …………………………4分
所以. …………………………6分
（2）由（1）可得， …………………………7分
故，以它为通项的数列是以为首项、公比为的等比数列，……8分
所以数列的前2n项和 …………10分
. ………………………13分
16.（15分）
解（1）取中点，由题意，，
又，故.
又，故，
所以四边形为平行四边形，则.
由平面，故平面，
又面，故平面平面.…………………………7分
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，
故
设平面的法向量
而，
故，令，得
设所求角的大小为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………15分
17.（1）由题知，随机变量服从二项分布，，
由，即，
得，所以． ………………………4分
（2）（ⅰ），
，
． ………………………8分
（ⅱ）记，
则，
当时，，单增；
当时，，单减；
当时，取得最大值，即取得最大值．
在团体提出的函数模型中，
记函数，，
当时，，单增；
当时，，单减．
当时，取得最大值，则不可以估计．
………………………13分
在团体提出的函数模型中，
记函数，单调递增，
令，解得，
则是的最大似然估计． ………………………15分
18.解：（1）由已知
联立直线得
设，则
所以
联立直线得
设，则
所以
因为，所以 …………………………4分
因为，所以的直线方程为
整理得，因为过点，
所以 ① ……………………7分
同理可得 ②
同理可得AC：，BD：
联立与方程，解出点坐标，
，…………………………11分
由①②得，带入点纵坐标
所以点坐标在直线上 ………………………17分
19.（1）由题意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．……………………4分
（2）因为是方程的两不等实根，
即是方程的两不等实根，
令，则，
即是方程的两不等实根.
令，则，
所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以，即.
令．
（i）要证，只需证， ……………………6分
解法1：令，
则，
令，
则
，
所以在上递增，，
所以，所以，
所以，
所以，即，所以． ……………………11分
解法2：先证，
令，只需证，
只需证，
令，
，
所以上单调递减，所以．
因为，所以，
所以，即，
所以．
解法3：由，
设，
所以，
即，
构造函数，
，
所以在上单调递增，所以．
（ii）要证：，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
令得
即 ①
令得
即 ②
①+②得：，
即． ……………………17分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且．则（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
6. 函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 是双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：
= 1 \* GB3 ①若对任意的正整数均有，则为和谐数列；
= 2 \* GB3 ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
= 3 \* GB3 ③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有 （ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中，真命题有（ ）
A.若随机变量，则
B.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5
C.若随机变量，，则
D.若事件,满足且，则与独立
10. 如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ）
A. 存在唯一点，使得
B. 存在唯一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C. 若，则三棱锥外接球的表面积为
D. 若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分
11. 已知函数的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A. B. 的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数（其中表示虚数单位），则____________．
13.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，向量的斜坐标为，，，则的面积为______.
14. 已知的三个内角A，B，C满足，当最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
求的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
16. （15分）
如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（15分）
某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的概率为，设随机变量表示只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为．团队提出函数模型为．现将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．
（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计．
参考数据：．
（17分）
如图，已知抛物线，点，过点任作两条直线，分别与抛物线交于A,B与C，D.
（1）若的斜率分别为，求四边形的面积；
（2）设
（ⅰ）找到满足的等量关系；
（ⅱ）交于点，证明：点在定直线上.
19. （17分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性：
（2）若是方程的两不等实根，求证：
（i）；
（ii）．2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科答案
单选题
A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A
多选题
AD 10.BCD 11.AC
填空题
12. 13. 14.
解答题
15.（本题满分13分）
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,
则, , , …………………………3分
又, 可得, …………………………4分
所以. …………………………6分
（2）由（1）可得， …………………………7分
故，以它为通项的数列是以为首项、公比为的等比数列，……8分
所以数列的前2n项和 …………10分
. ………………………13分
16.（15分）
解（1）取中点，由题意，，
又，故.
又，故，
所以四边形为平行四边形，则.
由平面，故平面，
又面，故平面平面.…………………………7分
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，
故
设平面的法向量
而，
故，令，得
设所求角的大小为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………15分
17.（1）由题知，随机变量服从二项分布，，
由，即，
得，所以． ………………………4分
（2）（ⅰ），
，
． ………………………8分
（ⅱ）记，
则，
当时，，单增；
当时，，单减；
当时，取得最大值，即取得最大值．
在团体提出的函数模型中，
记函数，，
当时，，单增；
当时，，单减．
当时，取得最大值，则不可以估计．
………………………13分
在团体提出的函数模型中，
记函数，单调递增，
令，解得，
则是的最大似然估计． ………………………15分
18.解：（1）由已知
联立直线得
设，则
所以
联立直线得
设，则
所以
因为，所以 …………………………4分
因为，所以的直线方程为
整理得，因为过点，
所以 ① ……………………7分
同理可得 ②
同理可得AC：，BD：
联立与方程，解出点坐标，
，…………………………11分
由①②得，带入点纵坐标
所以点坐标在直线上 ………………………17分
19.（1）由题意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．……………………4分
（2）因为是方程的两不等实根，
即是方程的两不等实根，
令，则，
即是方程的两不等实根.
令，则，
所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以，即.
令．
（i）要证，只需证， ……………………6分
解法1：令，
则，
令，
则
，
所以在上递增，，
所以，所以，
所以，
所以，即，所以． ……………………11分
解法2：先证，
令，只需证，
只需证，
令，
，
所以上单调递减，所以．
因为，所以，
所以，即，
所以．
解法3：由，
设，
所以，
即，
构造函数，
，
所以在上单调递增，所以．
（ii）要证：，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
令得
即 ①
令得
即 ②
①+②得：，
即． ……………………17分
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